芻議擺鐘走時快慢的相對誤差

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學 內蒙古 鄂爾多斯 017010)

趙林明

(廣東實驗中學 廣東 廣州 510375)

芻議擺鐘走時快慢的相對誤差

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學 內蒙古 鄂爾多斯 017010)

趙林明

(廣東實驗中學 廣東 廣州 510375)

從物理學角度探究了不準確擺鐘走時的相對誤差，并通過舉例分析用相對誤差的兩種表達式解題時所帶來的差別，期望可以澄清廣大教師對這一問題的誤解.

擺鐘 相對誤差 準確度

擺鐘問題歷來是高中物理的一個難點，很多教師曾在各大刊物發表過大量的論文，但是對于其中的一個問題(即不準確擺鐘走時的相對誤差問題)似乎大部分教師都非常容易走進誤區.由于這一問題具有一定難度，因此并不要求學生掌握，也正因為如此，很多人也就不太注意，但是如果將這個錯誤觀點帶進課堂，學生利用這一結論直接解題將會出現嚴重的錯誤.筆者深入研讀了近幾十年的大量文獻，發現很多文獻都在這個問題上犯錯，而由于問題的隱蔽性極高，再加上大多數人的思維定勢導致這一錯誤并沒有被人發現，下面筆者將通過其中一篇典型的文章展開討論，進而澄清這一問題.

1 問題的提出

問題：走時準確的擺鐘的周期為T準，走時不準確的擺鐘的周期為T不準，問走時不準確的擺鐘的相對誤差為多少？

這一觀點在有的刊物上得到公開發表，其錯誤的隱蔽性可見一斑，鑒于此，筆者認為這一在教師中廣為流傳的錯誤觀點亟待澄清.

文獻[1]通過數學分析法得出擺鐘問題的計算公式，其主要思路是先進行了一個假設

(1)

其中l為擺長，并利用這個錯誤公式計算了幾道例題.

讀罷文獻[1]收獲頗多，尤其被作者扎實的數學功底所折服，由于文獻[1]是完全通過數學途徑得出的結論，因此順著其思路根本不會發現文章中的任何錯誤，隱蔽性極高，而筆者也是從物理學的角度進行對照時才發現其錯誤所在.

2 問題分析

問題剖析：值得注意的是，嚴格地講，擺鐘并不是單擺，而是復擺(即剛體繞定軸旋轉的物理擺)，引入等值擺長后可視為單擺.根據擺鐘的機械構造，不論走時準確的鐘還是不準確的鐘，只要擺鐘的擺完成了一次全振動，鐘面指針擺過的角度都是相同的，比如說秒針都跳動了1 s，因此走得快的擺鐘，其實際周期短，走得慢的擺鐘，其實際周期長.其中主要涉及兩類擺鐘問題，擺長發生變化引起的以及重力加速度發生變化引起的計時不準確問題.下面我們針對慢鐘和快鐘從物理學角度進行討論.

2.1 慢鐘走時的相對誤差

假設不準確的慢鐘在時間t內其鐘面顯示的時間為t′，其周期為T慢，準確擺鐘的周期為T準，不難理解T慢>T準，則不準確的慢鐘在時間t內擺動的次數為

因此,不準確的擺鐘其鐘面顯示的時間

不準確的慢鐘走時的相對誤差為

2.2 快鐘走時的相對誤差

假設不準確的快鐘在時間t內其鐘面顯示的時間為t′，其周期為T快，準確擺鐘的周期為T準，不難理解T快

因此,不準確的快鐘其鐘面顯示的時間

不準確的快鐘走時的相對誤差為

2.3 擺鐘走時快慢的相對誤差

由此可知不準確擺鐘走時的相對誤差為

(2)

反過來我們可以看出文獻[1]中的錯誤出現在源頭的假設上，實際上假設式(1)應該由

(3)

替代才能得出正確結論.

3 例題分析

而對于文獻[1]中給出的例題來說，其解析過程也是錯誤的.

【例1】某擺鐘當擺長調到30.00 cm時，12 h內慢了150.0 s，試問當擺長調到29.50 cm時，在一晝夜內擺鐘是快了還是慢了多少時間？

原文錯解：已知

由擺長調整公式可得

當擺長為29.50 cm時，由同一公式求出

由于k′是負值，故可知擺鐘又走快了，由

Δt′=k′t′=0.004 9×86 400 s≈

423.4 s≈7.06 min

正確解析：由式(2)可得

因此

l準=30.00×(1-0.003 5)2cm≈29.79 cm

當擺長為29.50 cm時，根據

即可解得

86 400×0.004 9 s≈423.4 s≈7.06 min

【例2】如果擺長為l1的擺鐘在一段時間里快了n秒，擺長為l2的擺鐘在相同時間里慢了n秒，則準確擺鐘的擺長應為多少？

典型錯解：根據

對于走時慢的鐘有

即

(4)

對于走時快的鐘有

即

(5)

聯立式(4)、(5)即可解得

正確解析：根據式(2)，對于走時慢的鐘有

即

(6)

對于走時快的鐘有

即

(7)

聯立式(6)、(7)即可解得

4 結束語

1 查?？担當[鐘問題的計算公式．物理教師，2004(4):54～55

2016-03-20)