試談概率和數理統計知識的教學功能

王溢然

(江蘇省蘇州中學 江蘇 蘇州 215007)

試談概率和數理統計知識的教學功能

王溢然

(江蘇省蘇州中學 江蘇 蘇州 215007)

在簡述概率與數理統計概念的基礎上，結合教學實際指出了它們在中學物理中主要的教學功能.

概率 數理統計 教學功能

數理統計是以概率論為基礎，研究隨機現象的統計規律性.具體地說就是研究怎樣有效地收集、整理有限的資料，并通過數學的分析，對實際問題盡可能地做出最可靠的結論.

概率和數理統計都是數學科學的分支.當前，概率和數理統計知識在中學物理中的直接應用雖然并不多，但它們卻有著極為重要的教學意義，應該予以足夠的重視.

1 轉變觀念

這是概率和數理統計知識在教學中最重要的作用.因為在牛頓力學中，如果知道了一個質點的受力情況和初始條件，就可以完全確定它在空間的運動規律(如運動速度、加速度和軌跡等)，因此，根據牛頓力學所得到的是一種確定性規律.牛頓曾經說過這樣的話：“自然界的一切現象，全都可以根據力學的原理，用相似的推理一一地演繹出來”.當然，牛頓的話具有局限性也是由于時代局限性的緣故.

學生在力學部分的學習中，對這種確定性規律會隨著知識內容逐漸加深印象.尤其是當學生學習了萬有引力定律后，知道根據萬有引力理論，可以預言神出鬼沒的彗星回歸；不需要看天空一眼，就能夠

在筆尖下發現新的行星…….牛頓力學的魅力在老師的激情演繹下得到了淋漓盡致的發揮.這樣，一方面既深深地吸引住了學生，使他們陶醉于牛頓力學的偉大成就之中；另一方面“機械決定論”的世界觀、方法論，也在潛移默化中侵襲著學生的頭腦，甚至會在學生的頭腦中扎根.

直到學習了麥克斯韋關于氣體分子的速率分布規律后，學生才認識到，對于有大量分子集體運動所表現出來的宏觀特性，是一種或然的結果，它們并不遵循牛頓力學的確定性規律.可以說，這是使學生第一次從原來的“決定論”的方法，轉向以概率論為基礎的“統計”方法，無疑是一種觀念的轉變.

2 深化認識

氣體分子運動的速率分布，僅是使學生初次認識了物質運動的“或然”性.以后，當學生學習了微觀粒子的波粒二象性后，才會進一步認識到概率分布的意義.

根據量子力學的觀點，原子的核外電子并非僅處于有一定半徑的軌道上，而是可以處于原子核外的整個空間，形成“電子云”一樣的分布(圖1).

圖1 電子在核外的分布

長期以來，學生從接觸到淺顯的科普讀物開始，就對原子結構形成了一個根深蒂固的模型——原子結構像太陽系，中間有一個原子核，電子在原子核外不同的軌道上繞核運動(圖2).如今，這個傳統的原子結構被打破了——電子并沒有確定的軌道，而是呈現一種概率分布規律.因此，這個觀點可以認為是學生思想認識上的一次真正的飛躍.

圖2 傳統的原子結構圖

由于微觀粒子具有波粒二象性，因此我們可以用波函數Ψ描述電子的運動，在離核不同距離處出現電子的概率(幾率)，就由波函數振幅的平方|Ψ|2決定.圖3中畫出了原子的核外電子軌道和波函數|Ψ|2所對應的關系[1].可見，原來傳統理論中的核外電子的軌道，只不過是電子出現概率最大的地方.當波函數|Ψ|2有不同的取值時，它可以對應著電子的躍遷，并伴隨著一定的輻射或吸收.這里，充分顯示了微觀粒子具有完全不同于宏觀物體的行為.

圖3 原子的核外電子軌道和波函數|Ψ|2

早在1812年，法國著名數學家、天體力學家拉普拉斯(P.S.Laplace)曾經預言：“非常值得注意的是，與游戲中機遇有關的科學知識，將會成為人類知識中一門重要的學科.” 如今，人們都知道以概率為基礎的規律普遍存在于自然現象之中，并已被人們發展成非常完美的一門理論.

3 輔助論證

在教學中，還可以利用概率和統計平均的知識，結合有關內容作一些輔助性的論證(或計算).這樣，可以使學生對它們形成更為具體和深刻的認識.中學物理中常見的有以下內容.

3.1 分子的無規則運動

分子動理論指出，物質分子始終不停地做著無規則的運動.如果一個學生突發奇想：既然教室里的空氣分子做的是無規則運動，那么它們會不會在某個時侯都聚集在教室的某一部分，從而在另一部分呈現“真空”，以致使那邊的人窒息呢？

這是一個很有意思的問題.首先，現實生活中從來沒有發生過這樣窒息的事，其次，也可以通過對概率的計算證明，不可能產生上述這種情況.

可見，這個概率是如此之小，完全可以認為等于零.也就是說，這個學生的假設是不可能產生的.

圖4 教室里的空氣分子

從上述計算所顯示的不可能性，反過來的意思就是說，由于大量分子的無規則運動，它們在教室里一定是均勻分布的.因此，你在生活中用不著擔心，房間里的空氣分子絕對不會聚集在一個角落，使你感到窒息的.

3.2 分子運動的平均速率

有的學生認為，按照平均速率的定義，它應該是大量分子無規則運動速率的算術平均值，即

由于組成物質的分子是如此之多，它們又始終不停地做著無規則運動，實際情況下是沒有辦法去測定每個分子運動速率的，那么如何知道它們的平均速率呢？這里，麥克斯韋關于氣體分子的速率分布律就有用武之地了.

1859年，麥克斯韋借助幾率概念，推導出一個有關氣體分子速率分布的函數f(v)，其圖像如圖5所示.速率在v→(v+Δv)區間內的分子數占總分子數的百分比等于曲線與橫軸之間狹條的面積.整個曲線與橫軸之間的面積就等于容器內各速率區間內的分子數占總分子數百分比之和.其值應為100%=1，速率在v→(v+Δv)區間內的分子數ΔN=Nf(v)Δv.顯然，平均速率的計算需要涉及到高等數學中的微積分運算.

圖5 某一溫度下速率分布曲線

在初等數學范圍內，為了計算某溫度下氣體分子的平均速率，可以借助實驗方法得到的不同速率區間內分子數的比例關系.表1就是教材中列出的在0 ℃和100 ℃時氧分子的速率分布.

表1 氧分子的速率分布

如果需要計算氧分子0 ℃時平均速率，可以先進行簡化[2]：由于分子的無規則運動，假設不同速率區間內的分子都以該區間的中值為平均速率在運動.若對應的分子數以ΔNi表示，總分子數以N表示，則0 ℃時的不同速率和對應的分子數分別為

ΔN1=1.4%N

ΔN2=8.1%N

ΔN3=17.0%N

……

取

v10=900 m/s ΔN10=0.9%N

1.4%v1+8.1%v2+…+0.9%v10=

423.75 m/s

可見，通常情況下氣體分子平均速率約為幾百米每秒，即其平均速率的數量級為102m/s.

上述這樣的簡化方法，實際上相當于將原來連續光滑的速率分布曲線轉化為常見的條形統計圖(簡稱為直方圖)，如圖6所示[3].

圖6 0 ℃時和100 ℃時氧分子的速率分布直方圖

3.3 理想氣體的壓強

根據分子動理論，氣體的壓強是由于大量氣體分子無規則運動碰撞器壁而產生的.這個情況就像密集的雨滴打在傘面上，雖然雨滴對傘面的沖擊力是間斷而不均勻的，感覺上卻像受到持續的恒力作用一樣.如圖7所示的模擬實驗——密集的小彈子落在秤面上，秤面會顯示某個比較穩定的壓力.顯然，氣體的壓強決不是個別分子的作用，而是大量分子共同作用的一種統計平均效果.

圖7 模擬密集的小彈子落在秤面上

沿著這樣的思路，借助統計平均概念，采用力學方法就可以進一步認識氣體壓強的產生及其大小的決定因素了.

假設一個正方形密閉容器中有大量運動粒子，每個粒子質量為m，單位體積內粒子數量n為恒量.為簡化問題，我們假定：粒子大小可以忽略，其速率均為v，且與容器各面碰撞的機會均等；與容器碰撞前后瞬間，粒子速度方向都與器壁垂直，且速率不變.

先考慮一個粒子，它以速率v與器壁發生彈性碰撞后，以原速率大小v′反彈(圖8).根據動量定理，這個粒子給器壁的沖量大小為

ΔI=mv′-(-mv)=2mv

圖8 粒子以v′反彈

設想在器壁上以S為底，以l=vΔt為長作一個柱體(圖9),在這個柱體內所包含的粒子總數為

N=nlS=nvΔtS

圖9 作柱體分析

則器壁受到總的壓力為

所以器壁單位面積受到的壓力大小，即壓強為

這個關系式實際上就是理想氣體的壓強公式，聯系了粒子的動能，并考慮到分子的速率大小不同取平均值后，上式可以表示為

式中

稱為平均平動動能，它是物體(氣體)溫度的量度.由此可見，理想氣體的壓強是一個統計平均的結果，它的大小本質上決定于分子密度和平均平動動能.宏觀上，一定質量理想氣體的壓強由其溫度和體積所決定.

3.4 布朗運動的分析研究

1872年，英國植物學家布朗發現懸浮在水中的花粉微粒始終不停地運動現象后，曾經難倒了習慣于牛頓力學決定論思想方法的物理學家.直到幾十年后，人們才認識到布朗運動的原因——由于這些物質微粒不斷受到周圍液體分子不均勻碰撞的緣故.那么，怎樣才能對微粒的這種無規則運動作進一步的量化研究呢？

下面，我們把布朗運動簡化為平面內的無規則運動，采用統計平均的方法作一初步探討[5].

如果把布朗運動中的固體微粒“擬人化”，它的運動極像一個醉鬼走路：某時刻這個醉鬼從廣場某處O(如燈柱)出發，先朝一個方向走上幾步，然后換個方向再走上幾步，踉踉蹌蹌、曲曲折折，毫無定規，不斷隨意地改變著方向(圖10).那么如此轉折了幾百步后，最終離開燈柱究竟有多遠？

圖10 醉鬼走路

為此，以這個燈柱為坐標原點O，在廣場的水平面內建立一個直角坐標系xOy,如圖11(a)所示.

假設醉漢開始沿直線Oa走幾步到了位置a，線段Oa在兩坐標軸上的投影分別為x1和y1，設a點離開原點O的距離為R1，如圖11(b)所示，則

接著，醉漢轉向走到了位置b，線段ab在兩坐標軸上的投影分別為x2,y2，設b點離開原點O的距離為R2,如圖11(b)所示，則

由于ab在x軸的投影沿x軸的負方向，式中x2應該取負值.

圖11 醉漢離開原點(燈柱)多遠？

假設醉漢在這個過程中沿著各個不同方向走了N次，各折線段在x軸和y軸上的投影依次為(x1，x2，…，xN)和(y1，y2，…，yN)，離開坐標原點(燈柱)的距離為R(圖12).同理可知，有關系式

R2=(x1+x2+x3+…+xN)2+

(y1+y2+y3+…+yN)2

式中的那些x，y的正與負，由醉漢行走方向是沿著坐標軸的正方向或負方向決定，也即與醉漢離開燈柱或朝著燈柱走的方向決定.

圖12 醉漢的行走路徑示意圖

由于醉漢的運動完全是無規則的，當N值很大時，可以認為其中取正值的x，y個數與取負值的x，y個數大體相同.根據初等代數的法則，計算上式中括號內各項平方時，應該把括號內每一項自乘，并用其他各項與之相乘，即

(x1+x2+x3+…+xN)2=(x1+x2+

x3+…+xN)(x1+x2+x3+…+xN)=

因為醉漢的行走完全是隨機的，當行走中轉身次數很多時，他向著燈柱走一步和離開燈柱走一步的可能性是相同的，所以在所有交叉項中，數值相同而符號相反的項可以認為是“成對”出現的，它們相加的結果正好抵消.于是，上式就可以寫成

(x1+x2+x3+…+xN)2=

這里的x是各段折線在x軸上投影平方的平均值.

同理，對y方向有關系式

(y1+y2+y3+…+yN)2=

于是，可以得到

R2=N(x2+y2)

或

現在，讓我們從醉鬼走路的研究中再回到布朗運動，在顯微鏡下可以看到懸浮的固體微粒做著完全無規則的運動，微粒所經歷的是一條非常復雜的曲折路徑.雖然微粒運動的無規則性甚于醉漢千百倍，從研究方法來說，兩者卻是完全類似的.

1905年，愛因斯坦和波蘭物理學家斯莫盧霍夫斯基，分別獨立地對布朗運動進行了深入的研究.他們根據做布朗運動的微粒在每段時間Δt內的位移，利用統計平均的方法，從理論上找出了布朗運動中的懸浮粒子不規則運動的方均根位移公式.根據這個公式推算出在17 ℃水中的懸浮粒子在1 min里平均位移大約是6 μm.同時，反過來也可以利用所求得的關系測定阿伏加德羅常數N，得到的值為

式中λ為微粒的位移，R為氣體常數，T為絕對溫度，k為粘滯系數，ρ為微粒半徑[6].后來，法國物理學家佩蘭和他的同事一起，從1908年到1910年花費了約三年的時間，通過艱苦卓絕的努力，終于出色地完成了對微粒位置和分布規律的測量，證明了實驗結果與愛因斯坦理論的一致性，從而奠定了分子動理論的基礎.

對布朗運動研究的成功，可以說是20世紀初剛建立的統計力學的一項輝煌成果.在布朗運動的研究中所采用的統計平均方法，具有非常典型的意義.它向人們指出，即使在如此復雜的運動中，利用統計方法同樣可以找出一定的規律性.

1 吳翔.文明之源.上海:上海科學技術出版社，2001

2 王溢然，束炳如.中學生物理思維方法叢書：數學物理方法.合肥：中國科學技術大學出版社，2016

3 束炳如，何潤偉.普通高中課程標準實驗教科書物理·選修3-3.上海：上海科技教育出版社，2005

4 2013年北京高考物理試題

5 王溢然，束炳如.中學生物理思維方法叢書：形象·抽象·直覺.合肥：中國科學技術大學出版社，2016

6 蔣長榮，王驍勇，劉樹勇.愛因斯坦與布朗運動.首都師范大學學報(自然科學版)，2005，26(3)：28～32

王溢然(1938- ),男，江蘇省物理特級教師，主要從事中學物理教學思維方法研究和新課標教材編寫等工作.

2016-07-26)