多元轉化：解決數學絕對值問題

朱衛娟

（江蘇省啟東市呂四中學，江蘇啟東 226241）

多元轉化：解決數學絕對值問題

朱衛娟

（江蘇省啟東市呂四中學，江蘇啟東 226241）

高中數學知識廣泛，學生普遍對絕對值問題的相關知識掌握不牢靠，不能靈活運用所學知識解決具體問題，解題時仍然充滿困惑。如果學生善于多元轉化，根據不同試題的特點，選用合適的解題思路和方法，定能化難為易、化繁為簡，輕松攻克絕對值問題的難關。

高中數學；多遠轉化；絕對值

引 言

絕對值問題是高中數學的一個重要知識點，它出現在高中數學的各個章節。絕對值問題本身并不是很難，但是有時候卻常常出一些較難的問題，其考驗的主要是學生對概念的熟知程度以及對某些性質的掌握情況。了解并掌握了解決數學絕對值問題的方法與技巧，對同學們以后的解題幫助很大。為了解決這個問題，筆者主要通過以下四個方面來多元轉化，幫助同學們解答數學絕對值問題：分類討論，各自考慮；零點分段，多個數值；兩邊平方，非負方程；幾何意義，明顯應用。

一、分類討論，各自考慮

由于絕對值中的數的正負難以確定，因此分類討論思想在解決絕對值問題時經常用到。分類討論是把絕對值進行化簡，取絕對值中的數分別為負數和非負數，然后再各自討論，進行比較分析，得出較為全面的結論。因此，教師在教學的過程中，要不斷給學生滲透此種思想，并舉出例題讓同學們對此方法能夠靈活運用。

例如，我在教學人教版高中數學必修1第一章的“集合與函數概念”的時候，就運用分類討論的思想來解題。在學完本章內容之后，為了加深同學們對知識的理解，我出了一道題來讓同學們解答：設集合A＝{x| |x－a|＜1，x∈R}，B＝{x| |x－b|＞3，x∈R}，并且A包含于B，那么實數a，b滿足__。A.|a＋b|≤4B.|a＋b|≥4C.|ab|≤4D.|a－b|≥4 這個題包含絕對值，所以要用分類討論對其進行解答。首先對A化簡，就可以得到：a－1＜x＜a＋1，其次，對B進行化簡得到：x＜b－3或者x＞b＋3。又因為題目中的條件為A包含于B，那么，就可以得到b－3≥a＋1①或者b＋3≤a－1②。化簡①為a－b≤-4，化簡②為a－b≥4，最后綜合一下就得到|ab|≥4，選擇D選項。在解決集合問題時，運用分類討論的思想，把分類后的式子各自考慮，讓解題過程有一定的順序，不會漏掉任何一種情況，使答案更加全面，提高解題正確性。

在解數學絕對值的問題中，由于字母的取值不同會影響最終結果。通過運用分類討論的思想，把一個大問題按照不用情況劃分成幾個小問題，再慢慢地逐一擊破，最后做出歸納總結，使整個解題過程更加完善，同時，讓最終結果的準確性更高。

二、零點分段，多個數值

在解決絕對值問題的過程中，有些題目中絕對值的式子并不是一個，而是有多個，并且絕對值中含有參數，要求化簡的結果根據參數的變化而不斷變化。此時，需要用零點分段的方法把參數的情況進行分段，然后，把每一類化簡的結果綜合，就得出最終結論。因此，教師在面對有多個絕對值式子的題目時，要引導同學們用零點分段的方法來解題[1]。

例如，我在教學人教版高中數學必修5的“不等關系與不等式”時，舉了一道例題讓同學們對零點分段的方法加以運用。這道題的題目是：化簡|x－2|＋|x＋1|這個式子。在化簡這個式子時，我們可以采用當x≥0時，|x|＝x；當x＜0時，|x|＝-x的思想。這個式子中一共有兩個絕對值，可以運用零點分段的方法來求解。化簡|x－2|＋|x＋1|這個式子時，可以分別令x－2＝0和x＋1＝0，分別解得x＝2，x＝-1。找到零點之后，就要進行分段，可以分成x≤-1、-1＜x≤2、x＞2這三種情況。接下來就要對每種情況進行分類討論：①當x≤-1時，原式＝-(x－2)-(x＋1)＝-2x＋1；②當-1＜x≤2時，原式＝-(x－2)＋(x＋1)＝3；③當x＞2時，原式＝(x－2)＋(x＋1)＝2x－1。零點分段法是有一定步驟的，通過一步一步地分析討論，就可以得出最終結果。零點分段法通過先找到零點，再在零點的基礎上進行分段，之后在每一個段里面進行化簡，最后把每一段化簡的結果進行綜合。

通過零點分段法的講解，讓同學們在面對多個絕對值時做到心中有數，不慌不忙，可以運用此方法快速解出相關的絕對值問題。為了讓同學們在面對問題時做到靈活應變，還需要老師的耐心講解和同學們對此類型題目多加練習，從而提高做題效率。

三、兩邊平方，非負方程

解含有絕對值的方程的方式很多，但是面對有特殊情況的方程時，我們就可以具體情況具體分析，采用適合于題型的方法來解。如果一個方程的一邊為絕對值，另一邊為非負數，那么，我們就可以采用兩邊平方的方式來解方程。這樣，會減少解方程時的步驟，既節約時間，準確率又高[2]。

例如，我在教學人教版高中數學必修2第三章的“直線與方程”時，教給同學們解方程的各種方法，其中一種方法就是兩邊平方法。為了檢驗同學們對此方法的掌握情況，我在課后給同學們出了一道解方程的題目，讓同學們來練習。題目是若|x|＝8，則x為多少。這是一道特別簡單的題目，只要運用我講的內容，解這道題是毫無壓力的。很快，同學們先把左右兩邊平方，就得到x2＝82，那么化簡之后就得出x＝±8，很快就得出答案。接下來，我增加了難度，題目變為|2x＋1|＝8，解x。這個題在絕對值里的未知數前面加了系數，而且后面還加了一個常數1，同學們遵循之前的方法，把等式左右兩邊平方，就可以得到(2x＋1)2＝82，把2x＋1看成一個整體，就可以得到2x＋1＝±8。當2x＋1＝8時，x＝3.5；當2x＋1＝-8時，x＝-4.5。所以x可以取兩個值，分別為3.5和-4.5。

四、幾何意義，明顯應用

在解絕對值問題的過程中，還可以運用絕對值的幾何意義進行解題。x的絕對值的幾何意義是指在數軸上表示x的點到原點的距離，我們可以運用這個性質來解題。此性質比較簡單，只有發現題目中的絕對值具有明顯的幾何意義時，運用此性質解題時才比較方便。因此，發現題目中的條件與此性質有關系時，可大膽采用此性質來解題。

例如，我在教學人教版高中數學的必修5的“不等式”時，為了鍛煉同學們對絕對值的幾何意義的運用，我在講完性質之后做了一個小測試。測試的題目為：在數軸上，點A所表示的點是1，那么，到點A的距離等于4個單位長度的點所表示的數是__。在聽完題目之后，有的同學直接在草稿紙上畫了一個數軸，并且標出表示點A的點，再往右邊數了4個單位之后得到5的結論，就直接說出了5。很顯然，他在考慮問題時缺乏全面性。在聽到有的同學說出5或者-3的答案時，他才恍然大悟，原來自己少考慮了一種情況。最后，我公布答案為5或者-3，并讓剛才出錯的那位同學來說明理由，讓他對此幾何意義的印象更加深刻。他采用數形結合的方法，在黑板上先畫出數軸，再標上點A，向右數了4個單位為5，再向左數了4個單位為-3，他還向同學們說明了解答此問題時的注意事項，讓其他同學也引以為戒，不要再犯此類錯誤。

在解題過程中，有的問題的解決并不需要很多的技巧，只是對性質的考查。主要考查的是對知識的靈活運用，那么，就需要學生認真觀察，仔細思考，把答案考慮得更加全面，提高答案的準確性。

結 語

教師要根據實際情況，針對特定類題型探索出更多的解題方法，讓學生掌握并學會綜合運用，提高學生對數學的學習興趣，做到對數學知識靈活運用，真正提高學生的數學學習效率。

[1]張嘉桐,吳華.高中數學絕對值不等式的五類解法[J].考試周刊,2016,(13):56-57.

[2]李梓怡.高中數學絕對值不等式的試題類型探討[J].新課程(下),2017,(02):88.

朱衛娟（1975），女，江蘇南通人，大學本科學歷，中學一級教師，研究方向是高中數學教學。