中學生數學直覺的意義與培養

張磊

摘要 數學直覺是對所學的數學概念、定理、公式、結論等沒有通過嚴格的演繹推理和邏輯思維活動就能產生直觀感知的一種認識能力。學生一旦有了某個知識的數學直覺，就可加深對該知識的理解，既提升了學生的形象思維。又對抽象思維予以支撐，有利于認清數學本質。在具體的數學教學中，要通過創設數學實驗、增強直覺感知，展示實物模型、提升直覺能力，尋找數學原型、加深直覺認識等方式，來培養中學生的數學直覺思維能力。

關鍵詞 中學生 數學直覺 培養

一、培養數學直覺的意義

所謂數學直覺，就是對所學的數學概念、定理、公式、結論等沒有通過嚴格的演繹推理和邏輯思維活動就能產生直觀感知的一種認識能力。有了這種數學直覺能力，才能對數學知識有一個整體認識，才能認清其本質而不犯錯。

數學家萊布尼茨曾把認識真理的能力稱作直覺；心理學家弗洛伊德認為直覺是一種潛意識，它是一切創造活動的基礎。認知心理學家認為學生學習數學新知的過程，就是一個自我建構的過程。人的大腦會根據已有的認知基礎，對新知進行加工和重新組合，以形成一個新的結構體系，而要熟知這個新結構，就必須要對剛納入的新知有一個直覺的認識。學生通過自己的親身體驗和領悟才會有直觀的感覺，留下的印象也更加深刻，可能還會體驗到成功的喜悅，從而更能激發起對數學學習的興趣。所以，學生一旦在腦中有了某個知識的數學直覺，不僅可加深學生對此知識的理解，特別是某些抽象性強、難于理解的概念、法則與結論等，還可增強學生的形象思維，并對抽象思維予以支撐。

二、培養數學直覺的方式

新課程標準指出：“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。”因此從新課程實施以來，工作在第一線的數學教師也基本上接受了這些新的教學理念。比如對于概念、定理、公式等的新授課都能安排局部探究和小組合作，盡量在課堂上調動學生的積極性和發揮學生的主觀能動性，并能將學生合作與獨立思考綜合起來運用。當然，還有動手實踐、直觀感知、操作確認等學習方法，這給數學直覺的培養方式指明了方向。

1.創設數學實驗，增強直覺感知

當學生難以發現所學知識結論間的關系或規律時，可通過創設數學實驗，讓學生進行動手操作實踐，以體驗數學發現的過程，增強對所學知識的直覺感知。

數學實驗就是實驗者借助于一些道具或儀器，通過自己動手進行親自感受與體驗，并在一定思維活動下得出的規律和結論或者驗證了某項猜想和理論的探究活動。當然，這些數學實驗除了動手操作外還一定要有思維活動的參與。正因為數學實驗是學生自己的操作實踐，所以可形成最初的直觀感知，繼而通過思考想象，再到發現、歸納、猜想，使學生親歷數學知識的建構過程，便于發現數學規律，增強數學直覺。

案例1 讓橢圓“圓”形畢露

在橢圓的第1課時教學中，大多數高中數學教師采用的基本流程是：教師先用繩子畫橢圓，再歸納出橢圓定義，然后建立橢圓方程，教師講解例題與練習。筆者發現按照教材編寫的順序進行教學時，學生總有一種莫名其妙的感覺：那就是所學的橢圓與圓毫無關系。可既然無關系，為什么“橢圓”中有個“圓”字呢？由于“橢圓”給人的感覺是一個長圓形，是由圓“壓扁”或“伸長”而成的，那教師為什么不提圓呢？所以，學生心中覺得這個橢圓純粹是“空降”而來，既沒有人情味也感到不合常理，從而產生一種不自然感，也降低了學生對橢圓的直覺認識。為此，筆者認為在引入上不妨進行實驗改進。

引入時的實驗可這樣設計：先讓同桌兩個同學合作，用一條細繩子在紙上按住兩端點畫出橢圓，然后讓同學探究：當兩端點離得越來越近和越來越遠時橢圓的形狀變化。

通過學生的實驗操作就會發現：當兩端點越來越近時，畫出的橢圓越來越圓，當兩端點重合時就變成了圓；而當兩端點離得越來越遠時，畫出的橢圓就越扁。這樣學生就會自己研究出橢圓與圓的關系，從而對橢圓的得出不會感到突然，也增強了對橢圓的直觀認識，同時還為橢圓離心率e=c/a的大小影響橢圓形狀的知識埋下了伏筆：橢圓越圓，e就越小，當e=0時就變了圓；橢圓越扁，e越大，當c→a時，e→1。有了這樣的動手實驗，學生對圓與橢圓的形狀及e的范圍在（0，1）有了直觀感受，學生通過自己的實驗操作而產生的印象遠比老師空洞說教要深刻得多。

2.展示實物模型，提升直覺能力

在講授一個新的數學知識，尤其是抽象性比較強學生一時難以理解或不能想象的知識時，就要聯系學生生活中可見到的實物，以幫助學生理解，增加直觀性。筆者認為教師通過實物模型的展示是培養學生數學直覺的一個不錯選擇，因為具體的實物模型可以降低抽象程度，提升直觀形象。特別是在講授立體幾何知識時，更需要用實物模型來直觀認知，再通過實驗操作來確認，這樣才能消除學生初中所學的平面幾何帶來的認知障礙，增強學生的空間想象能力。所以中學教師在面對學生較難理解的三維空間的立體圖形時，最佳的教學策略便是多提供一些具體的實物模型，并讓學生自己也動手做一做，尤其是遇到翻折類的題型時，一定要讓學生多動手操作以增強直觀形象，提升直覺能力。

案例2 棱柱歐氏定義的反例

筆者在聽中學教師講授棱柱定義這節課時，一般都會讓學生判斷這樣一個命題：“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱”。而學生往往會認為是對的，此時教師就會給出一個如圖1的反例，以此來說明該命題的錯誤，從而佐證教材上的棱柱定義是正確的。但事實上這個反例是有缺陷的，因為一般情況下的多面體都是指凸多面體，而該反例卻是凹的，因此數學程度好的學生會質疑，從而就很難判斷上述命題的真假。

其實，有數學史知識的教師應該知道，這個命題就是2000多年前的古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中下的棱柱定義，簡稱歐氏定義。當然現在知道這個定義是不對的，但就是這個錯誤的定義卻得到了歷史上許多數學家的認可，并整整統治了2000多年，其原因就是長時間找不到歐氏定義的反例。也許中學教師會認為圖1的反例并不是很難，數學家怎么會想不到呢？問題就在于這個反例是凹的，可能當時歐幾里得就已經知道這個例子了，但他并不認可，因此只有找到一個凸的反例才具有說服力。數學家們整整花了2000多年，直到20世紀初才找到，該反例便是圖2。很明顯，這個凸的反例學生根本想不到，這就需要教師自己動手做這個反例的實物模型，用事實說話來提升學生的直覺能力。

用實物模型來展現，可以讓學生感到既直觀明了又生動具體，從而使一些結論深刻地印在學生的腦海里。如案例2，學生看到這個凸的反例實物時一定會留下深刻印象的。事實上，數學中除了立體幾何外，還有一些比較抽象的概念也可借助實物模型來理解，如向量的概念，可用學生手中的“筆”來替代：筆尖表示向量方向，筆身表示向量的模，筆的移動表示向量的平移，這樣學生就會很快理解與“數”不同的“向量”；任意角的概念，可用學生身上的“手表”或教室里的“鐘”等實物來展現，就會讓學生很快突破以前所學的角范圍所帶來的束縛。

3.尋找數學原型，加深直覺認識

“隨著數學學習的深入，學生積累的數學知識和方法就成為了學生的‘數學現實。這些現實應當成為學生進一步學習的素材，選用這些素材，不僅有利于學生理解所學知識的內涵，還能夠更好地揭示相關數學知識之間的內在關聯，有利于學生從整體上理解數學，構建數學認知結構”。根據對“數學現實”的詮釋，筆者認為可從學生的已有生活常識出發，去尋找數學知識的原型，以加深直覺認識。

數學原型，就是指產生數學概念、法則、定理等知識的生活來源，或已得到論證的數學知識來作為直覺認識的一種模型。實際上，學生在前面的數學學習中也一直在利用數學原型，比如通過“向東向西”“零上零下溫度”（數學原型）來形成“相反意義的量”，繼而來進一步理解“正負數”和“正負數加減法則”；因式分解可由小學里學過的數的質因數分解作為數學原型來理解等等。

高中數學中的一些概念、性質和公式等也可通過尋找數學原型來幫助理解。比如：三角函數的單位圓定義，就以游樂場中的摩天輪作為數學原型：你坐在那里的位置就相當于單位圓上的一個點，然后當摩天輪轉動后，如何來表示你的位置？以這樣的生活現實來幫助學生認識三角函數的本質：刻畫具有周期性現象的圓周運動的函數模型。學生有了摩天輪作為單位圓的數學原型后，自然就會直觀認識到Isinal，Icosxl的值不能超過1，有了這樣的數學直覺，也就不會犯算出sina=2還作為答案的錯誤情況。再比如一些抽象函數，當具有性質f（x）f（y）=f（x+y），f（xy）==f（x）+f（y）時，則前者可用指數函數f（x）=a^x作為模型，后者可用對數函數f（x）=log_ax作為模型。這樣讓學生用已熟悉的具體函數作為數學原型就好理解，也容易解題了。這就是典型的應用數學原型來加深學生的直覺認識。

三、培養數學直覺須注意的問題與原則

1.培養數學直覺須注意的問題

（1）目的性不明

培養數學直覺是為了增強學生對所學知識的直觀認識，也是讓學生更好地理解數學知識，認清數學本質。如果僅僅是為了體現直觀性，而忽視數學知識的內在聯系和邏輯性，尤其是脫離數學的本質，對學生無任何幫助。

（2）缺乏科學性，盲目培養

不管是數學實驗還是數學現實中的原型，都是對數學知識的直觀詮釋，即都能正確地刻畫數學知識。如果教師提供的模型并不能讓學生很好地理解數學知識，甚至是錯誤的，不僅不能培養數學直覺，而且還會誤導學生。

2.培養數學直覺的原則

（1）適用性原則

不管設計的是數學實驗，還是提供實物模型和數學原型，都要根據教學內容和學生已有的數學認知程度來考慮，只有正確反映數學知識的直觀教學才適用于學生，也有利于學生理解數學。

（2）直觀性原則

教師讓學生完成某個數學實驗，再現某數學知識或展示某個模型，都要讓學生感到直觀形象，從而使學生能完成從感性認識到理性認識的順利過渡，提高學生的抽象思維能力，同時也加深了直覺印象。

（3）探究性原則

學生做完數學實驗后或在教師提供模型后，還要讓學生繼續探究，或觀察發現或歸納總結等。如案例2，當學生看到實物模型后，還可深入探究怎樣得到這個反例，如可通過“補形”或“切割”等方法，這就需要推理和數學思維。如果抽象的推理以具體實驗或模型為依托，學生在研究實驗與模型的過程中就可獲得解決問題的啟發與靈感。

要讓學生在內心真正理解數學知識和接納新知，就必須要先對該知識有一個直覺感知，然后再在大腦中形成一個整體認識，繼而上升到抽象層面。發現一個問題往往比解決問題更重要，而“發現”靠的并不都是邏輯思維，直觀性的思維和直覺能力有時更能出奇制勝。而在課堂上培養學生的數學直覺，可使許多抽象和沉悶的概念、公式、定理、結論更易理解。

[責任編輯 郭振玲]