求三角函數最值的常見方法

張亞嬌

1．山西省實驗中學方山高中，山西 方山 033100；2．山西師范大學教育科學研究院，山西 臨汾 041000

求三角函數最值的常見方法

張亞嬌1，2

1．山西省實驗中學方山高中，山西 方山 033100；2．山西師范大學教育科學研究院，山西 臨汾 041000

屬于基本初等函數的三角函數和其他數學知識有著密切聯系且被應用到很多方面，要更好地掌握三角函數的有關知識就需要對求其最值的方法進行歸納。本文通過對典型例題進行分析，歸納總結了一些求三角函數最值的方法和技巧，主要包括直接求解、轉化法、數形結合等方法，并對它們的使用方法作了簡單的說明。

三角函數；最值；單調性

對三角函數最值的求解是求解函數最值中較為重要的一部分，在歷年高考中也多被用作主要考點。本文主要對三角函數最值問題的一些求解方法和技巧進行了系統的歸納總結，并列舉一些具有象征性的例題作簡要的分析，借以說明其求解的方法和技巧。

一、求三角函數最值的常見方法

(一)利用三角函數的定義及其符號規律求解

分析：解答本題時首先要考慮三角函數值的符號規律，分四個象限。

綜上所述，函數f(x)的最大值為4，最小值為-2。

(二)利用三角函數的有界性求解，即利用|sinx|≤1，|cosx|≤1來求解

(三)利用函數的單調性求解

(四)轉化為一次函數y=kx+b(c

例4：求函數y=a+bsinx(b≠0)的極值。

分析：由于|sinx|≤1，因此題目其實是要求一次函數y=a+bx1(-1≤x≤1)的條件極值，其中x1=sinx，這里的約束條件是由sinx的值域給出的。

解：1)當b>0時，ymax=a+b，ymin=a-b．

2)當b<0時，ymax=a-b，ymin=a+b．

上面所總結的求三角函數最值的方法只是一些比較常見的方法，可能并不適用于所有的問題。有些題目比較特殊，不能用上述任何方法來求解，而有些題目則可以用好幾種方法來求解。在具體的解題過程中，我們要注意具體情況具體對待，選擇最簡潔最合適的方法來解題。比如下面這道題：

求三角函數最值時需要注意的幾個方面：

1．求三角函數最值的方法有配方法、化歸法、換元法、基本不等式法、數形結合法等；2．三角函數的最值一般是在一定的范圍內取得的，所以解題時一定要注意題目中給定未知數的范圍；3．在對函數式進行三角變換和代數換元時要注意函數之間的等價性以及正、余弦函數的有界性；4．題目中含有參數的情況下，要注意考慮參數對求解最值時的作用和影響。

[1]課程教材研究所中學數學教材研究開發中心編．普通高中課程標準實驗教科書·數學4(必修)[M]．北京：人民教育出版社，2004．

張亞嬌(1990-)，女，漢族，山西方山人，工作單位：山西省實驗中學方山高中，讀研單位：山西師范大學教育科學研究院，學科教學(數學)專業。

G633．6

A

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