“活”過來的經典計算機

陳凱

在倫敦科學博物館有一臺巴貝奇的差分機的復制品，說它是復制品，其實并不是很確切，因為在19世紀20年代，巴貝奇本人也只是做出了差分機的一部分，證明了這個機械的可行性。現在的工程師利用巴貝奇留下的圖紙，按照當時的工藝，耗費了大量的資金和時間，才完成了整個差分機的制作。

巴貝奇的差分機到底有什么用？通俗來講，就是把多項式中的乘法變成加法，然后通過齒輪的傳動計算出結果。舉一個簡單的例子，對于Y=X^2，當X值為1時，Y的值就是1，當X值為2、3、4、5…時，Y的值就是4、9、16、25…。雖然說，做4的平方，可以撥動4次齒輪，每次撥4格；做5的平方，可以撥動5次齒輪，每次撥5格，但這樣實在是太不自動化了，碰到更高層次的多項式，工作量就以指數級別增加。巴貝奇想要的是一臺自動的機械，輸入X值，這些齒輪能自動給出多項式的結果。其中的原理，可以用一個畫圖實驗展現出來。

做一個三列n行的表，如三列五行，在第一行的第二列畫一個點，在第三列的每一行都畫兩個點（如圖1）。

接下來，從第二行開始畫點，規則是，當前格子里的點的數量是當前格子上方及右上方點的數量的總和。例如，第二行第一列上方沒有點，而右上方有一個點，則當前格子畫一個點。又如，在第二行第二列上方有一個點，而右上方有兩個點，則當前格子畫三個點，按這個規則從第二行往下依次填完表格（如圖2）。

大家可以發現，最左面一列的點的數量從上往下依次是1、4、9、16，對應的是1、2、3、4的平方，這樣就可以借助加法運算完成乘方的運算。巴貝奇用齒輪傳動來實現以上運算的自動化過程，但這實在太復雜了。現如今，人們通過編程或電子表格等工具都可以模擬差分機的運算過程。本文借助Word的宏來完成自動運算，能顯得更有趣些。為了簡化運算，其實只需要一行三列的表格。將鼠標定位在第一列，然后按如下過程錄制宏：Tab—復制—Home—左箭頭—粘貼—Tab—Tab—復制—Home—左箭頭—粘貼—Home—左箭頭。

初始狀態如圖3所示，最左面一格的點的數量正好是3的平方。

執行三次宏后，結果如圖4所示。

如果大家想知道更高次方的運算是如何實現的，可訪問http：//ed-thelen.org/bab/bab-diff-JavaScript.html網頁，在差分機的模擬器上進行更深入的研究。有興趣的朋友，可以試著在Word中做一張表來實現Y=X^3或更高次方的運算。