關于曲線拐點定義的比較分析

江蘇省泰興中等專業學校 朱 芹

關于曲線拐點定義的比較分析

江蘇省泰興中等專業學校 朱 芹

對拐點的幾種定義進行了比較分析。

拐點；定義；導數；凹凸性

曲線的拐點是微積分中的一個重要概念，但許多教材中關于拐點的定義并不一致，有些文獻對此觀點不一，分歧還較大，本文對拐點的幾種定義逐一進行辨析。

一、拐點的定義

1．教材中關于拐點的第一種定義

同濟大學應用數學系主編《高等數學》（第五版）：“一般地，設在區間I上連續，是I的內點，如果曲線在經過點時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱是這曲線的拐點。”

上述兩個定義是一致的，都著重于拐點的幾何特性，即在拐點左右近旁一側為凹，另一側為凸，而對拐點處本身只要求連續，對其可導性、是否存在切線并不作要求。

2．教材中關于拐點的第二種定義

3．教材中關于拐點的第三種定義

在第三種定義中，一個點是拐點的必要條件是函數在該點處必須可導（切線存在，但不是垂直切線）。

焦曙光所著《拐點的定義及拐點與極端點的不重合性》一文中沿用了《辭海》（1989年版）中拐點的定義：“拐點，亦稱扭轉點。當光滑曲線在其上一點P的附近落在曲線在該點的切線兩旁時，稱點P為曲線的拐點。曲線在拐點的一旁為凹，在另一旁為凸。”在這個定義中“光滑曲線”成為曲線拐點存在的必要條件，由此本文認定拐點的第一種定義不嚴密，并修改為“光滑曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為該曲線的拐點”。……