高中數(shù)學(xué)概率題的解答方法分析

江蘇省揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校 秦詠梅

高中數(shù)學(xué)概率題的解答方法分析

江蘇省揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校 秦詠梅

高中生大多面臨著高考的實際問題，為了考入自己滿意的學(xué)校、完成自身的理想，作為高中生應(yīng)當(dāng)分毫必爭。數(shù)學(xué)無論對于文科還是理科都是非常重要的科目，而在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，概率相關(guān)的知識是重難點。對于高中生來說，概率題的解答綜合性很強，常常會出現(xiàn)理不清題目中的各種關(guān)系等問題，并且概率的知識中融入了很多不同的數(shù)學(xué)思想和方法，為了能夠快速地做好做對概率題，作為高中生，應(yīng)當(dāng)能夠結(jié)合所學(xué)習(xí)和掌握的數(shù)學(xué)思想和方法，從多個角度分析并解決問題。

一、概率和函數(shù)思想的結(jié)合

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程之中，函數(shù)思想是非常重要的。函數(shù)作為貫穿整個高中學(xué)習(xí)過程的重要知識點，=函數(shù)思想抽象于基本的函數(shù)內(nèi)容，并對函數(shù)的基本內(nèi)容進(jìn)行了更高程度的概括和提煉，故而在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等內(nèi)容時，函數(shù)思想通常都能起重要作用，同時，函數(shù)思想也能夠很好的和概率題相結(jié)合，幫助高中生更好地理清題目之中的各個數(shù)據(jù)、概念之間的關(guān)系，更加直觀地進(jìn)行計算，而不需要通過太過絞盡腦汁的分析，利用函數(shù)思想，概率題的解答將會獲得更多便利。

例如如下的例題：

獵人在相距100m處射擊一野兔，命中的概率為1/2，如果第一次未擊中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離已是150m，如果又未擊中，則獵人進(jìn)行第三次射擊，但距離已是200m，已知此獵人命中的概率與距離的平方成反比，求射擊不超過三次擊中野兔的概率。

解：因為概率P=K/r×r，由已知r=100時，P=1/2得K=5000，從而可以求得：

當(dāng)r=150時，P=2/9；當(dāng)r=200時，P=1/8。

記A1：第一次命中，A2：第一次沒有命中；

B1：第二次命中，B2：第二次沒有命中；

C1：第三次命中，C2：第三次沒有命中。

則：P（A1）=1/2，P（A2）=1/2，P（B1）=2/9，P（B2）=7/9，P（C1）=1/8，P（C2）=7/8。

命中可以表示為：A1∪A2B1∪A2B2C1，由于各次射擊是否命中相互獨立，且這三個事件互斥，所以命中的概率為：P（A1∪A2B1∪A2B2C1）=P（A1）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）P（C1）=1/2+1/2×2/9+1/2×7/9×1/8=95/144。由這樣一道題目我們可以看出，將函數(shù)的知識應(yīng)用到概率題的解答之中，我們將能夠更為直觀地分析整個題目的解題流程，并能夠更為容易地計算出正確的答案。

二、概率與數(shù)形結(jié)合思想的結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想是解決各類計算問題的基本思想之一，是高中生應(yīng)當(dāng)掌握能力的基礎(chǔ)，與函數(shù)思想相似，數(shù)形結(jié)合思想也是大多高中生在一直學(xué)習(xí)中就能夠構(gòu)建起來的。但很多同學(xué)往往不重視對數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，在面對一些可以結(jié)合圖形完成的概率題時，他們往往會一時無法想到數(shù)形結(jié)合的方法而手足無措。掌握數(shù)形結(jié)合思想，不但對解決其他類型的題目有很大的幫助，在概率的學(xué)習(xí)上也會有很大的好處。

例如如下的例題：

兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去。則兩人會面的概率為？

解：因為兩人誰也沒有講好確切的時間，故樣本點由兩個數(shù)（甲乙兩人各自到達(dá)的時刻）組成。以7點鐘作為計算時間的起點，設(shè)甲乙各在第x分鐘和第y分鐘到達(dá)，則樣本空間為

Ω：{（x，y）|0≤x≤60，0≤y≤60}，畫成圖為一正方形。會面的充要條件是|x-y| ≤20，即事件A={可以會面}所對應(yīng)的區(qū)域是圖1中的陰影部分。故P=1-2×1/2×40×40/（60×60）=1-1600/3600=5/9。

這樣一道直接推理起來較為困難的題目，通過數(shù)形結(jié)合的方式，其實簡單地畫一個圖就能得到很好的解決，故而高中生應(yīng)當(dāng)更為重視對數(shù)形結(jié)合思想的練習(xí)，在遇到能夠根據(jù)數(shù)據(jù)畫圖求解的題目時，要能夠在很短時間內(nèi)反應(yīng)過來畫圖解答，高考中每一道題的時間都不多，利用數(shù)形結(jié)合的思想，能夠快速正確地解答當(dāng)前的題目，省下更多的時間來處理別的難題。

圖1

三、概率和遞推思想的結(jié)合

遞推思想是解決概率問題的一個主流思想，它推理過程直接，易于理解，很多學(xué)生在解答概率題時都會運用到遞推思想，然而遞推思想的一個致命缺點就是它往往耗時更多，當(dāng)題目的難度不太大、推理過程難度也不過高的時候，運用遞推思想可快速而直接地得出答案，是最優(yōu)的選擇。除此之外，我們學(xué)習(xí)過的遞推公式在數(shù)列中的運用很多，當(dāng)然也可以運用在概率題的解答之中。

例如如下例題：

A，B二人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，該擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方接著擲，第一次由A擲。若第n次由A擲的概率為P，求P。

解：因為第一次由A來拋，擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，擲骰子的人再繼續(xù)擲，則第二次由A拋的概率是12/36，即1/3。第三次由A拋的概率是12/36×12/36，即1/3的平方。第四次由A拋的概率是12/36×12/36×12/36，即1/3的三次方。依此類推，第n次由A擲的概率為1/3的n-1次方。故而

由這樣的題我們可以看出，利用遞推思想能夠很直觀而易于理解的解決問題。遞推思想不僅僅是盲目地一步步推出結(jié)果，它的要點在于找到每一步之間的聯(lián)系，并根據(jù)聯(lián)系按照規(guī)律寫出接下來會發(fā)生的結(jié)果。這種手段常常可以用在大題的計算中，往往會有很好的效果。

當(dāng)然，高中概率題的解答思想不僅僅只有以上三種，例如方程思想、補集思想等都可以運用在題目的實際解答中。重要的是要如何將我們在平時的大量練習(xí)中主動或習(xí)慣形成的不同解題思想運用到實際的解題過程中去，并且利用不同的運用的對比找到解答一類題的統(tǒng)一技巧，做到觸類旁通，會一題會一類題，這樣才能在考試的過程中節(jié)省更多的時間，提高解題效率，獲得更好的成績。