高中數學函數分類討論思想解題探析

江蘇省宿遷學院數學系 吳秋霞

江蘇宿遷中學 卓 劍

高中數學函數分類討論思想解題探析

江蘇省宿遷學院數學系 吳秋霞

江蘇宿遷中學 卓 劍

高中數學題相較于初中而言，綜合性顯著提升，學生在學習過程中會感到有一定的難度。為了幫助學生提高解題效率以及解題正確率，教師可以傳授學生函數分類討論思想。借助分類討論思想，學生能夠從繁雜的數學題目中尋找到解題規律，從而顯著提升自身的解題效率。本人結合自身實際教學經驗，就如何在高中數學題解題過程中使用函數分類討論思想闡述自身的看法，希望能夠給廣大同仁起到一定的參考作用。

高中數學；分類討論；函數思想；解題效率

在高中數學眾多解題思路中，學生接受最快并且獲益最高的解題思路就是分類討論思想。通過分類討論，學生能夠準確把握命題的類別，并且快速搜尋相應類別題目的解題思路，從而顯著提升自身的解題效率以及解題正確率。通過分類討論，學生也能夠做到自身數學知識的再鞏固，從而夯實自身的數學基礎，為自身今后的數學學習鋪路。本人結合自身多年實際教學經驗，就如何在高中數學教學過程中使用分類討論思想解決數學題目闡述自身的看法，希望能夠給廣大同仁起到一定的參考作用。

一、依據函數概念進行分類討論，解決相應的問題

每一種類型的函數都有其適用的范圍，不同類型的數學題目也存在最優解。因此，教師需要教會學生問題的分類以及熟練掌握不同類別的最優解決方式，只有如此，學生才能夠從根本上提升解題效率以及解題正確率。在進行函數概念分類討論的過程中，教師首先要教導學生的就是不同函數的定義，明確函數的使用范圍以及不同函數使用過程中的注意點，在此基礎上進行分類教學才能夠真正起到作用。

例如，我在講述和指數函數、對數函數相關的問題的時候，為了幫助學生掌握依據函數概念進行分類解題的方法，給學生設計了如下的一道題目：假設0 ＜ x＜1，a＞0且不為1，請比較丨loga(1-x)丨和丨loga(1+x)丨的大小。為了解決這道題目，學生必須要明確何為指數，何為對數，二者之間有什么聯系。在比較大小的過程中，學生需要學會將指數化為對數，通過對數直觀地進行二者的比較。當學生將二者變為對數之后，再對x的范圍進行分類討論，自然能夠得到想要的答案。

二、依據函數圖象的位置進行分類討論解題

函數應用題中，有一種類型和函數圖象對稱軸的位置相關，對于此類題型，教師需要教會學生把握對稱軸這一關鍵信息進行解題。學生依據對稱軸的位置，可以對圖象形狀、交點等進行分類討論，從而解答出最終的答案。這類題型的特征十分明顯，教師要教會學生讀題畫圖，通過圖象特征看出題目的意圖，從而準確地進行分類討論，最終得到正確的答案。

例如，我在講述此類分類討論思想的過程中，給學生出了這樣的一道題目：在xoy平面內有一條曲線，y2=2x，點S（a,0）是一動點，曲線上的點到S的最短距離是f（a），求它的函數解析式。在做這道題目的時候，學生最先要做的事情就是畫圖，通過畫圖，學生才能夠明白S點和函數上的點之間的關系，從而能夠借助對稱軸找出最短路徑。找出最短路徑之后，由于這個函數關于x軸對稱，進而對a是否大于1進行討論就能夠得到最終的答案。學生只有學會畫圖，看對稱軸，才能夠在解題過程中不漏答案，才能夠真正保證正確率。分類討論的一大重要作用就是保證學生在解題過程中做到面面俱到，不多解，不漏解。

三、依據二次函數的類型進行分類，解決相應的應用題

和二次函數類型相關的應用題分為兩大類，第一大類是定軸動區間，第二大類是動軸定區間。兩種類型的函數題解題方法天差地別，學生如果將其混淆，就會顯著降低解題效率和解題正確率。因此，教師首先要做的就是帶領學生完成二者的甄別。定軸動區間的典型特征在于題目會提供一個完整的函數表達式，但是給出的區間是未知的。此類題型學生需要首先判斷對稱軸的位置，在此基礎上依據對稱軸的位置進行區間范圍的劃分，從而分類解出答案。而對于動軸定區間，此類題型的典型特征在于給出的函數關系式是不確定的，提供確定區間進行系數的求解。此類題型需要學生分類討論函數關系式的多種情況，結合區間求出答案。在了解二者的區別以及具體的分類解題方式以后，學生就能夠顯著提升這類題型的解題效率以及解題正確率，從而顯著提升自身的數學解題思維能力。

例如，在講述動軸定區間的題型過程中，我給學生出了這樣一題：已知，一個二次函數關系式是f(x)=ax2+(2a-1)x-3，它在區間[-1.5，2]上的最大值是2，那么a的值是多少？學生依據動軸定區間的特征一眼就能夠判定它屬于哪種類別，從而能夠在第一時間就表示需要對a的范圍進行分類討論。當學生得出最終答案的時候，我提醒學生：必須將得到的a的值和分類條件進行檢驗，因為部分題目會設置誤區，如果不進行檢查就會出現自相矛盾，從而扣分。通過這樣的教學方法，學生能夠迅速掌握此類分類討論思想，并且在檢驗的過程中提升自身的解題效率。

綜上所述，高中數學教學過程中，函數分類討論解題思想十分重要，可以幫助學生在最短的時間內最大程度地提升自身的解題效率以及解題正確率。分類討論思想的適用范圍廣，學生接受能力強，值得教師在教學過程中進行推廣。教師需要結合案例進行分類討論思想的講解，強化學生的理解程度，幫助學生顯著提升自身的綜合數學素養。

[1]張衛星.小學數學教學中學生審題能力的訓練[J].教學與管理，2015 （35）：44—46．

[2]范永娟.小學數學教學中學生審題能力的培養之我見[J].考試周刊，2016（65）：68．