幾何畫板平臺上的問題探究設計與適時介入策略研究

陳敏軍

[摘 要] 本文通過運用幾何畫板運動變化的特點，闡述幾何畫板平臺上的數學探究問題設計、探索過程和反思過程。在探究過程中，教師根據問題思維的深度，利用幾何畫板適時介入，根據幾何畫板的數與形結合的特點，幫助學生探究問題，歸納知識，激發探究的欲望。

[關鍵詞] 幾何畫板 數學探究 適時介入 反思提高

隨著新課改不斷深入，在“輕負高質”的理念指導下，數學問題探究教學設計已經被廣大數學教師所重視，在數學課堂上呈現了豐富多彩的探究形式。數學問題探究是學生不斷嘗試、不斷思考的過程。我們設計問題探究時，問題不宜過多，在提問難度和范圍設計上要貼切學生實際。在教學中，我們要更新理念，轉變問題探究的主體對象，保障學生探究問題的時間，提高學生的參與率，使學生的探究過程真實有效。

我們在長期教學研究中，提出了將問題探究建立幾何畫板平臺上，教師利用幾何畫板適時介入，將抽象問題數學化，通過數與形幾何處理，由淺入深。在學生充分思考、探究的過程中，教師利用學生之間相互交流、合作等學習活動形式，引導學生積極參與數學問題的探究活動。

一、創設情境，激發學生的探究欲望

充分利用幾何畫板運動變化的特點，創設問題情境，激發學生的探究欲望。

探究活動是從問題開始的，但問題的設置需要教師善于把握教材的內容，通過設置問題，讓學生產生認知上的沖突，激發學生探究的望。

1.設計以數學實驗為背景，使問題具有發現性，讓學生體驗發現的樂趣；

2.設計數學問題答案的多樣性，一題多解，答案不唯一等，培養學生的創造性思維；

3.設計數學問題串，根據學生的認知特點，問題難度由易到難，由淺入深，使問題具有一定的層次；

4.設計學生小組合作學習的問題，培養學生合作的能力。

例如，近幾年，初中數學中考屢屢出現利用函數圖象探索函數表達式（含字母系數）中的系數取值范圍的問題。這類問題往往比較抽象，需要學生理解函數表達式中字母系數的變化與函數圖象的變化的規律，例如二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c的變化與函數圖象的變化規律。在教學中，讓學生理解系數a，b，c對函數圖象的影響，有很大困難。究其原因，主要是學生缺乏抽象思維的能力，僅僅靠老師的傳授，得到的一些規律，學生終究還是不理解，就不能運用得到的數學規律來解題。如何讓學生直觀感受這種數學規律呢？筆者借助幾何畫板的運動變化功能，適時介入，比較形象地、直觀地展現了比例系數的變化引起圖象的變化規律。

對于這個問題，我們可以設計一堂數學探究課，讓學生經歷體驗、觀察、探究等過程，親身感受變化過程。

【問題設計目的】經歷實驗、觀察、猜測、驗證、應用等思維過程，讓學生直觀感受二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，圖象與系數a，b，c的關系。

【體驗】畫出二次函數y=x2，y=2x2，y=3x2的圖象，試比較他們開口的大小。

【探索】探索二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中a，b，c的變化與函數圖象的變化規律。

當 增大時，二次函數的開口是怎樣變化的？b，c的變化對二次函數的圖像形狀有什么影響？對圖像的位置有影響嗎？

二、根據學情，適時介入幾何畫板輔助

教師根據學生的探究情況，適時、合理利用幾何畫板輔助介入。

教師是學生探究問題的引導者，只有在學生探索問題有困難的情況下，教師才適時介入學生的探究活動。

1.當學生能探究結果的數學問題，教師不需利用幾何畫板輔助介入；

2.當學生探究數學問題具有一定困難時，并且在充分的獨立思考的情況下，教師組織學生小組合作學習，利用小組智慧幫助；

3.當小組合作探究仍然存在理解困難時，教師可利用幾何畫板輔助適時、合理介入，充分利用幾何畫板的動態過程顯示，幫助學生揭示數學量與量之間的關系。

根據前面設計的探究二次函數圖象與系數關系的幾個問題，我們需要做以下輔助。

【體驗】學生獨立完成，在動手操作中，直觀感受圖象的開口大小與a的關系：a的值越大，圖象的開口就越大。此問題不需要幾何畫板輔助介入。

【探索】有了上面的經歷，學生可能歸納出：a的值越大，圖象的開口就越大。這只是學生初步的感受，而且是在二次項系數a是正數的情況下，得出的一個片面的結論。我們不需要急于糾正學生的這種想法。而且，b和c的值的變化對圖像有何影響，學生還沒有直觀感受。因此，需要幾何畫板的輔助介入。

（一）幾何畫板輔助介入過程

1、打開幾何畫板，建立直角坐標系，在x軸上取一點計算該點的橫坐標為a；同樣的方法，計算b和 c。繪制二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像；

2、改變a的大小，a的值與二次函數的圖像也發生變化。如圖1、圖2、圖3和圖4；

3、改變b和c的大小，b的值與二次函數的圖像也發生變化。如圖5和圖6；

（二）觀察與歸納

當改變a的大小時，二次函數圖像的開口大小也隨之改變。當 越大時，二次函數的開口就越小；而b和c的大小變化不影響二次函數的形狀，影響函數圖像的位置。

三、倡導動手，讓學生在體驗中思考探究

設計動手操作問題，讓學生體驗問題探究的思想與方法。幾何畫板適時介入，解決學生動手操作、思維困難的問題。

新課標明確提出，數學學習要培養學生的動手操作能力。讓學生在動手操作中，體驗、感受數學的過程。設計一些讓學生動手操作的探索問題，有利于提高學生的動手能力與思維能力。當學生在動手操作解決問題存在困難時，我們利用幾何畫板適時介入，幫助、引導學生解決困難。例如，當我們完成探索二次函數的系數與圖象的關系時，為了進一步鞏固二次項系數的變化與圖象的關系，我們可以作以下設計，既可以鞏固知識，又能培養學生的動手操作能力，還能培養學生的空間想象能力。

【合作交流】

（1）動手畫一畫：若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的頂點在第一象限，且經過（0，1），（-1，0），試探究a的范圍。

（2）動手試一試：當二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的二次項系數a趨近于零時，函數圖象的開口大小變化是怎樣的？

（3）嘗試與鞏固：若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的頂點在第二象限，且經過（0，2），（2，0）則S=4a-2b+c的范圍是______________

【分析】

（1）學生可以通過畫圖，發現a的取值范圍。

（2）教師利用幾何畫板適時介入，讓學生觀察：當二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的二次項系數a趨近于零時，函數圖象的開口大小變化是怎樣的？

學生小組合作，感受二次函數圖象的變化趨勢。當二次項系數a趨近于零時，拋物線趨近于直線。如圖7、圖8、圖9。

（3）分析：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與直線x=-2的交點的縱坐標就是S的值。因此，只需要根據圖像觀察，交點的最低處和最高處即可。根據圖像可以看出，當拋物線的開口最小時，頂點在y軸上，交點最低；當拋物線接近一條直線時，開口最大，交點最高（如下圖10、11所示）。

由上圖可以看出，S的范圍是0

四、引導反思，讓學生自主歸納方法與成果

探究活動后，引導學生反思、歸納探究的方法和成果，利用幾何畫板變式訓練，提高學生的數學知識的成活率。

探究活動結束后，教師應設計一個重要的環節，就是要引導學生反思歸納探究的結果和探究的思想方法。通過引導學生反思整理探究的思維過程，回顧探究的思維策略，分析解決問題的本質和解決問題的方法，還有出錯原因的分析等，引導學生分析反思是怎樣發現問題和解決問題的，應用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走過哪些彎路，從中獲得哪些經驗教訓，進行認真的剖析，逐漸培養隨時監控自己的數學思維活動的習慣。引導學生自己去發現錯誤，產生“質疑”，在學生自我糾正錯誤的過程中透過表面現象，而抓住問題本質，引導學生全方位、多角度、多層次地分析、研究、解決問題，從而激發學生強烈的求知欲望，幫助學生理解認識問題的本質，培養學生的發散思維能力和反思能力。通過設計一些變式訓練，加強數學知識和思想方法的訓練，提高學生知識的成活率，將知識內化為學生自己的知識。促進學生全面發展。

例如，前面在探究二次函數的系數與函數圖象關系的時候，我們設計一個環節。

【反思與變式】1、我們探索二次函數的系數a、b、c的變化引起函數圖象的變化時，我們采用了哪些方法？或者受到什么啟發？

2、我們通過觀察探究，我們得到的那些結論？這些結論往往用于解決什么類型的問題？

3、變式與鞏固：用探究的結論解決以下問題？

（1）已知二次函數y1=a1x2、y2=a2x2、y3=a3x2的圖象如圖所示，請你判斷二次項系數a1、a2和a3的大小。

（2）在直角坐標系中，矩形ABCD的頂點坐標分別為（1，4），（1，2），（5，2），（5，4），x軸上有一點E（-1，0）。若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點在矩形ABCD內（包括邊界），且經過點E，試求拋物線y=ax2+bx+c中a的取值范圍。

【分析】本過程可以采用學生合作交流的學習方式，并交流學習情況。以下是我們學生的交流成果概要。

1、探索系數a的變化引起圖象的變化時，我們保持系數b和c不變，觀察圖象的變化情況（其它同上）；數形結合、對比、歸納等數學思想和方法；通過幾何畫板做數學實驗，研究數學問題；等等。

2、當改變a的大小時，二次函數圖像的開口大小也隨之改變。當 越大時，二次函數的開口就越小；而b和c的大小變化不影響二次函數的形狀，影響函數圖像的位置。這個結論可以幫助我們解決有關因開口大小變化引起某些數量關系變化的問題。

3、（1）根據結論“當 越大時，二次函數的開口就越小”，即可得到0

（2）如圖13，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口最小時，頂點在A處，此時可求出a=-1；開口最大時，頂點在C處，此時可求得a=- ，因此a的范圍是-1

基于幾何畫板平臺的數學探究，能動態地呈現出數量之間的關系，也能借助于幾何畫板“數形結合”的特點，讓學生經歷以“數”解“形”、以“形”助“數”的過程，幫助學生理解問題，解決問題。我們在數學教學中，多設計一些基于幾何畫板平臺的探究型問題，培養學生的觀察、歸納等能力，也提高了學生解決問題的能力。

參考資料：

[1] 俞界岳. 《幾何畫板》背景下初中數學教學研究[J]. 中學數學教育，2005（12）.

[2] 張杏林. 幾何畫板多媒體課件制作實例教程[M]. 清華大學出版社出版，2004.

[3] 何林. 勵耘新中考·數學[M]. 延邊人民出版社出版，2013.