數(shù)學(xué)思想與教育

趙雁

【摘 要】本文從數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)方法論和數(shù)學(xué)發(fā)展歷史分析的角度對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了思考，提出了以基元與整體、轉(zhuǎn)化與整合、擴(kuò)張與因襲作為數(shù)學(xué)思想的基本構(gòu)成要素。并在此基礎(chǔ)上，探討了數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)聯(lián)系。基元與整體 轉(zhuǎn)化與整合 轉(zhuǎn)化與整合 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)活動(dòng)

【關(guān)鍵詞】基元與整體；轉(zhuǎn)化與整合；擴(kuò)張與繼承；數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)活動(dòng)

數(shù)學(xué)是一種人類活動(dòng)，這種活動(dòng)的外在形式是人類按照自身的需要逐步建立起來的一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)。因此，它凝聚了人類的智慧，蘊(yùn)涵了人類豐富而深刻的思想，體現(xiàn)著主體的信念、意向、目的、行為準(zhǔn)則和思維方式，充分反映了人與自然和諧關(guān)系之中人的主體性特點(diǎn)。

數(shù)學(xué)研究常常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)家們的個(gè)體行為，但又不可避免地要受到社會(huì)環(huán)境的制約和影響。數(shù)學(xué)家們的研究和討論必須使用“數(shù)學(xué)共同體”一致接受的語言（概念、符號(hào)體系等），運(yùn)用“數(shù)學(xué)共同體”公認(rèn)的方法，得出的定理或結(jié)論必須為“數(shù)學(xué)共同體”接受和認(rèn)同。因而，數(shù)學(xué)研究又反映出社會(huì)性特點(diǎn)。

數(shù)學(xué)研究的社會(huì)性特點(diǎn)隱含了規(guī)范性成分，如核心思想、框架、合理性標(biāo)準(zhǔn)、準(zhǔn)則、組織形式及推理方式等，這成為一種數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和精神，為人們所共有，數(shù)學(xué)更多地關(guān)注普遍性、系統(tǒng)性、基礎(chǔ)性、不變性、程序性和滲透性。而數(shù)學(xué)化則是指數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程和方式，即抽象化、符號(hào)化、模式化、形式化和系統(tǒng)化，這是數(shù)學(xué)思想的基本原則。數(shù)學(xué)要求概念具有單純性，論證具有確定性，分類具有徹底性和完備性，而拒絕非規(guī)律性的概括和反對(duì)未經(jīng)驗(yàn)證的類比。當(dāng)我們論及數(shù)學(xué)思想的時(shí)候，不可以對(duì)此毫不論及。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，它們客觀上成為一種背景或預(yù)設(shè)，制約并規(guī)范著我們的活動(dòng)，人們對(duì)此交流無礙，這正反映了數(shù)學(xué)的文化特性。

一、基元與整體

“元”指某種獨(dú)立存在物，“基元”即指基本的獨(dú)立存在物，基元是構(gòu)成整體的要素，也是認(rèn)識(shí)整體的基礎(chǔ)，基元與整體有一種特殊的共生關(guān)系，是一組相輔相成的概念.

系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)中，主要有兩種類型的基元，一種是決定系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)本質(zhì)屬性的初始基元或單位基元，另一種是決定系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)組織特征的構(gòu)造基元。例如“1”是自然數(shù)的初始基元，“后繼的規(guī)則”是自然數(shù)的構(gòu)造基元，由“1”及“后繼的規(guī)則”構(gòu)造出全體自然數(shù)；三角形是多邊形的初始基元，多邊形的三角剖分是多邊形的構(gòu)造基元；基本初等函數(shù)是初等函數(shù)的初始基元，基本初等函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算是初等函數(shù)的構(gòu)造基元；初始條件是遞推數(shù)列的初始基元，遞推關(guān)系則是它的構(gòu)造基元等等，初始基元具有根基性、歸納性、特殊性和具體性，構(gòu)造基元具有發(fā)展性、演繹性、一般性和抽象性，兩種類型的基元構(gòu)成數(shù)學(xué)系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的基本研究范式，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性特點(diǎn)。

系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的層次帶來了基元與整體的層次性或相對(duì)性.一個(gè)系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)對(duì)其自身的基元來說是整體，同時(shí)，它又可以是更高層次系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)的基元。這實(shí)際上決定了數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)，由此，產(chǎn)生了數(shù)學(xué)抽象度分析理論。

基元與整體思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)教育，則是要求重視知識(shí)的組織方式或結(jié)構(gòu)方式，即強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，布魯納早在60年代就曾指出，學(xué)習(xí)任何學(xué)科，主要是要使學(xué)生掌握這一學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，同時(shí)也要掌握研究這一學(xué)科的基本態(tài)度和方法。基元與整體思想使這一觀點(diǎn)得到發(fā)展和完善。有助于廣大教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的把握，更深刻地感受到數(shù)學(xué)對(duì)象之間、數(shù)學(xué)與大自然之間的和諧聯(lián)系，更加明確了具體教學(xué)內(nèi)容在整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中的地位與作用，有利于合理地進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、轉(zhuǎn)化與整合

轉(zhuǎn)化與整合是主體的一種認(rèn)識(shí)方式與活動(dòng)方式。轉(zhuǎn)化實(shí)際上是“語言轉(zhuǎn)換”，通過這種“轉(zhuǎn)換”，客體被放置在一個(gè)信息相對(duì)主體更加豐富的背景之中，從而得到對(duì)客體的“解釋”。在這一過程中“語言轉(zhuǎn)換”將客體與主體的意識(shí)世界聯(lián)系起來，主體得到對(duì)客體“解釋”的同時(shí)，主體的“信息”得到擴(kuò)展，這即為整合，整合是一個(gè)綜合集成的過程，在整體上認(rèn)識(shí)與把握知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和規(guī)律，轉(zhuǎn)化是整合的基礎(chǔ)，而整合則更內(nèi)在、更深刻。

數(shù)學(xué)家們“往往不是對(duì)問題實(shí)行正面的攻擊，而是將它不斷地變形，直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問題.”從認(rèn)識(shí)論的角度看，數(shù)學(xué)家們利用轉(zhuǎn)化解決一個(gè)又一個(gè)問題的過程，也就是人類知識(shí)的視野不斷得到擴(kuò)展的過程，轉(zhuǎn)化與整合成為認(rèn)識(shí)發(fā)展的主要形式。

變換一求解一反演方法是數(shù)學(xué)家運(yùn)用的最有效方法之一].這個(gè)方法的思想實(shí)質(zhì)在于：為了解決一個(gè)困難的問題，首先：通過某種簡(jiǎn)化程序把它變換為一個(gè)比較容易的等價(jià)問題，然后求解這個(gè)比較容易的問題，最后反演簡(jiǎn)化程序，從而得到原問題的解，這正是對(duì)轉(zhuǎn)化與整合的程序性描述，而近代數(shù)學(xué)則更將這種思想發(fā)展到了極致.

轉(zhuǎn)化與整合思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育上，就是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的聯(lián)系。聯(lián)系的觀點(diǎn)是轉(zhuǎn)化與整合的關(guān)鍵，由此，我們也可以把轉(zhuǎn)化與整合看成是聯(lián)系的兩個(gè)側(cè)面，.實(shí)際上，聯(lián)系的觀點(diǎn)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育的基本原則。

三、擴(kuò)張與繼承

數(shù)學(xué)教師們領(lǐng)著學(xué)生走一條康莊大道：由整數(shù)走向分?jǐn)?shù)，由正數(shù)走向負(fù)數(shù).由有理數(shù)走向無理數(shù)，由實(shí)數(shù)走向虛數(shù).這是在擴(kuò)張數(shù)系，同時(shí)又希望整數(shù)的性質(zhì)分?jǐn)?shù)也有，正數(shù)的性質(zhì)負(fù)數(shù)也有，有理數(shù)的性質(zhì)無理數(shù)也有，實(shí)數(shù)的性質(zhì)虛數(shù)也有，這是在擴(kuò)張數(shù)性。

從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，數(shù)系的每一次擴(kuò)張都有一個(gè)艱難的歷程，負(fù)數(shù)的引入，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)以及虛數(shù)的使用，并不像現(xiàn)在人們看到的那樣順理成章，每一次認(rèn)識(shí)的進(jìn)步都是經(jīng)歷了發(fā)展與繼承的矛盾斗爭(zhēng)之后才取得的，發(fā)展是必然，而繼承則是發(fā)展的基礎(chǔ)，只有不斷協(xié)調(diào)發(fā)展與繼承的關(guān)系，才能不斷地進(jìn)步。數(shù)系的每一次擴(kuò)張都有它的必然性，每一次擴(kuò)張都繼承了擴(kuò)張前數(shù)系的某些性質(zhì)，擴(kuò)張與繼承過程就是人類認(rèn)識(shí)發(fā)展的過程，研究這一過程，從中可以得到許多有益的啟示。

作為認(rèn)識(shí)發(fā)展的一般規(guī)律，擴(kuò)張與繼承有其普遍地起著作用。除了數(shù)系發(fā)展的例子，數(shù)學(xué)發(fā)展史上的許多重大轉(zhuǎn)折無不反映出這種規(guī)律的作用，從“算術(shù)”到“代數(shù)”，從有限到無限，數(shù)學(xué)就是在擴(kuò)張與繼承的矛盾斗爭(zhēng)當(dāng)中得到發(fā)展。擴(kuò)張是發(fā)展的基礎(chǔ)，而繼承則使這種發(fā)展有了理性的方向。在科學(xué)理論的更迭中，擴(kuò)張打開了人們認(rèn)識(shí)的視野，而繼承則反映了認(rèn)識(shí)的連續(xù)性和傳承性。擴(kuò)張有其必然的背景，而繼承則要遵循規(guī)律性、和諧原則。

四、數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)活動(dòng)

數(shù)學(xué)作為一種人類活動(dòng)，必然要受到人們的思想意識(shí)、思想觀念的影響。呈現(xiàn)在人們面前的數(shù)學(xué)，并不是一堆孤立的事實(shí)，而是一個(gè)井然有序的知識(shí)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的存在方式，反映出人們的認(rèn)識(shí)活動(dòng)方式和思維方式。知識(shí)的系統(tǒng)性，顯現(xiàn)出基元與整體的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律。我們的認(rèn)識(shí)是從特殊到一般的過程，而知識(shí)的組織方式則是從一般到特殊地展開，從認(rèn)識(shí)的過程看，它們的共同特征正是不斷地“基元化”、“一般化”、“系統(tǒng)化”的過程。

數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的對(duì)象呈現(xiàn)出基元與整體之間的內(nèi)在聯(lián)系，基元化與整體化是通過轉(zhuǎn)化得以實(shí)現(xiàn)的。其次就是轉(zhuǎn)化與整合的過程。擴(kuò)張與繼承是另一個(gè)重要方面。三者有機(jī)結(jié)合，規(guī)劃出數(shù)學(xué)思想的整體輪廓。進(jìn)而推動(dòng)數(shù)學(xué)思想教育的健康發(fā)展。

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