《正弦函數和余弦函數的圖象》教學設計

邢曉燕

創新整合點

適當選用信息技術，突出重點，突破難點：

①課上播放Flash動畫“繩子抖動”和視頻“簡諧運動”，將教學內容以實例展開，使學生對正弦曲線和余弦曲線有一個直觀的印象，體會數學在生活中的應用。

②a.演示自制PPT課件，幫助學生理解利用正弦線畫y=sinx，x∈[0，2π]的圖象的方法，使問題變得直觀，易于突破難點；b.演示幾何畫板課件，呈現隨著等分點的增加，出現的變化情況；c.演示平移任意角正弦線所得圖象。通過a、b、c三步演示，結合設計問題，在探究過程中，提高學生對研究過程的參與程度，突破學習難點。

③演示PPT課件，呈現由正弦曲線得到余弦曲線的過程，引導學生體會圖象變換方法；呈現正弦曲線和余弦曲線的異同，進一步明確圖象的特點；幫助學生尋找確定圖象的關鍵點，為“五點法”作圖做好鋪墊。

④利用幾何畫板的動態演示功能，對例題的教學進行變式與深化。使用信息技術有效地突出重點，突破難點。

教材分析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學4（必修）》（人教A版）第一章第四節第一課時的內容。正弦函數、余弦函數圖象的學習，為正弦函數和余弦函數的性質、正切函數的圖象與性質、函數圖象的研究做準備，是《三角函數》一章的重要內容，是高考的重點考查內容。

學情分析

從學生知識看，在《數學（必修1）》中，學生已經學習了指數函數、對數函數和冪函數等，熟悉研究函數的基本思路，學生清楚研究函數性質必須借助函數圖象，對本節內容的學習非常重視。學生在學習了三角函數定義、誘導公式和三角函數線的基礎上，在以往研究函數圖象經驗的指導下，可以實現對正弦函數和余弦函數的圖象特征進行探究。

從學生現有的學習能力看，通過以往對函數的認識與理解，學生已具備了一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經驗，初步具備了抽象、概括的能力。通過教師啟發式引導，學生能完成本節課的學習。

教學目標

知識與技能目標：借助單位圓中的正弦線畫函數y=sinx，x∈[0，2π]圖象；會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數的簡圖，能利用圖象解決一些簡單問題；逐步把握正弦函數、余弦函數圖象的形狀特征，明確圖象間關系。

過程與方法目標：通過正弦函數、余弦函數圖象的獲得，經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比等思維過程，在這一過程中，培養數形結合思想、由特殊到一般思想。

情感態度與價值觀目標：在探索與互動交流的過程中，在主動參與學習的過程中，獲得良好的學習體驗和情感體驗。

教學環境與準備

PPT課件、幾何畫板課件、Flash動畫、電子白板。

教學過程

環節1：創設情境

通過播放Flash動畫“繩子抖動”（如下頁圖1）和視頻“簡諧運動”（如下頁圖2），使學生對正弦函數和余弦函數的圖象有直觀印象，揭示課題，給出正弦函數、余弦函數定義：①函數y=sinx叫正弦函數，定義域為R；②函數y=cosx叫余弦函數，定義域為R。

設計意圖：利用信息技術創設情境，將教學內容以實例展開，使學生了解知識產生的背景，同時體會到數學來源于生活。

環節2：圖象畫法

師：我們研究函數的基本思路是什么？

教師啟發學生思考，歸納定義，畫出圖象，觀察圖象，總結性質，繼而進行性質的應用。

設計意圖：引導學生使用研究函數的基本思路來研究三角函數。

（1）代數描點法作圖

問題1：用代數描點法作函數圖象的步驟是什么？如何用代數描點法作圖？

學生列表、描點、連線（如圖3），并發現點、的縱坐標可由三角函數值表查出，但數值不夠精確，導致描點后所畫圖象誤差大，考慮幾何方法。

設計意圖：引導學生，使其發現使用代數描點法畫圖，誤差較大，從而引出幾何描點法的必要性。

（2）幾何描點法作圖

問題2：如何用幾何方法在直角坐標系中作出點？

教師引導學生采用平移正弦線的方法（如圖4），在坐標系中描點 ，再驗證為正弦函數y=sinx圖象上的點。

設計意圖：在引導學生分析正弦函數圖象上的點（x，y）與單位圓中的圓心角x及其對應的正弦線y之間關系的基礎上，利用單位圓中的正弦線，描出正弦函數圖象上的一個點C，為用幾何描點法作出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象做準備，為攻克難點做準備。

問題3：如何用幾何描點法畫出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象？

學生知道需要描出更多點，教師用自制PPT課件演示作圖過程。學生用幾何描點法作出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象（如圖5），步驟如下：

第一步：在x軸上取點O1，以O1 為圓心作單位圓交x軸于點A，以A為起點將單位圓12等分；

第二步：在x軸非負半軸上，以O為起點取長度為2π的線段，將線段12等分，每個等分點對應剛才的一個角；

第三步：單位圓中作出角的終邊，作出相應正弦線；

第四步：平移正弦線，使起點與x軸上的點重合，得到13條正弦線的13個終點；

第五步：用光滑的曲線把上述正弦線的終點連接起來，得y=sinx，x∈[0，2π]的圖象。

教師演示自制PPT課件，呈現用平移正弦線的方法作出函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象過程，在演示過程中，設計問題，引導學生參與分析過程，攻克難點。

設計意圖：通過演示課件（將單位圓12等分），呈現用平移正弦線的方法繪制函數y=sinx，x∈[0，2π]圖象的過程，通過設計問題，學生口答，提高學生對研究過程的參與程度，更為有效地攻克教學難點。

接著，教師演示幾何畫板課件，學生觀察隨著等分點的增加，出現的變化情況。

問題4：剛才是把單位圓12等分，下面看看增加等分數，會有什么變化？

學生觀察幾何畫板課件（如上頁圖6、圖7、圖8）發現：隨著等分數（n=16、35、100）的增加，點越來越密集，精確度越來越高，越接近曲線形狀。

師：我們已經將單位圓100等分，點非常密集，接近曲線形狀，所描的點都是具體的點，那么，對于任意角平移正弦線，會怎樣呢？

教師演示幾何畫板課件（如圖9、圖10），呈現平移任意角正弦線的結果。

設計意圖：利用正弦線畫y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，是本節課的難點之一，教師通過演示PPT課件和幾何畫板課件，結合設計問題，引導學生思考，提高學生對探究過程的參與程度，有效地攻克教學難點。

問題5：怎樣才能得到y=sinx， x∈R的圖象？

學生思考，并回答：因為終邊相同角的同一三角函數值相等，即sin（x+k·2π）=sinx，k∈z，也就是給x加上2π的整數倍所得正弦值與原來一樣，所以y=sinx，x[2kπ，2（k+1）π]，k∈Z且k≠0的圖象與函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象的形狀完全相同，只是位置不同。于是，只要將函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象向左、右平移（每次2π個單位長度），就可以得到正弦函數y=sinx，x∈R的圖象。

設計意圖：通過問題形式，引發學生思考如何由y=sinx，x∈[0，2π]的圖象得到y=sinx，x∈R的圖象，教師對學生的猜想追問依據，對學生的回答進行補充，可以從正弦線“周而復始”的變化規律解釋，也可以從誘導公式解釋，繼而利用PPT課件演示平移的過程，對猜想予以驗證。

（3）圖象變換法作圖

問題6：如何借助正弦函數圖象作出余弦函數的圖象？

學生思考，并口答：由于y=cosx=sin（+x），而y=sin（+x），x∈R的圖象可以由正弦函數y=sinx，x∈R的圖象向左平移個單位長度得到，因此只需將函數y=sinx，x∈R的圖象向左平移個單位長度就可以得到函數y=cosx，x∈R的圖象。余弦函數y=cosx，x∈R的圖象，也叫余弦曲線（如圖11）。

設計意圖：通過問題形式引發學生思考，使學生從函數解析式之間的關系思考函數圖象之間的關系，繼而使用PPT課件演示平移的過程，使學生明確應用圖象變換作出y=cosx，x∈R的圖象的方法。

問題7：正弦曲線和余弦曲線有何異同？如何區分？

學生思考，并回答：正弦曲線和余弦曲線形狀相同，位置不同（如上頁圖12），當x=0時，sinx=0，cosx=1。

設計意圖：通過問題形式引發學生思考正余弦曲線的異同，為正余弦函數的性質的學習做準備。采用學生判斷之后教師操作驗證的方式，利用PPT課件直觀呈現，通過對比，幫助學生認識正弦函數、余弦函數圖象的形狀特征，區分圖象間關系。

（4）“五點法”作圖

問題8：你有什么辦法，可以很快畫出正弦函數在整個定義域上的圖象？

學生思考后得到認知：先很快畫出y=sinx，x∈[0，2π]圖象，再平移即可。對于畫出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，代數描點法誤差大，幾何描點法精確但步驟繁瑣，要尋求新的方法。

師生共同探討后得出結論：找出體現圖象形狀特征的關鍵點，用平滑曲線連接，取點原則是保持圖象形狀，不改變性質。這些關鍵點是圖象的最高點、最低點和與x軸的交點，坐標分別是（0，0）、（，1）、（π，0）、（，-1）、（2π，0）（如上頁圖13）。

設計意圖：引出五點法畫圖的必要性，明確y=sinx，x∈[0，2π]與y=sinx，x∈R圖象間的關系。利用PPT的動畫功能，凸顯“五點”，使學生進一步明確圖象特征，為“五點法”作正余弦曲線做準備。

師：只要描出這五個點，y=sinx，x∈[0，2π]圖象的形狀就基本確定了，以后先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們連接起來，就能得到函數的簡圖，這種作圖的方法稱為“五點法”作圖。當精確度要求不太高時，常采用五點法。下面，請畫出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象。

學生利用五點作圖法為大家演示作圖（如圖14），完成后闡述作圖體會及作圖的注意事項，其他同學補充（或對出現的錯誤進行糾正），教師對其總結。

設計意圖：培養學生動手操作能力，明確作圖的注意事項。

問題9：你能類比剛才的作法，作出y=cosx，x∈[0，2π]的圖象嗎？

學生觀察圖象，得出五個關鍵點是（0，1）、（，0）、（π，-1）、（，0）、（2π，1）。

師：請畫出y=cosx，x∈[0，2π]的圖象。

學生動手作圖（如圖15），教師總結。

設計意圖：類比正弦函數，學會用“五點法”作y=cosx，x∈[0，2π]的簡圖，鞏固“五點法”作簡圖的方法，培養學生動手實踐能力。

環節3：效果檢測

教師出示例題1：畫出函數y=1+sinx，x∈[0，2π]的圖象；學生作圖。

教師引導學生反思研究函數y=1+sinx，x∈[0，2π]與y=sinx，x∈[0，2π]的圖象之間有何聯系，將定義域擴充為R呢？

教師利用幾何畫板動畫驗證學生的猜想，并總結：函數y=1+sinx，x∈[0，2π]的圖象可由函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象向上平移1個單位得到；定義域擴充為R后道理相同。教師進一步深化：y=k+sinx。

設計意圖：例題1采用了學生動手作圖、反思研究、總結、深化四個環節，使學生在主動參與學習的過程中，通過作圖鞏固“五點法”，通過反思研究復習圖象變換，通過變式培養思維的廣度與深度。在學生作圖后，利用幾何畫板動畫演示功能，對學生的猜想進行驗證，并對例題的教學進行深化。

環節4：課堂小結

師：請同學們回顧今天這節課，你們有哪些收獲？

學生從知識、能力、思想方法、情感等方面互相交流本節課的收獲。

①知識方面：四種圖象作法中，代數描點法作圖誤差大，幾何描點法作圖精確但步驟繁瑣，“五點法”作圖重點掌握；初步掌握了正弦函數、余弦函數圖象的形狀特征，清楚圖象間關系。

②思想方法上：體會到數形結合思想、抽象到具體思想、類比思想在解決問題中的應用。

設計意圖：通過反思學習過程，在學生們的思考、交流中完成本節課的小結，突出概念與方法。

環節5：課后作業

通過作業，鞏固“五點法”作圖的方法。

教學反思

問題是數學的心臟，本節課以9個問題為主線貫穿始終，以問題解決為教學線索，在教師的主導與計算機的輔助下，使學生思維由問題開始，由問題深化，學生積極思考，主動回答。

“幾何描點法作圖”學習對學生來講是有困難的，設計問題3、4，引發學生思考。先設計問題3，引導學生思考，“利用單位圓中正弦線的知識描點C（，sin）”，為難點的攻克做好鋪墊，再設計問題4，利用課件逐步演示，并結合適時的提問使學生參與其中，逐步攻克難點。教學中使學生了解“幾何描點法作圖”的學習是必要的：我們借助正弦線作出了比較精確的正弦函數圖象，有了圖象才能觀察出某些點是“關鍵點”，才有“五點法”作圖。

正弦函數和余弦函數的圖象特征是本節課學習的重點，正弦函數和余弦函數圖象間關系是難點，為此，設計了問題6、7，結合學生的思維發展變化不斷追問，使學生充分熟悉圖象特征并明確圖象之間的關系。

“五點法”作圖是重點，通過問題8、9，探究“五點法”作圖。啟發學生“找出體現圖象形狀特征的關鍵點”，學生容易找出“五點”，但不明白為什么是這“五點”，通過追問，使學生明確理由。同時，使學生認識到“五點法”作圖是必要、方便、有效的（當精度要求不高時）。為使學生掌握“五點法”作圖，安排作圖1、2使學生初步練習，例題1起到熟悉、鞏固作用。