高考數學試題中含參數問題的類型及解法研究

張彥

摘要：函數是高中數學的重要組成部分，其中經常會遇到含有參數的問題，熟練掌握含參數問題的解法對數學學習起到非常重要的作用，進而幫助學生在數學學科的高考中順利解決含參數問題的相關試題，取得良好的成績。本文將針對高考試題中含參數問題的類型進行分析并研究其解法。

關鍵字：高考數學；參數問題；類型；解法

前言：參數也叫參變量，是一個變量。在研究自變量與因變量的關系時，引入一個或幾個其他的變量來描述自變量與因變量之間的關系，而這個引入的變量并不是必須要研究的問題，只是一個用來描述自變量與因變量關系的輔助性參數，這樣的變量叫做參變量或者參數。參數在數學中有著廣泛的應用，在函數、數列、不等式與解析幾何等問題中都會用到參數問題，熟練運用參數解題對數學學習有著至關重要的作用。

一、分類討論

引起分類討論的原因有很多，常見的包括概念本身是分類定義的；當題目中含有參數，使得函數、方程或不等式的值以及圖像形狀位置等不確定時，就要對參數進行分類討論。

例1：解關于x的不等式：ax2-（a+1）x+1<0

此例題中首先要討論x2項的系數，對a的取值不同對整個不等式的性質不同進行分析討論。當a=0時，原式為-x+1<0，對此不等式求解可以得到{x|x>1}；當a≠0時，原式為二次不等式，整理不等式后可得出（ax-1）（x-1）>0，這兩個不等式對應的方程的兩個根為和1，然后對a的取值范圍進行討論。

當a<0，原不等式的解集為：{x|x<或x>1}

當a>0，存在多種討論條件：

當<1即a>1時，原不等式的解集為：{x|

當=1即a=1時，原不等式的解集為：Φ；

當>1即0

通過分類討論分析，可以清晰、直觀的看到參數a取值不同時對原不等式的定義域范圍的影響，進而得出結論。

當a<0時，原不等式的解集為：{x|x<或x>1；

當a=0時，原不等式的解集為：{x|x>1}；

當0

當a=1時，原不等式的解集為：Φ；

當a>1時，原不等式的解集為：{x|

在這道例題中，不等式的解受兩方面因素的影響，第一是參數a能夠決定不等式類型，其次，參數a的值會影響到不等式解的大小，所以在計算時必須分類討論。需要格外的是，在計算過程中應通過參數a的值來判斷不等式的解，不能先入為主的用x的定義域問題反推a的值，這是參數問題中常常被錯誤理解的誤區。

二、零點問題

例2：已知函數f（x）=x3-3x2-9x+3，若函數g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有三個零點，求實數m的取值范圍。

解：f′（x）3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），f′（x）的圖像為零點為x1=-1，x2=3的開口向上的二次函數，根據題中[-2，5]可知，當x∈[-2，-1）∪（3，5]時，f′（x）>0；當x∈（-1，3）時，f′（x）<0。

根據導數的性質可以得出，函數f（x）在[-2，-1）與（3，5]上單調遞增，在（-1，3）上單調遞減。

所以，f（x）極小值為f（3）=33-3*32-9*3+3=24，f（x）的極大值為f（-1）=（-1）3-3（-1）2-9（-1）+3=8，且f（-2）=1，f（5）=8。

為了讓函數g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有三個零點，只要讓f（x）的圖像與直線y=m有三個交點即可。

當m∈[8，+∞）時，函數f（x）的圖像與直線y=m最多有兩個交點；當m∈[1，8）時，函數f（x）的圖像與直線y=m最多有兩個交點；當m∈（-24，1）時，函數f（x）的圖像與直線y=m有兩個交點；當m∈（-∞，-24]時，函數f（x）的圖像與直線y=m最多由一個交點。

綜上所述，為使函數g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有三個零點，則m∈[1，8）。

三、數形結合

如果不等式|2x+3|-1≥ax恒成立，試求a的取值范圍。對于此類問題，可以把不等式的兩端當作是兩個函數，f（x）=|2x+3|-1以及g（x）=ax，并將兩個函數的圖像在同一個坐標系中畫出來，f（x）的圖像已確定，而g（x）其斜率未定，為了滿足不等式|2x+3|-1≥ax恒成立，則需要f（x）的圖像始終在g（x）的上方，且根據觀察圖像可知，直線的斜率只有在一定范圍內才可以使不等式成立。所以，在關于此類不等式的問題中，通過采取數形結合的方式可以將不等式問題清晰、直觀的表現出來，便于學生理解。但需要注意的是，在使用數形結合法時必須要保證所畫函數圖像是正確的，只有建立在正確圖像上的分析才能的到正確的結果。

四、引參求解型

引參求解經常被應用于解析幾何或與應用相關的類型題中，起到解決問題的輔助作用。

例3：設a，b，c都是正數且3a=4b=6c那么：

A. = + B. = + C. = + D. = +

對于這種比例關系的問題，需要引入參數，可以在3a=4b=6c=m，其中m>0且m≠1，那么， =logm3， =logm4， =logm6=logm2+logm3.而logm4=2logm2 由此可以得出 = + 即 = + ，得出答案B。可以很明顯的看出，參數m不具備任何實際意義，它的存在對本身與a，b，c三個正數的聯系沒有任何影響，引入的參數m并不是必須要研究的問題，然而三者的關系則可以通過參數m的描述被更清晰、更直觀的表達出來，方便學生理解掌握。

結論：通過以上題型以及解法中我們可以總結出，參數是高中數學中十分重要以及困難的一部分，需要學生在早期的基礎知識學習中勤于練習，課堂上及時跟住教師的解題思路，將解題方式熟記于心，不斷地摸索結合自身特點的參數問題的解答方法，取得優良的數學成績，并在高考中充分發揮平時所學到的知識，考上心儀、理想的學校。

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