高考數(shù)學(xué)試題中含參數(shù)問題的類型及解法研究

張彥

摘要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，其中經(jīng)常會(huì)遇到含有參數(shù)的問題，熟練掌握含參數(shù)問題的解法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到非常重要的作用，進(jìn)而幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科的高考中順利解決含參數(shù)問題的相關(guān)試題，取得良好的成績(jī)。本文將針對(duì)高考試題中含參數(shù)問題的類型進(jìn)行分析并研究其解法。

關(guān)鍵字：高考數(shù)學(xué)；參數(shù)問題；類型；解法

前言：參數(shù)也叫參變量，是一個(gè)變量。在研究自變量與因變量的關(guān)系時(shí)，引入一個(gè)或幾個(gè)其他的變量來描述自變量與因變量之間的關(guān)系，而這個(gè)引入的變量并不是必須要研究的問題，只是一個(gè)用來描述自變量與因變量關(guān)系的輔助性參數(shù)，這樣的變量叫做參變量或者參數(shù)。參數(shù)在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在函數(shù)、數(shù)列、不等式與解析幾何等問題中都會(huì)用到參數(shù)問題，熟練運(yùn)用參數(shù)解題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著至關(guān)重要的作用。

一、分類討論

引起分類討論的原因有很多，常見的包括概念本身是分類定義的；當(dāng)題目中含有參數(shù)，使得函數(shù)、方程或不等式的值以及圖像形狀位置等不確定時(shí)，就要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。

例1：解關(guān)于x的不等式：ax2-（a+1）x+1<0

此例題中首先要討論x2項(xiàng)的系數(shù)，對(duì)a的取值不同對(duì)整個(gè)不等式的性質(zhì)不同進(jìn)行分析討論。當(dāng)a=0時(shí)，原式為-x+1<0，對(duì)此不等式求解可以得到{x|x>1}；當(dāng)a≠0時(shí)，原式為二次不等式，整理不等式后可得出（ax-1）（x-1）>0，這兩個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的方程的兩個(gè)根為和1，然后對(duì)a的取值范圍進(jìn)行討論。

當(dāng)a<0，原不等式的解集為：{x|x<或x>1}

當(dāng)a>0，存在多種討論條件：

當(dāng)<1即a>1時(shí)，原不等式的解集為：{x|

當(dāng)=1即a=1時(shí)，原不等式的解集為：Φ；

當(dāng)>1即0

通過分類討論分析，可以清晰、直觀的看到參數(shù)a取值不同時(shí)對(duì)原不等式的定義域范圍的影響，進(jìn)而得出結(jié)論。

當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為：{x|x<或x>1；

當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為：{x|x>1}；

當(dāng)0

當(dāng)a=1時(shí)，原不等式的解集為：Φ；

當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為：{x|

在這道例題中，不等式的解受兩方面因素的影響，第一是參數(shù)a能夠決定不等式類型，其次，參數(shù)a的值會(huì)影響到不等式解的大小，所以在計(jì)算時(shí)必須分類討論。需要格外的是，在計(jì)算過程中應(yīng)通過參數(shù)a的值來判斷不等式的解，不能先入為主的用x的定義域問題反推a的值，這是參數(shù)問題中常常被錯(cuò)誤理解的誤區(qū)。

二、零點(diǎn)問題

例2：已知函數(shù)f（x）=x3-3x2-9x+3，若函數(shù)g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：f′（x）3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），f′（x）的圖像為零點(diǎn)為x1=-1，x2=3的開口向上的二次函數(shù)，根據(jù)題中[-2，5]可知，當(dāng)x∈[-2，-1）∪（3，5]時(shí)，f′（x）>0；當(dāng)x∈（-1，3）時(shí)，f′（x）<0。

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可以得出，函數(shù)f（x）在[-2，-1）與（3，5]上單調(diào)遞增，在（-1，3）上單調(diào)遞減。

所以，f（x）極小值為f（3）=33-3*32-9*3+3=24，f（x）的極大值為f（-1）=（-1）3-3（-1）2-9（-1）+3=8，且f（-2）=1，f（5）=8。

為了讓函數(shù)g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有三個(gè)零點(diǎn)，只要讓f（x）的圖像與直線y=m有三個(gè)交點(diǎn)即可。

當(dāng)m∈[8，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像與直線y=m最多有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m∈[1，8）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像與直線y=m最多有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m∈（-24，1）時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像與直線y=m有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m∈（-∞，-24]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像與直線y=m最多由一個(gè)交點(diǎn)。

綜上所述，為使函數(shù)g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有三個(gè)零點(diǎn)，則m∈[1，8）。

三、數(shù)形結(jié)合

如果不等式|2x+3|-1≥ax恒成立，試求a的取值范圍。對(duì)于此類問題，可以把不等式的兩端當(dāng)作是兩個(gè)函數(shù)，f（x）=|2x+3|-1以及g（x）=ax，并將兩個(gè)函數(shù)的圖像在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出來，f（x）的圖像已確定，而g（x）其斜率未定，為了滿足不等式|2x+3|-1≥ax恒成立，則需要f（x）的圖像始終在g（x）的上方，且根據(jù)觀察圖像可知，直線的斜率只有在一定范圍內(nèi)才可以使不等式成立。所以，在關(guān)于此類不等式的問題中，通過采取數(shù)形結(jié)合的方式可以將不等式問題清晰、直觀的表現(xiàn)出來，便于學(xué)生理解。但需要注意的是，在使用數(shù)形結(jié)合法時(shí)必須要保證所畫函數(shù)圖像是正確的，只有建立在正確圖像上的分析才能的到正確的結(jié)果。

四、引參求解型

引參求解經(jīng)常被應(yīng)用于解析幾何或與應(yīng)用相關(guān)的類型題中，起到解決問題的輔助作用。

例3：設(shè)a，b，c都是正數(shù)且3a=4b=6c那么：

A. = + B. = + C. = + D. = +

對(duì)于這種比例關(guān)系的問題，需要引入?yún)?shù)，可以在3a=4b=6c=m，其中m>0且m≠1，那么， =logm3， =logm4， =logm6=logm2+logm3.而logm4=2logm2 由此可以得出 = + 即 = + ，得出答案B?？梢院苊黠@的看出，參數(shù)m不具備任何實(shí)際意義，它的存在對(duì)本身與a，b，c三個(gè)正數(shù)的聯(lián)系沒有任何影響，引入的參數(shù)m并不是必須要研究的問題，然而三者的關(guān)系則可以通過參數(shù)m的描述被更清晰、更直觀的表達(dá)出來，方便學(xué)生理解掌握。

結(jié)論：通過以上題型以及解法中我們可以總結(jié)出，參數(shù)是高中數(shù)學(xué)中十分重要以及困難的一部分，需要學(xué)生在早期的基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)中勤于練習(xí)，課堂上及時(shí)跟住教師的解題思路，將解題方式熟記于心，不斷地摸索結(jié)合自身特點(diǎn)的參數(shù)問題的解答方法，取得優(yōu)良的數(shù)學(xué)成績(jī)，并在高考中充分發(fā)揮平時(shí)所學(xué)到的知識(shí)，考上心儀、理想的學(xué)校。

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