用《高等數學》微積分工具解決高中物理問題

葉曉文

摘要：本文章針對《高等數學》中的微積分工具對高中物理問題進行分析，采用過程語言對物理過程進行描述，幫助同學更好地理解數學物理問題，為解決高中物理難題提供一種新方法。

一般來講，我們在高中所接觸到的物理問題，都是從宏觀上進行分析，列出數學方程式進行計算，最后得出數學答案，再轉化為物理含義。往往在解題的過程中，忽略了物理學的內在含義。為了解決這個問題，本文采用《高等數學》中微積分的思想，對高中物理中的典型問題進行分析，達到從物理角度，利用數學工具，解決物理問題的目的。

下面，我們就力學中的有關問題對微積分的應用進行闡述：

1、解決變速直線運動位移問題

勻速直線運動，位移和速度之間的關系 ；但變速直線運動，那么物體的位移如何求解呢？

例1 汽車以 的速度行駛，到某處需要減速停車，設汽車以等減速 剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少公里？

普通解析：現在我們知道，根據勻減速直線運動速度位移公式 就可以求得汽車走了 公里。

但是，這一種公式從表面上看無法與物理過程相聯系。在運動的過程中，物體的速度是連續變化的，不應該用一個固定的公式來進行計算。這樣會給學生理解物理過程帶來很大的困難。又比如加速度是不斷變化時，這時候又必須重新推導公式。下面我們嘗試用微積分來進行求解。

微積分解：汽車在減速運動這段時間內速度隨時間變化的關系 ，從開始剎車到停車的時間 ，所以汽車由剎車到停車行駛的位移

2、解決變力做功問題

恒力做功，我們可以利用公式直接求出 ；但對于變力做功，我們如何求解呢？

例2：如圖所示，質量為 的物體以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運動，已知物體與豎直圓軌道間的摩擦因數為 ，求物體從軌道最低點運動到最高點的過程中，摩擦力做了多少功。

普通解析：物體沿豎直圓軌道從最低點勻速率運動到最高點的過程中，在不同位置與圓環間的正壓力不同，故而摩擦力為一変力，本題不能簡單的用 來求。

可由圓軌道的對稱性，在圓軌道水平直徑上、下各取兩對稱位置A和B，設OA、OB與水平直徑的夾角為θ。在 的足夠短圓弧上，△S可看作直線，且摩擦力可視為恒力，則在A、B兩點附近的△S內，摩擦力所做的功之和可表示為：

又因為車在A、B兩點以速率v作圓周運動，所以：

綜合以上各式得：

故摩擦力對車所做的功：

微積分解：物體在軌道上受到的摩擦力 ，從最低點運動到最高點摩擦力所做的功為

這題是一個復雜的變力做功問題，利用公式直接求功是難以辦到的。利用微積分思想，把物體的運動無限細分，在每一份位移微元內，力的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認為物體在恒力作用下的運動；接下來把所有位移內的功相加，即“無限求和”，則總的功就可以知道。

3、微分的應用

我們經常對物理量函數關系的圖像處理，比如 圖像，求其斜率可以得出加速度 ，求其面積可以得出位移 ，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過 圖像中某個點作出切線，其斜率即a= 。

下面我們從代數上考察物理量的變化率：

例3、若某質點做直線運動，其位移與時間的函數關系為上s=3t+2t2，試求其t時刻的速度的表達式。（所有物理量都用國際制單位，以下同）

微分分析：我們知道，公式 一般是求 時間內的平均速度，當 取很小很小，才可近似處理成瞬時速度。

當 取很小，小到跟 相比忽略不計時， 即為 時刻的瞬時速度。

在高中物理中還有很多例子，比如我們講過的瞬時速度，瞬時加速度、感應電動勢、引力勢能等都用到了微積分思想，所有這些例子都有它的共性。作為大學知識在高中的應用，雖然微積分高中不要求，但他的思想無不貫穿整個高中物理。“微積分思想”豐富了我們處理問題的手段，拓展了我們的思維。我們在學習的時候，要學會這種研究問題的思想方法，只有這樣，在緊張的學習中，我們才能做到事半功倍，并可以解決一些復雜的物理問題。

參考文獻：

[1] 高等數學，同濟大學出版社，[M]，2007.4

[2] 高一物理必修一，人民教育出版社，[M]，