初中數學含參數問題的處理策略

曾立萱

【摘要】參數是用字母表述的，它兼有常數和變數的雙重特征。參數問題將思維和運算有機地結合在一起，能有效地考查考生的思維能力、運算能力。在解決含參數的問題時常根據已知條件列出含參方程或不等式，再求出參數的值或取值范圍。在幾何中用參數更容易體現幾何元素之間的等量關系，從而更好地解決幾何題。

【關鍵詞】參量；多元方程組；不等式組；主元；待定系數法；函數最值；幾何代數化；消參；定值

【正 文】在初中數學中運算能力的考查主要是以數的計算、含字母的式的運算為主，同時兼顧對算理和邏輯推理的考查。參數是用字母加以表述的，它兼有常數和變數的雙重特征。參數問題能有效地考查考生的思維能力、運算能力、推理能力，是近年來中考命題的常見題型。如何在初中數學教學中有效地引導學生解決含有參數的問題？筆者結合自身的教學實踐談談含有參數問題的幾點處理策略。

1 用字母代替數，在數學計算中的巧用。有些繁難的數學計算，可以引入參數，直觀地體現幾個數之間的數量關系，再用等式的恒等變形的有關技巧消元，化難為易。

2 明確哪個量為參量，并對參量進行討論或求參量的取值范圍。

2.1方程（組）中參數取值的不確定性，引發對參數的討論。

一般來說初中階段提及的整式方程或分式方程中出現的未知數以字母 表現，而其他字母（如 都看成常數（即參數）。

例1：當m為何值時，關于 的方程 有兩個不相等的正整數根？

分析：把 看成未知數， 看成參數，把方程的兩個解用含參數 的代數式表示，再求解。

解：當二次項系數 故 時，它是一元一次方程。

由根的判別式可知 ，所以 = 或

因為解為正整數，所以 或 。又因為 ，所以 ，

2.2多元方程組中，先確定主元，再確定參數，把主元用參數的形式表示。

2.3不等式（組）參數的取值范圍如何確定？

1）根據不等式的性質解題。當不等式左右兩邊同除以一個正數時，不等號的方向不變；當不等式左右兩邊同除以一個負數時，不等號的方向改變。故含參數的一元一次不等式常要討論求解。

2）根據不等式組的求解方法求解。不等式組求解集的法則是：同大取大；同小取小；小大，大小中間找；大大，小小無處找（無解）。若其中一個不等式含有參數，則可根據未知數的解集，求參數的取值范圍。

3 用待定系數法求參數的值。

在初中數學一次函數 、二次函數 、反比例函數 的解析式的求法最主要用待定系數法。可根據題目中的已知條件列出相應的方程或方程組，從而確定參數的值。當然在因式分解中也常用待定系數法。常用步驟是：（1）根據多項式次數關系，假設一個含待定系數的等式；（2）利用恒等式對應項系數相等的性質，列出含有待定系數的方程組；（3）解方程組，求出待定系數。

4 參數的取值范圍對函數最值的影響。當函數解析式確定時，自變量的取值范圍會影響到函數圖象。同樣的函數解析式，值域就受定義域的影響。尤其是二次函數的區間最值問題、一元二次方程根的分布問題，對初中生來說很有挑戰性。

例2：若 ，求這個函數在區間 時的最大值與最小值。

分析：對稱軸直線 確定，區間會變。由二次函數的增減性知：

一般來說，函數區間最值問題的解決模式是：（1）從實際問題，合理引進參量； （2）由提供的基本模型和初始條件去確定函數關系式；（3）根據題意確定參量的取值范圍；（4）畫出區間函數的圖象，數形結合并利用函數的增減性（單調性）求出最值。當然在二次函數的最值問題中，還有“軸變區間定”，“軸變區間變”等類型。而在解決一元二次方程根的問題上，常用到根與系數的關系、根的判別式求參數的范圍。

6 幾何問題代數化中參數的應用.

幾何不在于做題多而在于把經典題題做熟，做透，吃透思路的形成過程。在某些純幾何背景的題目中，為了解決一些幾何元素（線段、角、面積等）的關系，需要引入合適的量做為參數，用代數的語言描述幾何要素之間的關系，再通過處理代數問題與分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題。

例3：在菱形ABCD中，點P在AB邊上，

（1）以過點 P的直線為軸，將四邊 形ABCD折疊，使點B、C分別落在點 上，且 經過點D，折痕與四邊形的另一交點為Q，請你作出四邊形 。

（2） 當∠C=60°時，求 為何值時， ？

分析（1）如圖①

（2） 由于點P是運動的點，故可設參數PA = ，PB= ，在解題中將其他動線段用 與 的代數式表示。

由折疊知 。又由 且∠A=∠C=60°知∠AMP=30°，由三角函數

所以 ，又易知 ，

所以 ，從而 是等腰三角形且DM=AD-AM=

從圖②中分解出圖③，在圖③中過點 作 ，垂足為H，由等腰三角形“三線合一”知

由 知， ，

所以 ，化簡得

總之，含有參數的問題幾乎覆蓋了方程、函數，不等式、三角函數，數列、幾何等初中數學的所有知識點，也涉及到一些重要的數學思想方法。在解決含有參數的問題時，常把許多相關的量放在同一個含參方程（組）下，再進行簡化與運算。當然，應弄清對參數討論的原因，并且在分類討論時做到不遺不漏。對于隱含在動念幾何中的含參數問題（幾何中的定值問題、數量關系的證明題），適當引入參數，由幾何性質與數形結合的思想解決更簡潔有效。在今后的數學學習中一些絕對不等式的成立的條件往往用參數的集合的形式加以表示；函數的導數值主要是受參數的范圍的影響；多個參數的互相制約也會產生。所以在初中數學應抓好以上幾點參數問題的教學，讓學生從“變”中找規律，“舉一反三”，形成數學思維的階梯式上升。

【參考文獻】

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