重力勢能確實與質量和高度有關*
——糾正“對重力勢能影響因素的不同思考”一文中的錯誤

蔡志東

(鎮江高等專科學校丹陽師范學院 江蘇 丹陽 212300)

重力勢能確實與質量和高度有關*
——糾正“對重力勢能影響因素的不同思考”一文中的錯誤

蔡志東*

(鎮江高等專科學校丹陽師范學院 江蘇 丹陽 212300)

中學教科書認為：重力勢能和物體的質量以及相對高度有關，其表達式為：E=mgh．有些教師認為，教科書中的說法是錯誤的，重力勢能的表達式應當寫為：E=Gh，也即重力勢能不是和質量成正比而是和重力成正比，這一觀點顯然是錯誤的．本文詳細分析了其錯誤產生的原因，并給出了重力勢能和質量與相對高度有關而不是和重力與高度有關的嚴格證明．

能量 基本形式 重力勢能 引力勢能 表達式

物理通報2016年第5期(第103頁)發表了“對重力勢能影響因素的不同思考”一文，文中兩人對現今中學教科書和百度百科中關于重力勢能的表述提出了異議，認為傳統的觀點：“重力勢能和質量與高度有關”的說法是錯誤的，重力勢能不是取決于質量和高度而是取決于重力和高度，重力勢能的表達式不應寫成E=mgh而應寫成E=Gh，并說這樣叫它“重力勢能”才是名副其實，順理成章的事[1]．

顯然，這一觀點是錯誤的．由于這個問題涉及到對勢能和勢等一些基本概念的理解，如果不加以澄清，將會誤導許多讀者，并對后續進一步學習電勢能和電勢帶了不利影響．

錯誤的原因大致有兩個：首先是兩位作者對勢能的概念理解不深，不知道勢能是從能的角度來描述一個系統的物理量，它具有共有性和相對性；其次是不知道重力勢能本質上是由引力(和慣性離心力)引起的，重力勢能的表達式E=mgh只是一個近似公式，只有在地面附近幾百米范圍內才近似成立．

本文將詳細剖析產生這種錯誤的原因，并從理論上和邏輯上嚴格證明，重力勢能不是和重力成正比而是和質量成正比，因此，我們不能把重力勢能的公式隨便寫成E=Gh，并想當然地認為重力勢能的大小取決于重力和高度．

1 勢能的共有性和相對性

1.1 能量的基本形式

能量的基本形式大致有5種：機械能、內能、化學能、核能、電磁能(光能)．這個次序不是隨便排列的而是逐步分層的．機械能是一種宏觀物體的有序能量，包括宏觀運動的動能和宏觀相互作用的勢能(重力勢能和彈性勢能)．而內能是物體內部所有分子的(無序)能量，包括分子無規則運動的動能和分子勢能．化學能本質上是一種原子之間的結合能，而這種結合能主要涉及到電子的“軌道”動能和電勢能(注：在量子力學中沒有軌道，這種結合能可以理解為電子在核外空間的運動動能和電勢能)；核能則主要包括核子之間的結合能(涉及到核子的運動動能和相互作用的核力勢能)，而電磁能或光能可以認為是組成粒子的最基本的能量(按照愛因斯坦的看法，電子不過是電磁場的凝聚體，按照大統一理論，弱—電—強三者是統一的，因此夸克也可以認為是一種特殊的電磁凝聚體)．通常，我們認為電磁能是電磁振動的能量(廣義動能)．這樣，撇開形式上的不同，就其本質而言，我們可以認為，自然界的能量歸根結底只有兩種：廣義動能和廣義勢能．前者表示物質的運動，后者表示物質之間的相互作用．于是我們可以給能量下一個精確的定義．

1.2 能量的最精確定義

能量是物質運動的量度(即廣義動能)，同時也是物質之間相互作用的方式、作用的強度以及物質在空間分布狀況的量度(廣義勢能)．迄今為止，包括諾貝爾獎金獲得者費因曼在內，全世界尚沒有任何一個人能對能量下如此普遍而又精確的定義(復旦大學的力學教科書中僅僅說“能是物質運動的量度”，顯然這是片面的)．通常，在高中，一般認為能是做功的本領，這個定義顯然過于粗糙而不全面(做功涉及到力和位移，一杯水散熱的時候，何來的力，又何來的位移？能的概念遠比功的概念來得基本，用做功來計算勢能勉強可以，定義一般的能量是不科學的，但是在中學可以這樣籠統地說)．

1.3 勢能的最一般定義

因相互作用(力)而引起的，與相對位置有關的能(更確切的說法是與物質在空間上的分布有關的能)．傳統意義上，勢能主要包括引力(或重力)勢能，電磁勢能(彈性勢能和分子勢能本質上讓是電磁勢能)，實際上，還有強作用勢能和弱作用勢能．簡單地說，自然界有4種基本的相互作用力，就有4種基本的勢能．

1.4 勢能的共有性和相對性

任何勢能都是因為相互作用而引起，而相互作用至少必須包含兩個物體，因此勢能是一個系統所共有而非一個物體所具有．勢能不僅能表示作用的方式(通常我們規定引力系統勢能為負，斥力系統勢能為正)，也能表示作用的強弱(在同一參考點下，作用越強，勢能絕對值越大)；還能表示系統之間物質的分布狀況(對于一個斥力系統而言，物質分布越密集，相互作用越強，因而系統的勢能越大；對于一個引力系統而言，分布越密集，引力越強，勢能越小，但是絕對值越大)．

由于勢能是表示一個特定系統的物質分布以及各部分之間作用狀況的一個物理量，因此其數值本身沒有絕對的意義而只有相對的意義．打個比方，一棵樹各個樹枝和樹葉之間的相對位置或空間結構是確定的，你用眼睛直接觀察和你用望遠鏡觀察，其空間結構和相互關系不會變化，變化的僅僅是每一個部分的大小，用望遠鏡觀察時，每個部分都變大了．同樣，你取不同的勢能零點，只會影響各點勢能的數值，而不會影響各部分之間物質的分布和作用情況．因此，比較勢能時，只有對于同一個參考點才有意義．

1.5 勢能計算中采用同一參考點和特殊參考點的優缺點

比如單擺的勢能零點通常選為最低點，在計算地面上方物體的重力勢能時選地面為勢能零點，計算平行板電容器內部某點的電勢能時選負極板為勢能零點．這樣做的好處是計算方便，但是其缺點是不能進行不同系統之間的勢能大小的比較(不同系統參考點不同，比較勢能的大小是無意義的)．

2 “重力勢能取決于重力和高度”這一錯誤觀點的由來

文獻[1]的兩位作者所犯的最致命的錯誤在于，他們忽視了勢能的相對性．他們認為相同的物體質量m相同，高度h相同時，由于地球和月球表面的重力加速度g不同，所以重力不同，導致重力勢能不同，這樣似乎有重力勢能與重力成正比而非質量成正比，重力勢能與重力和高度有關而非質量和高度有關，所以應當寫成E=Gh而非E=mgh．

這里最關鍵的問題是：地球-物體系統和月球-物體系統是兩個不同的系統．參考點不同(前者為地面，后者為月面)，比較他們的勢能是無意義的，因而這一推論是荒謬的．這就好比你用一只眼睛看一棵大樹，另外一只眼睛通過望遠鏡看一棵小樹，然后得出結論說：那棵小樹比大樹還要高大(顯然這是荒謬的)．

3 獨立變量和非獨立變量

4 重力勢能與引力勢能的關系及其公式E=mgh的由來

在不考慮地球自傳引發的慣性離心力的情況下，通常我們認為重力近似等于引力(相差不是很大)．選取無窮遠處為引力勢能的零點，我們可以導出引力勢能的公式

(1)

(2)

所以地面附近的物體的引力勢能為

E≈mU0+mgh

因為只有重力勢能的變化量才有意義，所以mU0這一項在計算過程中會消去，因此一般不予考慮，于是我們有：E≈mgh，這就是重力勢能公式的由來．顯然，其精確表達式是

也就是說，在地球質量和半徑一定的情況下，物體的重力勢能僅與其質量和高度有關，教科書中的表述完全正確！

5 重力勢能與質量成正比是邏輯的必然

如前所述，重力勢能的精確表達式(即引力勢能)為

它和物體的質量成正比，和物體到地心的距離成反比．類似地，我們可以導出電勢能的公式為

它與檢驗電荷的電荷量q成正比，與檢驗電荷到場源電荷Q的距離r成反比．事實上，任意大、小兩個物體(或電荷，磁體等)所組成的兩體系統(x,X)，如果檢驗物體x所產生的場不影響場源物體X

*系“鎮江高等專科學校品牌專業建設工程資助項目”的研究成果.作者簡介:蔡志東(1962- ),男,教授,主要從事相對論和物理教學及研究工作.

2016-10-08)