關于數列極限“ε—N”定義的教學探討

趙文強+張一進

摘要：數列極限的“ε-N”定義是高等數學教學的起點也是難點，本文就概念的直觀定義、抽象化處理等方面闡述了具體教學實踐中的一些經驗方法。

關鍵詞：數列極限；存在；任意

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）08-0191-02

極限概念是大學數學的基本概念，是微積分學的基礎，是由靜止到運動、由有限到無限的橋梁，體現了無限運動與無限逼近的思想，是高等數學的重要工具。高等數學課程中的主要內容包括連續性、可微性、可積性等都是用極限語言定義和認知的。因此，能否準確理解數列極限的概念，直接影響到整個高等數學知識的學習水平和數學能力的高低。本文結合具體教學實踐，就數列極限概念教學中應該把握的幾個問題給以闡述。

一、實例引入，歸納數列極限的直觀定義

觀察當n越來越大時，數列項的變化趨勢：

（1）xn=1+1/n，（2）xn=1+（-1）n，（3）xn=2n?？梢钥闯霎斪宰兞縩越來越大時，上述數列有三種變化趨勢：其一，數列（1）是單調減少越來越接近1。其二，數列（2）只有兩個數值0和2。當自變量n越來越大時，xn的值在0和2之間來回擺動，無法趨于一個固定的數值。其三，數列（3）當自變量n越來越大時，數列xn數值單調增加且趨于無窮遠，無法與一個有限的數值接近。第一變化趨勢表明數列xn的極限存在，數值1為數列（1）的極限；第二和三種變化趨勢的數列稱為極限不存在。這樣我們就歸納出數列xn的極限是常數a的直觀定義，即當n無限增大時，數列的項xn無限接近一個常數a。

二、直觀定義抽象化

上述直觀定義不能解決數列極限及其相關的許多問題。例如，直接觀察可以得到數列xn=nsin（1/n）和xn=（1+1/n）n的極限嗎？顯然很困難。因此，我們必須研究數列極限的精確定義，才能進一步獲得極限的優良性質，然后利用它的性質去研究復雜數列極限的存在性。如何給出精確定義，要從直觀定義加以分析。其關鍵是如何用數學符號描述上面例子中出現的“越來越逼近”，或者說“無限接近”的意義。首先要有一個接近的目標，其次是數列中的項隨著下標的增加越來越接近這個目標。生活中“越來越接近一個目標”就是運動的物體離這個固定的目標之間的距離越來越小。以上述的數列（1）為例，這里討論的目標就是一個確定的數值1，把數列xn中的項1+1/n看成運動的物體，也是一個數，只是這個數要隨著自變量n的變化而變化。我們知道數軸上兩點間的距離用差的絕對值表示，xn與目標1的遠近用絕對值|xn-1|的大小表示。這樣我們就把數列xn=1+1/n的極限是1的直觀定義“當n無限增大時，xn無限接近一個常數1”翻譯為“當n無限增大時，絕對值|xn-1|無限變小，要有多小就有多小”。其次，絕對值|xn-1|要有多小就有多小，這是xn與1的接近程度的問題。如何用數學符號描述無限變小，或者說要有多小就有多??？例如要使是xn與1的接近程度小于1/100，即|xn-1|=1/n<1/100，只需要n>100，也就是從100項以后所有的項與1的接近程度小于1/100。要使xn與1的接近程度小于1/104，即|xn-1|=1/n<1/104，只需要n>104，也就是從10000項以后所有的項與1的接近程度小于104。從這里分析可以發現兩點：其一，給定一個接近程度，自變量一定存在一個起始時刻，從這一時刻以后，數列所有的項與1的距離小于這一給定的接近程度。接近程度越小，開始的時刻越大，成單調減少的依賴關系。這種依賴關系，正好描述了“當n增大時，絕對值|xn-1|變小”的邏輯關系。其二，雖然1/100和104很小，代表不了“要有多小就有多小”的意義，甚至接近程度1/1010、1/10100等很小的數都不能代表任意小，因為后面總有比它們更小的數。因此，數學中引入了字母ε來描述任意小、或者要多小就多小的正數。任意取接近程度ε，由|xn-1|=1/n<ε可知n>1/ε。由于ε任意小，故1/ε任意大，即存在正整數N=[1/ε]，使得當n>N時，所有的項滿足|xn-1|<ε。到現在為止，學生從直觀到抽象有了一定的認知，我們可以歸納出數列極限的“ε-N”精確定義：任意ε>0，存在正整數N，當n>N時，總成立|xn-a|<ε。上述教學過程體現了由具體到一般、由直觀到抽象的認知過程，符合數列極限精確定義形成的發展順序。但是要領會這一定義的深刻內涵，老師還需要引導學生作深入細致的探討。

三、深化認知，揭示概念的本質

1.ε的任意性和N的相應性。定義中正數ε是度量xn與a的接近程度，一經給出就視為固定，以便用它來求出相應的N，從這一時刻以后所有的項xn與a的接近程度才會小于ε，即|xn-a|<ε。通常N的大小依賴于事先給定的ε，故記作N=N（ε），表示N與ε之間的關聯性。并且由于ε越小，找到的N就越大，所以N與ε成單調減少的關系。

2.結合數軸直觀和形象比喻。由于|xn-a|<ε等價于a-ε0，總存在正整數N，使得數列所有下標大于N的項都進入以a為中心，ε為半徑的區間（a-ε，a+ε）內，即xN+1∈（a-ε，a+ε），xN+2∈（a-ε，a+ε）等一直下去，并且一旦進入永不離開，從而在區間（a-ε，a+ε）之外至多只有有限的N項。如果我們把區間（a-ε，a+ε）比作用于裝數列項的“口袋”，把ε比作其開口的半徑。由于ε任意小，所以口袋的開口半徑隨ε可以任意小。一旦ε給定，那么口袋的開口就固定，這時應該進入口袋的項就義無反顧地裝入，而不能進入的項就被攔截。所以存在的正整數N相當于“閥門”，只允許該進的進（下標大于N的項進），不該進的絕對不能進（下標小于等于N的項）。由于ε越小，找到的N就越大，所以“口袋”越小，不能進入“口袋”的項就越多，但仍然只是有限項。

3.由于ε是任意小的正數，那么2ε或者ε2等同樣是任意小正數，因此定義中|xn-a|<ε的ε可以用ε的倍數，即cε代替，其中c為固定正常數。同時，由于ε任意小，所以我們可以限定ε<1。并且，定義中|xn-a|<ε也可改寫為|xn-a|≤ε。

4.數列極限“ε-N”定義中“任意ε>0，存在正整數N”的語言順序是不能顛倒的。如果表述為“存在正整數N，任意ε>0，當n>N時，總成立|xn-a|<ε”，那么數列{xn}就只能是特殊數列xn=a，n>N，這是平凡情形。

5.通過例子加強對數列極限“ε-N”定義語言的應用探索。用定義去證明數列{xn}極限是a，由于接近程度ε是預先給定的，所以當作已知條件，關鍵是在這個接近程度下，數列的哪些項與a的距離會小于這個接近程度ε。也就是需要從不等式|xn-a|<ε中求解出n大于h（ε），并且h（ε）是隨ε變小而變大的正值函數。此時取N=[h（ε）]，則n>N的所有項與a的距離|xn-a|小于預先給定的ε。可是通常由不等式|xn-a|<ε很難解出n>h（ε）。一般的方法是將絕對值|xn-a|放大到|xn-a|

總之，數列極限“ε-N”語言是對數列極限的精確定義，嚴謹而科學，包含了豐富的數學思想方法，是高等數學知識體系推理論證的基礎。鑒于此，通過適當的、切實有效的教學手段引導學生逐步理解掌握這一概念，對提高大學生學習高等數學的能力和水平具有重要意義。

參考文獻：

[1]丁宣浩，陳義安，等.數學分析上冊[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]同濟大學數學系.高等數學第六版上冊[M].北京：高等教育出版社，2011.