關(guān)于數(shù)列極限“ε—N”定義的教學(xué)探討

趙文強(qiáng)+張一進(jìn)

摘要：數(shù)列極限的“ε-N”定義是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的起點(diǎn)也是難點(diǎn)，本文就概念的直觀定義、抽象化處理等方面闡述了具體教學(xué)實(shí)踐中的一些經(jīng)驗(yàn)方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；存在；任意

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）08-0191-02

極限概念是大學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念，是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，是由靜止到運(yùn)動(dòng)、由有限到無(wú)限的橋梁，體現(xiàn)了無(wú)限運(yùn)動(dòng)與無(wú)限逼近的思想，是高等數(shù)學(xué)的重要工具。高等數(shù)學(xué)課程中的主要內(nèi)容包括連續(xù)性、可微性、可積性等都是用極限語(yǔ)言定義和認(rèn)知的。因此，能否準(zhǔn)確理解數(shù)列極限的概念，直接影響到整個(gè)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)水平和數(shù)學(xué)能力的高低。本文結(jié)合具體教學(xué)實(shí)踐，就數(shù)列極限概念教學(xué)中應(yīng)該把握的幾個(gè)問(wèn)題給以闡述。

一、實(shí)例引入，歸納數(shù)列極限的直觀定義

觀察當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，數(shù)列項(xiàng)的變化趨勢(shì)：

（1）xn=1+1/n，（2）xn=1+（-1）n，（3）xn=2n。可以看出當(dāng)自變量n越來(lái)越大時(shí)，上述數(shù)列有三種變化趨勢(shì)：其一，數(shù)列（1）是單調(diào)減少越來(lái)越接近1。其二，數(shù)列（2）只有兩個(gè)數(shù)值0和2。當(dāng)自變量n越來(lái)越大時(shí)，xn的值在0和2之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，無(wú)法趨于一個(gè)固定的數(shù)值。其三，數(shù)列（3）當(dāng)自變量n越來(lái)越大時(shí)，數(shù)列xn數(shù)值單調(diào)增加且趨于無(wú)窮遠(yuǎn)，無(wú)法與一個(gè)有限的數(shù)值接近。第一變化趨勢(shì)表明數(shù)列xn的極限存在，數(shù)值1為數(shù)列（1）的極限；第二和三種變化趨勢(shì)的數(shù)列稱為極限不存在。這樣我們就歸納出數(shù)列xn的極限是常數(shù)a的直觀定義，即當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)xn無(wú)限接近一個(gè)常數(shù)a。

二、直觀定義抽象化

上述直觀定義不能解決數(shù)列極限及其相關(guān)的許多問(wèn)題。例如，直接觀察可以得到數(shù)列xn=nsin（1/n）和xn=（1+1/n）n的極限嗎？顯然很困難。因此，我們必須研究數(shù)列極限的精確定義，才能進(jìn)一步獲得極限的優(yōu)良性質(zhì)，然后利用它的性質(zhì)去研究復(fù)雜數(shù)列極限的存在性。如何給出精確定義，要從直觀定義加以分析。其關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)符號(hào)描述上面例子中出現(xiàn)的“越來(lái)越逼近”，或者說(shuō)“無(wú)限接近”的意義。首先要有一個(gè)接近的目標(biāo)，其次是數(shù)列中的項(xiàng)隨著下標(biāo)的增加越來(lái)越接近這個(gè)目標(biāo)。生活中“越來(lái)越接近一個(gè)目標(biāo)”就是運(yùn)動(dòng)的物體離這個(gè)固定的目標(biāo)之間的距離越來(lái)越小。以上述的數(shù)列（1）為例，這里討論的目標(biāo)就是一個(gè)確定的數(shù)值1，把數(shù)列xn中的項(xiàng)1+1/n看成運(yùn)動(dòng)的物體，也是一個(gè)數(shù)，只是這個(gè)數(shù)要隨著自變量n的變化而變化。我們知道數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離用差的絕對(duì)值表示，xn與目標(biāo)1的遠(yuǎn)近用絕對(duì)值|xn-1|的大小表示。這樣我們就把數(shù)列xn=1+1/n的極限是1的直觀定義“當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限接近一個(gè)常數(shù)1”翻譯為“當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，絕對(duì)值|xn-1|無(wú)限變小，要有多小就有多小”。其次，絕對(duì)值|xn-1|要有多小就有多小，這是xn與1的接近程度的問(wèn)題。如何用數(shù)學(xué)符號(hào)描述無(wú)限變小，或者說(shuō)要有多小就有多小？例如要使是xn與1的接近程度小于1/100，即|xn-1|=1/n<1/100，只需要n>100，也就是從100項(xiàng)以后所有的項(xiàng)與1的接近程度小于1/100。要使xn與1的接近程度小于1/104，即|xn-1|=1/n<1/104，只需要n>104，也就是從10000項(xiàng)以后所有的項(xiàng)與1的接近程度小于104。從這里分析可以發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)：其一，給定一個(gè)接近程度，自變量一定存在一個(gè)起始時(shí)刻，從這一時(shí)刻以后，數(shù)列所有的項(xiàng)與1的距離小于這一給定的接近程度。接近程度越小，開(kāi)始的時(shí)刻越大，成單調(diào)減少的依賴關(guān)系。這種依賴關(guān)系，正好描述了“當(dāng)n增大時(shí)，絕對(duì)值|xn-1|變小”的邏輯關(guān)系。其二，雖然1/100和104很小，代表不了“要有多小就有多小”的意義，甚至接近程度1/1010、1/10100等很小的數(shù)都不能代表任意小，因?yàn)楹竺婵傆斜人鼈兏〉臄?shù)。因此，數(shù)學(xué)中引入了字母ε來(lái)描述任意小、或者要多小就多小的正數(shù)。任意取接近程度ε，由|xn-1|=1/n<ε可知n>1/ε。由于ε任意小，故1/ε任意大，即存在正整數(shù)N=[1/ε]，使得當(dāng)n>N時(shí)，所有的項(xiàng)滿足|xn-1|<ε。到現(xiàn)在為止，學(xué)生從直觀到抽象有了一定的認(rèn)知，我們可以歸納出數(shù)列極限的“ε-N”精確定義：任意ε>0，存在正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，總成立|xn-a|<ε。上述教學(xué)過(guò)程體現(xiàn)了由具體到一般、由直觀到抽象的認(rèn)知過(guò)程，符合數(shù)列極限精確定義形成的發(fā)展順序。但是要領(lǐng)會(huì)這一定義的深刻內(nèi)涵，老師還需要引導(dǎo)學(xué)生作深入細(xì)致的探討。

三、深化認(rèn)知，揭示概念的本質(zhì)

1.ε的任意性和N的相應(yīng)性。定義中正數(shù)ε是度量xn與a的接近程度，一經(jīng)給出就視為固定，以便用它來(lái)求出相應(yīng)的N，從這一時(shí)刻以后所有的項(xiàng)xn與a的接近程度才會(huì)小于ε，即|xn-a|<ε。通常N的大小依賴于事先給定的ε，故記作N=N（ε），表示N與ε之間的關(guān)聯(lián)性。并且由于ε越小，找到的N就越大，所以N與ε成單調(diào)減少的關(guān)系。

2.結(jié)合數(shù)軸直觀和形象比喻。由于|xn-a|<ε等價(jià)于a-ε0，總存在正整數(shù)N，使得數(shù)列所有下標(biāo)大于N的項(xiàng)都進(jìn)入以a為中心，ε為半徑的區(qū)間（a-ε，a+ε）內(nèi)，即xN+1∈（a-ε，a+ε），xN+2∈（a-ε，a+ε）等一直下去，并且一旦進(jìn)入永不離開(kāi)，從而在區(qū)間（a-ε，a+ε）之外至多只有有限的N項(xiàng)。如果我們把區(qū)間（a-ε，a+ε）比作用于裝數(shù)列項(xiàng)的“口袋”，把ε比作其開(kāi)口的半徑。由于ε任意小，所以口袋的開(kāi)口半徑隨ε可以任意小。一旦ε給定，那么口袋的開(kāi)口就固定，這時(shí)應(yīng)該進(jìn)入口袋的項(xiàng)就義無(wú)反顧地裝入，而不能進(jìn)入的項(xiàng)就被攔截。所以存在的正整數(shù)N相當(dāng)于“閥門(mén)”，只允許該進(jìn)的進(jìn)（下標(biāo)大于N的項(xiàng)進(jìn)），不該進(jìn)的絕對(duì)不能進(jìn)（下標(biāo)小于等于N的項(xiàng)）。由于ε越小，找到的N就越大，所以“口袋”越小，不能進(jìn)入“口袋”的項(xiàng)就越多，但仍然只是有限項(xiàng)。

3.由于ε是任意小的正數(shù)，那么2ε或者ε2等同樣是任意小正數(shù)，因此定義中|xn-a|<ε的ε可以用ε的倍數(shù)，即cε代替，其中c為固定正常數(shù)。同時(shí)，由于ε任意小，所以我們可以限定ε<1。并且，定義中|xn-a|<ε也可改寫(xiě)為|xn-a|≤ε。

4.數(shù)列極限“ε-N”定義中“任意ε>0，存在正整數(shù)N”的語(yǔ)言順序是不能顛倒的。如果表述為“存在正整數(shù)N，任意ε>0，當(dāng)n>N時(shí)，總成立|xn-a|<ε”，那么數(shù)列{xn}就只能是特殊數(shù)列xn=a，n>N，這是平凡情形。

5.通過(guò)例子加強(qiáng)對(duì)數(shù)列極限“ε-N”定義語(yǔ)言的應(yīng)用探索。用定義去證明數(shù)列{xn}極限是a，由于接近程度ε是預(yù)先給定的，所以當(dāng)作已知條件，關(guān)鍵是在這個(gè)接近程度下，數(shù)列的哪些項(xiàng)與a的距離會(huì)小于這個(gè)接近程度ε。也就是需要從不等式|xn-a|<ε中求解出n大于h（ε），并且h（ε）是隨ε變小而變大的正值函數(shù)。此時(shí)取N=[h（ε）]，則n>N的所有項(xiàng)與a的距離|xn-a|小于預(yù)先給定的ε。可是通常由不等式|xn-a|<ε很難解出n>h（ε）。一般的方法是將絕對(duì)值|xn-a|放大到|xn-a|

總之，數(shù)列極限“ε-N”語(yǔ)言是對(duì)數(shù)列極限的精確定義，嚴(yán)謹(jǐn)而科學(xué)，包含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，是高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系推理論證的基礎(chǔ)。鑒于此，通過(guò)適當(dāng)?shù)摹⑶袑?shí)有效的教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生逐步理解掌握這一概念，對(duì)提高大學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的能力和水平具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

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