不定積分與定積分換元積分法的比較

黃優良

摘要：換元法是積分學教學中的重要內容。本文通過對換元法在不定積分與定積分中的比較，闡述了不定積分與定積分換元的實質及其異同，為學生掌握不定積分與定積分的計算帶來方便。

關鍵詞：高等數學；積分學；換元法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）08-0197-02

換元法是數學解題的一個重要方法，在科學研究中有著廣泛的應用。在高等數學教學中，如何使學生準確掌握不定積分與定積分的換元法顯得尤為重要，也是學生學好積分學的一項關鍵內容，為今后學習重積分、曲線積分及曲面積分等打下良好基礎。也許有的人會說，已經學習了不定積分的換元法，就沒有必要再去學習定積分的換元法了。這種說法當然是有失偏頗的。這要從兩者的異同來分析。

一、相似之處──換元手法相似

不定積分與定積分作為積分學的基礎，其重性是不言而寓的，它們有著許多相似甚至相同之處，特別是定積分通過牛頓—萊布尼茲公式，與不定積分建立了一定的聯系。它們在求解過程摘要：換元法是積分學教學中的重要內容。本文通過對換元法在不定積分與定積分中的比較，闡述了不定積分與定積分換元的實質及其異同，為學生掌握不定積分與定積分的計算帶來方便。

關鍵詞：高等數學；積分學；換元法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）08-0197-02中都要用到一個重要方法──換元積分法。不定積分與定積分的換元法都有兩類：第一換元積分法與第二換元積分法。第一換元積分法又稱為湊微分法，第二換元積分法也有人稱之為變量置換法。在換元手法上，它們是相似的（甚至可以說是相同的）。不定積分的湊微分法：若f（u）du=F（u）+C（或F'（u）=f（u）），則有：fu（x）u'（x）dx=fu（x）du（x）=Fu（x）+C。（C為任意常數，下同）定積分的湊微分法與不定積分完全類似，不同之處是定積分在考慮積分上下限后得出的結果是積分值，而不定積分得出的結果是函數系。不定積分的第二換元積分法：為了求解不定積分f（x）dx，作換元：令x=φ（t），得到f（x）dx=f[φ（t）]φ'（t）dt，使得積分形式變得更為簡單，從而得到不定積分的解。對于定積分，也同樣可作變量代換，使得定積分計算起來變得簡便。

例1：求不定積分dx.

解：令x=，則dx=-dt，于是

dx=-dt=-+

=-arcsint++C=-arcsin+C。

例2：計算定積分（a>0）.

解：令x=asint，則=acost，dx=acostdt

換元

當x=0時，t=0；當x=a時，t=換限

故：=dt=I，再換元：

t=-u，則dt=-du，換限：t=0時，u=；當t=時，u=0，I=（-du）=du=

dt，因此，得：2I=dt=，從而可得：=。不定積分與定積分常用的第二換元法有：倒數換元（如例1），三角換元（如例2），以及簡單無理函數換元（比如例1中，還可直接令u=），三角函數換元（針對被積函數中含三角函數的積分），等等。盡管不定積分與定積分有著相似甚至相同的換元手法，但是我們也不能說，在用換元積分法計算定積分時可完全按不定積分的換元法“依此類推”，因為它們有著本質的區別。

二、不同之處

1.不定積分與定積分的含義、所求結果不同。一個函數的不定積分是指這個函數的原函數，不定積分的結果依然是函數，幾何上表示平面上一系列平行曲線簇。而我們在引入定積分時，定積分幾何上是在指定區間上曲邊梯形面積的代數和。定積分計算所得的結果是一個數值。在定義方面，如果區間I上，可導函數

F（x）有：F'（x）=f（x），則稱函數f（x）在區間I上存在不定積分，且f（x）dx=F（x）+C。而對于定積分，設函數f（x）在區間[a，b]上有界或分段有界，經過對區間[a，b]任意分割、近似、求和、取極限的步驟，當分割的細度趨于零時和式的極限總存在，則稱函數f（x）在區間[a，b]上的定積分存在，并定義f（x）dx=f（ξ）Δx。由此可見，不定積分與定積分是有著本質區別的，這就決定了在用換元法求解時，它們必有不同之處。

2.換元法求解的過程存在不同，定積分換元的同時要換限。不定積分在換元求解時，最后還必須把中間變量換回成x，使得所求結果依然是x的函數，比如例1。而定積分換元求解時，則不必再將中間變量換回成x了，因為定積分的最終結果是數值，只要能把結果求出來即可。但是，定積分換元法要注意兩個方面。一是定積分換元時，要“換元換限”，即換元的同時要變換積分上、下限。二是用于換元的函數應該是單調連續的。即：設函數f（x）在區間[a，b]上連續，函數x=φ（t）滿足：（1）φ（α）=a，φ（β）=b，（2）φ（t）在

[α，β]（或[β，α]）上有連續導數，且φ'（t）≠0不變號，則f（x）dx=f[φ（t）]φ'（t）dt。這就是定積分的換元積分法。從中也可以看出，定積分換元法要比不定積分換元法簡便一些。

總之，換元法是一類重要的數學方法，在不定積分與定積分的計算中，起著至關重要的作用，掌握這類方法，也為高等數學其他內容的學習打下良好的基礎。

參考文獻：

[1]同濟大學數學教研室主編.高等數學（上冊）[M].第四版.北京：高等教育出版社，1996：237-254，296-303.

[2]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1991：244-308.