Mathematica在電磁波教學中的應用

趙妍卉　丁衛平　劉涵　朱衛剛

摘要：把Mathematica數學軟件應用到電磁波的教學中，做出電磁波的傳播、反射和折射過程的三維動態效果圖，既增強了學生的感性認識，又達到了良好的教學效果。

關鍵詞：Mathematica；電磁波；效果圖

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）06-0183-02

Mathematica是美國Wolfram Research公司開發的數學軟件，已經在工程領域、計算機科學、生物醫學、金融和經濟、數學、物理和化學以及社會科學等范圍內得到了廣泛應用，并得到了廣泛的推廣。Mathematica主要可以做數值運算、符號運算和圖像處理三項工作，可以用于解決各種領域的復雜的符號計算和數值計算的問題。它包含了一百多個做圖函數，是數據可視化的最好工具，因此用Mathematica可以很方便地畫出用各種方式表示的一元或二元函數的圖形。通過這樣的圖形，我們可以立即形象地把握住函數的某些特性，而這些特征一般很難從函數的符號表達式中看清楚。因此，選擇Mathematica語言來進行電磁場理論的符號推導和數值計算以及對電磁場結果進行可視化是十分合適的。

用Mathematica軟件做出電磁波在傳播、反射和折射過程的三維動態效果圖，可以使學生從感官上去認識電磁波的特性，便于理解和記憶。下面針對電磁波在傳播過程中的幾種情況，給出使用程序。設電磁波沿z軸傳播，如果存在兩種媒質，分界面為z=0的平面。

一、均勻平面波在無界理想介質中傳播

均勻平面電磁波在理想介質中傳播，電場和磁場的表達式為：

（z，t）= E cos（ωt-βz+φ ）

（z，t）= cos（ωt-βz+φ ）

根據表達式，由Mathematica軟件做出電磁波傳播的三維動態效果圖，程序如下：

pmb：=Table[Graphics3D[{{Arrowheads[0.02]，Black，Thickness[0.004]，Arrow[{{-0.3，0，0}，{4.25＼[Pi]，0，0}}]，Arrow[{{0，0，-0.3}，{0，0，2.5}}]，Arrow[{{0，0.3，0}，{0，-2.5，0}}]}，Thickness[0.0015]，Red，Table[{Arrowheads[0.005]，Arrow[{{x，0，0}，{x，0，2

Sin[t-x]}}]}，{x，0，4＼[Pi]，＼[Pi]/10}]，PointSize[0.005]，Table[Point[{x，0，2

Sin[t-x]}]，{x，0，4＼[Pi]，0.02＼[Pi]}]，Blue，Table[{Arrowheads[0.005]，Arrow[{{x，0，0}，{x，-2

Sin[t-x]，0}}]}，{x，0，4＼[Pi]，＼[Pi]/10}]，PointSize[0.005]，Table[Point[{x，-2

Sin[t-x]，0}]，{x，0，4＼[Pi]，0.02＼[Pi]}]}，PlotRange->

{{-0.1＼[Pi]，4.5＼[Pi]}，{-2.5，2.5}，{-2.5，2.5}}，

Boxed->False，ViewPoint->{100，-200，100}，ImageSize->600]，{t，0，2＼[Pi]，＼[Pi]/40}]

Export["D：＼均勻平面波.gif"，pmb]

從效果圖中我們可以清晰地看到電磁波的傳播過程，電場和磁場相位相同，同時達到最大值或最小值，振幅電場大于磁場，傳播過程中振幅不變，截取某一時刻圖形如圖1。

二、均勻平面波對理想介質與理想導體分界面的垂直入射

均勻平面電磁波入射到理想導體表面會發生全反射，在理想介質中，電磁場為入射波和反射波的合成波，合成波為駐波，電場和磁場的表達式為：

（z，t）= 2E sinβ zsinωt （z<0）

（z，t）= cosβ zcosωt （z<0）

根據表達式，由Mathematica軟件做出理想介質中合成波的三維動態效果圖，程序如下：

pmb：=Table[Graphics3D[{{Arrowheads[0.02]，Black，Thickness[0.004]，Arrow[{{-0.3，0，0}，{4.25＼[Pi]，0，0}}]，Arrow[{{0，0，-0.3}，{0，0，2.5}}]，Arrow[{{0，0.3，0}，{0，-2.5，0}}]}，Thickness[0.0015]，Red，Table[{Arrowheads[0.005]，Arrow[{{x，0，0}，{x，0，

Sin[t-x]-Sin[t+x]}}]}，{x，0，4＼[Pi]，＼[Pi]/10}]，PointSize

[0.005]，Table[Point[{x，0，

Sin[t-x]-Sin[t+x]}]，{x，0，4＼[Pi]，0.02＼[Pi]}]，Blue，Table

[{Arrowheads[0.005]，Arrow[{{x，0，0}，{x，-

Sin[t-x]-Sin[t+x]，0}}]}，{x，0，4＼[Pi]，＼[Pi]/10}]，PointSize

[0.005]，Table[Point[{x，-

Sin[t-x]-Sin[t+x]，0}]，{x，0，4＼[Pi]，0.02＼[Pi]}]}，PlotRange->{{-0.1＼[Pi]，4.5＼[Pi]}，{-2.5，2.5}，{-2.5，2.5}}，Boxed->False，ViewPoint->{100，-200，100}，ImageSize->600]，{t，0，2＼[Pi]，＼[Pi]/40}]

Export["D：＼＼理想導體垂直入射.gif"，pmb]

從效果圖中，我們可以清晰的看到合成波為駐波，電場和磁場的相位差為 ，截取某一時刻圖形如圖2。

三、均勻平面波對理想導體的斜入射

對于斜入射，要分垂直極化波和水平極化波兩種情況討論，兩種情況相似，以電場為垂直極化波為例討論，均勻平面電磁波入射到理想導體表面要發生全反射，理想介質中的合成波的表達式為：

（z，t）= 2E sin（k zcosθ）sin（ωt-k xsinθ） （z<0）

（z，t）= [- cosθcos（k zcosθ）cos（ωt-k xsinθ）+ sinθsin（k zcosθ）sin（ωt-k xsinθ）] （z<0）

根據表達式，由Mathematica軟件做出理想介質中合成波電場的二維動態效果圖，程序如下：

th：=Pi/6

ee[x_，z_，t_]：=Sin[z Cos[th]] Cos[t-x Sin[th]]

pmb：=Table[ContourPlot[ee[x，z，t]，{z，-10Pi，0}，{x，-5Pi，Pi}，ImageSize->600，PlotPoints->50]，{t，0，2Pi，Pi/50}]

Export["D： ＼＼垂直極化波斜入射理想導體.gif"，pmb]

從效果圖中我們可以清晰的看到，合成波在x軸方向上是行波狀態，在-z軸方向上，電磁場量呈駐波分布。截取某一時刻圖形如圖3。

四、結語

通過使用Mathematica數學軟件強大的圖像處理功能做出電磁波傳播、反射和折射過程的動態效果圖，使我們的學生從感官上去認識電磁波的特性，學生更容易理解也更感興趣，我們的課堂也因此變得更加活撥生動起來。

參考文獻：

[1]杜建明.Mathematica在電磁場理論中的應用[M].合肥工業大學出版社，2004.

[2]馬冰然.電磁場與電磁波[M].廣州：華南理工大學出版社，2007.

[3]楊能彪.基于Mathematic的電磁場計算與可視化[D].成都：西南交通大學碩士學位論文，2007.