一線串起課堂

呂 娟

（江蘇省南京市伯樂中學，江蘇南京 210038）

引 言

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織引導者。”剛接到教研員老師通知我要開設一節關于角的復習課時，我的心里很慌。角這個部分的知識點很多，一課時的復習很“擁擠”。如何安排這節課的復習，例題的選擇、練習的篩選都是我要考慮的問題。在備課一稿時，我選擇了最保守的思路：第一部分是自主學習，選取六道小題（選擇題和填空題），題目難度較小，目的是讓學生通過完成小題來復習角這一章的知識點，完成知識框圖的建立；第二部分是交流展示，主要選取了三道例題。例1的設計目的是考查角的和差關系以及等式的基本性質的綜合應用。例2的設計目的是考查鄰補角的定義，以及根據題中給出的等量關系列出方程，靈活運用方程的方法解題。例3主要考查角平分線的性質和平角的知識。在三道例題后，我選擇了一道拓展延伸題，主要考查學生對角的計算的理解和掌握。

試上了一節課后，我發現效果一般，知識點太瑣碎、題量大，學生思考的時間長，影響課堂進度。

一、案例描述

在毫無頭緒之時，我想到了三大終極問題：“我是誰，從哪兒來，到哪兒去。”此時，一個念頭劃過。對，角是怎么產生的？兩條直線相交產生。整節課不就是圍繞一些角、線而展開的嗎?于是，我開始這樣處理這節課，拋棄前面的PPT課件，改用幾何畫板來完成課堂教學，只為體現從一變多的過程。

師：平面內兩條直線的位置關系有幾種？生：（全員回答）平行與相交。師：很好，今天我們來研究直線相交的相關問題，首先我們看活動一。

活動一 ：如圖1，直線AB、CD相交于點O，形成四個角，那么這四個角有何關系？

圖1

圖2

圖3

圖4

生：（迅速回答）對頂角相等，互為補角的兩個角的和是180°。師：非常好，反應很快。（在黑板上補上結構框圖中的“補角、對頂角”以及對頂角相等）如果我在圖上再加一條射線OE呢？（在幾何畫板上按下OE按鈕）若∠BOE=90°,則∠BOC與∠COE有何關系？生：（不假思索）∵∠BOE=90°，∴∠BOC+∠COE=90°，∴∠BOC與∠COE互余。師：對的，這就是余角的定義。（在黑板上補上結構框圖中的“余角”）若我在這個圖上再加上一條射線，會發生什么？若OF⊥CD，則∠AOF與∠COE有何關系？請說明理由。生：（眼睛里滿是好奇）思考……師：能不能想想這題和剛才的題有何聯系？垂直能想到什么？生：（部分稀疏的聲音）90°。師：對的，90°能想到哪個知識點？生：余角。師：和∠AOF、∠COE有關的有幾對余角呢？生：∠AOF+∠EOF=90°，∠COE+∠EOF=90°。生：哦……∠AOF=∠COE。師：為什么呢？生：（異口同聲）同角的余角相等。師：非常好！這條性質還可以繼續補充，應該是……生：（全班齊答）同角（等角）的余角（補角）相等。師：正確！（在黑板上補上結構框圖中的“同角[等角]的余角[補角]相等”）回到圖1，添上另一條射線OP，我們來看活動二。

活動二：直線AB、CD相交于點O，若∠AOC=130°，OP平分∠BOC，求∠POC的度數。

師：怎么思考這道題？要求∠POC，只要求……生：(極少數)要求∠BOC。師：對，∠BOC也是未知的，怎么求？生：我知道。∠BOC是∠AOC的補角，等于180°減去130°，也就是50°。師：很好，在做幾何題的過程中，就是要熟練地使用綜合法和分析法解題。同時，要注意書寫（補充板書中的結構框圖“角平分線”，板書解題過程）至此，本節課的知識框圖全部完成。師：圖4中，我們只有一條角平分線，如果再……生：再加一條對角線（很是興奮）。師：很聰明，已經知道老師的套路了。若OQ平分∠AOC，求∠POQ的度數。

圖7

圖5

圖6

圖8

隨后給出變式：直線AB、CD相交于點O，OP、OQ分別平分∠BOC,∠AOC，求∠POQ的度數。

活動三：直線AB、CD相交于點O，∠BOC=α，∠BOE=β(β為銳角)，OP、OQ分別平分∠COE，∠BOE,求∠POQ的度數。

拓展提升：已知∠AOB=110°，∠BOC=40°，OP、OQ分別平分∠AOB,∠BOC，求∠POQ的度數。

關于拓展提升的處理，我讓學生自己完成作圖，主要考查角的計算。做題時，部分學生沒有分類討論。此題是對本節課的一個提升。

二、案例反思

對兩條直線相交的基本圖形的變形，是這次課堂教學中較成功的一筆。就是因為這一探索過程，對于我補充的練習屬中等難度的題型，班級中成績偏下的學生也能很好地掌握。而對于拓展提升練習，對于初學幾何的學生來說，難度有點大。一部分學生顯露出感興趣的神情，不少學生能很好地解答此類題。能夠達到如此好的效果，完全因為摒棄了常規的獨立例題，找到了一條神奇的線索，串起了整節課。

關于這節復習課，我有以下幾點想法。

1.剝繭抽絲，抓住重點

復習課不像新授課那么“新鮮”，而且內容豐富，抓手太多，導致無從下手。從知識層面上說，教師應思考的問題有以下幾點：初中階段的數學知識有哪些？在這些知識中，哪些是核心概念？核心的數學思想方法是什么？中考的重點、熱點、難點是什么？教師要做的就是剝繭抽絲，從中抓住重點[1]。

2.找到線索，化難為易

抓住重點后，教師還應思考如何呈現知識，如何引領學生學會整理與歸納所學知識。化重點為線索，從一個基本圖形出發，講解一個知識點，之后不斷地對基本圖形進行變形，全面覆蓋知識點，突出重點內容。一題多變，讓一節課用一條線索串聯以來，使得教學的每個環節都不再是彼此獨立的部分。一節課環環相扣，循序漸進，步步逼近課程教學目標。一條線索串起課堂，借助一題多變，促進學生探索能力的提高，學生的解題思路得到拓展，解題能力得到提高。一條線索串起課堂，化難為易，實現深入淺出。

3.重視綜合，融會貫通

數學復習要注意基本概念、定律、公式的比較以及應用，從具體到抽象等多層次、多維度、全方面地融會貫通。對于幾何復習，應弄清來龍去脈，理清相互關系，注意表達形式，使每一個知識點聯系起來，達到以點成線、以線成面、以面成體的目的[2]。

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準[M].北京:北京師范大學出版社, 2011.

[2] 張文鎮.提高初中數學課堂分層教學效果的策略探析[J].中學生數理化(學研版),2013,(05):27.