“導數在研究函數單調性中的應用”教學設計

袁 云

（江蘇省南京市第十三中學，江蘇南京 210008）

引 言

高中階段導數是研究變量和函數的重要手段，導數的概念從實際問題抽象而來，是對函數的圖象與性質的總結與拓展，是研究單調性、最值問題，以及某些不等式的證明、求解和數列求解的重要工具[1]。利用導數研究函數的單調性這節課最大的難點在于如何把導數和單調性聯系起來，是從導數定義出發分析還是從單調性定義引入，都覺得很突兀。

本節課主要以如何求函數的單調區間為主線，以數到形、形到數的切換為輔線，實現從觀察到發現、到驗證、到應用的一個過程。高中數學課程強調揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。本節課通過典型例子的引入和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊含在其中的思想方法——特殊到一般的思想、數形結合的思想、函數與方程的思想、算法的思想，使學生認識到導數比單調性更加精確地反映函數的變化趨勢，自主探究過程過渡自然，拉近了學生與研究問題的距離，有利于發揮學生思維的主動性，突破教學難點。

一、教學過程

1.教學引入

展示一組過山車的圖片，和同學交流坐過山車沖入云霄又墜入谷底的感覺。提出從數學的角度看游客的位置與時間之間的關系，學生很快說出是函數關系。那么上升和下降過程中，函數值的變化可以用函數的哪個性質描述呢，學生立刻聯想到單調性，從而引入本節課研究的問題，進一步研究函數的單調性。

2.問題導入

問題1 求函數y=x2-4x+3的單調區間。

師：同學們思考一下如何求這個函數的單調區間？生：畫出函數的圖象，對稱軸為x=2，開口向上，所以單調增區間：（2，+∞）單調減區間：(－∞，2)。師：從圖象看就能確定一定是單調的嗎？生：可以用定義證明。師：請問單調性的定義是什么？以單調增為例。生：在區間上任取x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2)成立。師：非常好。剛才同學們從形的角度即圖象讀出函數是上升還是下降的，從而指出單調區間。又從數的角度進行了論證。下面繼續看函數y=2x3-6x2+7，怎么求它的單調區間。生：用定義。師：為什么不畫圖？生：不會畫。師：求單調區間最直接的方法就是從形的角度去看，無法畫出圖象就選擇定義解決，那么繼續看y=ex-x，怎么求它的單調區間。生：圖不會畫，定義也用不了了，因為f(x)-f(x)=(ex1-ex2)+(x-x)一正一負，確定不了符號。師：

1221從形的角度和數的角度都解決不了，只有另辟蹊徑，大家思考一下還有什么辦法？生：導數。導數的幾何意義是切線的斜率，感覺可以。師：導數的實質是瞬時變化率，也是研究變化趨勢的，應該可以，不妨我們來研究下一個問題。

問題2 導數和函數的單調性有什么聯系？

師：導數幾何意義是切線的斜率，那么在剛才的函數圖象上分別取點作出該點處的切線，觀察有什么規律。生：在對稱軸左側的點切線的傾斜角為鈍角斜率為負，在對稱軸右側的點切線的傾斜角為銳角斜率為正。師：回顧導數的幾何意義，說明了什么？生：在對稱軸左側導數值為負，函數遞減。右側為正，函數遞增。師：這樣就是說函數的單調性與導數有密切聯系，你能說出一般性結論嗎？生：一般地，對于函數f(x)，x∈D，若f'(x)＞0，則f(x)在區間D上是單調增函數。若f'(x)＜0，則f(x)在區間D上是單調減函數。師：我們從形的角度得到一般性的結論能不能從數的角度進行論證呢?老師一邊指引學生一邊在黑板上板書論證過程。導數本質瞬時變化率是由平均變化率逼近而來，導數大于0則平均變化率大于0。由表明分子分母同號，進而滿足定義。師：找出了導數與單調性的聯系，我們回頭解決剛才的問題。老師帶領學生一起解決，老師板演。

例1 求函數y=2x3-6x2+7的單調增區間。

解：f '(x)=6x2-12x

令 f '(x)＞0得 x＞2或 x＜0

函數的單調增區間為(-∞，0)，（2，＋∞）

例2 求函數y=sinx，x∈[0，2π]單調減區間。

解：f '(x)=cosx

師：求單調區間注意什么？

生：單調區間不能并，要用逗號隔開或者連接，還要注意定義域。

問題3 如何利用導數大致地作出函數的圖象呢？

生：求出f(0)=7，f(2)=-1，利用遞增遞減區間畫出函數y=2x3-6x2+7的圖象

師：導數與函數單調性聯系如此緊密，不僅可以利用導數求單調區間還可以畫出原函數的大致圖象，這都離不開結論?；仡^看結論大家想一想，反過來成立嗎？

問題4 如果函數y＝f (x)在某個區間上是單調增的，一定有在這個區間f '(x)＞0上成立嗎？

學生舉出反例，y＝x3在實數R上單調增，但f '(x)≥0。所以反之不成立。師：本節課你有哪些收獲？生：學會了用導數求單調區間，學會了用導數畫圖象。

3.小結

導數的符號反映了函數在某個區間上的單調性；利用導數求函數y＝f (x)的單調區間的一般步驟；體會了數形結合、由特殊到一般、函數與方程、算法的數學思想。

二、教學反思

問題的引入環節，以一個具體的函數為例回顧了函數單調性的判斷方法、定義法和圖象法，體會了圖象法的便捷和定義法的嚴謹。同時給出了一個三次函數，發現圖象法和定義法都很難解決，進而想到還有沒有其他方法。學生充滿好奇的求知欲，激發學生積極主動地參與思考。

探索函數單調性與導數關系，采用問題串的形式逐步遞進，層層深入。首先有學生想到導數，于是通過回憶導數的幾何意義是圖象上某點處切線的斜率，本質是瞬時變化率，都體現了函數的變化，進而從形的角度進行觀察。通過觀察已有的二次函數的切線歸納出遞增區間切線斜率為正，遞減區間切線斜率為負。學生通過觀察、發現、歸納、總結，充分體驗了知識發現、發生的過程，變被動為主動。接著從數的角度進行驗證。導數大于0，推出平均變化率大于0，推出進而證得?？紤]到課堂容量，沒有提導數在個別點處為0，不影響函數單調性的情況。

應用導數求單調區間環節，主要通過回頭解決一開始提出的三個問題，一方面做到解決問題有始有終，一方面總結出解決問題的一般步驟，一舉兩得。同時，通過題目的變化將函數變為三角函數、還有指數函數，讓學生規范解題步驟，同時體驗導數方法應用的廣泛性。最后應用導數知識畫出三次函數的大致圖象，實現了由形到數、再由數到形的雙向通道，讓學生充分感悟數形結合的思想。

小結部分，首先讓學生回憶一節課所學重要內容，學生之間相互補充，不斷地豐盈所學內容，最后老師加以總結和強調。

結 語

本節課成功之處在于：注重教學設計，體現了學生主體、教師主導的精神，精心設計了問題串，逐步遞進環環相扣；注重探究方法和數學思想的滲透，教師啟發學生以已知熟悉的二次函數為研究的起點，從圖象上發現關系，再從理論上探究驗證，既讓學生獲得了新知，又讓學生體會到研究一個新問題的探究方法，同時也滲透了歸納推理的數學思想方法；突出學生主體地位，通過拋出問題，促使學生主動探索、積極思維。美中不足的是最后一個問題的處理由于時間關系顯得有些倉促，多媒體應用方面可以再提高制作水平，還有一些不足之處我將不斷發現和改進。

[1] 劉雪娟.導數在高考數學中的地位[J].學園,2014,(33):154.