創(chuàng)設(shè)合適路徑 促進(jìn)概念生長
——《三角形的認(rèn)識》教學(xué)實踐與思考

方 芳

（浙江省臺州市仙居縣實驗小學(xué)，浙江臺州 317300）

引 言

張奠宙教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的對象是抽象的、形式化的思想材料。”如何讓抽象化的概念內(nèi)化為學(xué)生生動的思想材料，需要運用判斷、推理、觀察等手段，不只是在學(xué)生的頭腦中建立概念的外在形式，而是對本質(zhì)屬性的理解和認(rèn)識，從而推進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展[1]。基于這樣的思考，筆者在《三角形的認(rèn)識》一課中，作了以下的嘗試。

《三角形的認(rèn)識》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級下冊第五單元“三角形”中的第一課時內(nèi)容，其主要內(nèi)容是理解兩個定義、形成一項技能：即什么是三角形和三角形的高，并形成畫高的技能。

通過第一學(xué)段和四年級上冊的學(xué)習(xí)，學(xué)生對三角形有了直觀的認(rèn)識，并知道三角形的三個特征，從平面圖形中分辨出三角形；認(rèn)識了線段、垂直后，能從直線外一點畫這條直線的垂線；掌握畫平行四邊形的高的技能。在此基礎(chǔ)上，本課安排了三角形定義、認(rèn)識底和高等教學(xué)內(nèi)容，是以后學(xué)習(xí)三角形面積計算的基礎(chǔ)。學(xué)生對于三角形定義，處于能夠意會難以言表的狀態(tài)，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)三角形是本課的教學(xué)重點之一；學(xué)生雖有平行四邊形高的基礎(chǔ)，但真正意義上正確理解三角形的高并能表達(dá)的學(xué)生甚少，而準(zhǔn)確畫高，是本課的難點。

一、概念的形成需要怎樣展開才豐滿

1.溝通——把特征與定義悄然融合

學(xué)生對于什么是三角形，已能夠非常直觀地感知，即三角形有3個角、3條邊、3個頂點，從特征感知概念的表象，怎樣讓學(xué)生真正意義上的理解三角形的概念？

【片段一】

生：有3個角。

師：除了有3個角，它還有什么特征？

生：3條邊、3個頂點

判斷：下面的圖形是三角形嗎？（圖1）

圖1

師：哪些是三角形？哪些不是？為什么？

生：（1）和（4）是三角形，因為它們都有3條邊、3個角、3個頂點。

生：（2）和（3）不是，（2）一條邊不直，（3）的邊是分開的，沒有3個角。

師：（3）要怎樣才能讓它變成三角形呢？

生：線接起來了，有3個頂點，3個角，3條邊。

師：線接起來了是什么意思？（一個學(xué)生上臺邊指邊說。）

師：書本上是怎么定義三角形的，我們一起來讀一讀。

師：括號里“相鄰線段的端點相連”是對誰的解釋？

生：圍成。

師：是的，就是你們說的連起來。你能在“由3條線段圍成的圖形叫三角形”定義中找到三角形的3個特征嗎？

生：3條線段就是3條邊。

生：圍成就是3個頂點、3條邊。生：因為只有圍成了，才會有3個頂點、3條邊。

通過“回憶特征—用特征判斷—得出概念—溝通特征與定義”四部曲，在辨正辨?zhèn)沃凶寣W(xué)生體會到：通過化曲為直、首尾相連等的變化得到三角形，進(jìn)一步清晰概念的本質(zhì)屬性。會用特征辨別，并不是等同于真正地理解三角形的內(nèi)涵和外延。逐步讓學(xué)生明白：原來學(xué)習(xí)的3個角、3條邊、3個頂點在定義“由3條線段圍成的圖形”中也能夠找到，只有這樣圍成了，才能找到3個角、3個頂點。從而把新舊知識有效地架構(gòu)起來，更好地理解三角形這一概念。

2.求聯(lián)——讓概念體系走向完整

一直在思索，如何置身于大單元的知識體系中去思考三角形一課，讓知識體系更完善。

【片段二】

師：今天我們認(rèn)識了三角形，它是我們平面圖形王國中最基本的一個圖形。我們看（圖2），它其實和很多圖形都有連接點，兩個完全相同的三角形可以拼成一個……

生：平行四邊形。

師：還可以拼成……

生：長方形、正方形。

師：如果是這樣呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：一個三角形的高就是這個平行四邊形的高。

師：如果把這個五邊形這樣切分呢？

生：3個三角形。

師：如果是這樣很多很多的小三角形呢？

生：圓。

師：一個接近圓形的平面圖形。

圖2

三角形是整個平面圖形中最基本的一個，如何把三角形與其他圖形有效地連接起來。提出：今天我們認(rèn)識的三角形，它和其他的很多圖形是有聯(lián)系的，看：兩個完全一樣的三角形可以……一個五邊形可以分割成……如果有無數(shù)個一樣大的小三角形，就可以……有效地讓三角形置身于其他圖形中，讓整個知識體系得到完善。充分利用新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從知識的邏輯順序中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形和學(xué)生已學(xué)的平行四邊形之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生由“兩個一模一樣的三角形拼成了一個平行四邊形”逆向思考，發(fā)現(xiàn)了此時三角形的高就是平行四邊形的高，使每一個學(xué)生發(fā)現(xiàn)所學(xué)新知是舊知的擴(kuò)充與發(fā)展，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形的面積打下了堅實的基礎(chǔ)。再用切分的方法將多邊形分割成若干個三角形，來揭示三角形是多邊形中最基本的一種，就在這樣的新舊知識的轉(zhuǎn)化中，達(dá)到新知不新的教學(xué)效果，轉(zhuǎn)出了新的深度。

二、準(zhǔn)確畫高需要怎樣的支點才能落地生根

三角形畫高其難度來自于三角形的形狀、放置的位置等。本節(jié)課對于畫高，主要通過這樣三個層次推進(jìn)：嘗試畫高—掌握方法—形成技能。

1.嘗試——在自主畫高中掌握方法

活動：畫出指定底上的高（圖3）。

畫后，請學(xué)生評價你認(rèn)為誰畫的最好？學(xué)生分別從有沒有垂直線段，有沒有虛線和標(biāo)直角符號等進(jìn)行評價，從而得出畫高的方法和注意點。

圖3

2.厘清——在變式畫高中掌握技巧

活動：畫指定底上的高。（圖4）

圖4

針對直角三角形的三種情況：

圖5

師：你認(rèn)為哪一種對

大部分同學(xué)贊同第2種。

師：他沒有畫，為什么就說他畫對了？

生：因為用三角尺推過去，下面已經(jīng)是直角了。

生：直角三角形的兩條直角邊都是垂線，就都是高。

師：他說的是什么意思？

生：指著底，上面的直角邊是下面這條底的高，如果以這條為底，那么另一條直角邊就是它的高。

師：要判斷自己是否畫對了……

生：從頂點到底的垂直線段。

師：這個方法好，那第3位同學(xué)畫的是高嗎？

生：也是的，但是是以上面這條邊為底。

師：仔細(xì)觀察直角三角形的3條高，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：三條高都交于直角邊的交叉點上……

師：你發(fā)現(xiàn)銳角三角形呢？

生……

從學(xué)生的回答中，已然明白直角邊就是底上的高。通過觀察和找，明白原來直角三角形的有兩條高，不用三角尺去畫。

3.畫形——形成畫高的技能

在一組距離是2厘米的平行線中畫一個底是3厘米高是2厘米的三角形（圖6）。

圖6

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：只要在上面這條線上，任意的一點都可以。

生：高可以畫到三角形外面的。

師：你覺得今天的畫高是一個新知識嗎？

生：不是，不是，畫三角形的高和畫垂線一樣的。

生：和畫平行四邊形、畫梯形的高是一樣的……

通過三次畫高，從“嘗試畫”——總結(jié)方法，到“會畫”——掌握方法，再到“巧畫”——形成技巧。既突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點；同時，讓學(xué)生多次畫高熟練畫高技能，又進(jìn)一步加深了對三角形的高和一個三角形有三條高的理解。在操作、觀察、辨析、修改讓學(xué)生逐步清晰、掌握畫高的技巧，從而形成技能。延長一邊畫高是畫高這一難點中難中之難，所以課堂中，安排了平行線上畫三角形的活動，以分散難點。學(xué)生更是驚喜連連，無形當(dāng)中把畫三角形的高與垂線和平行四邊形的高連起來。

結(jié) 語

概念是抽象的、形式化的，從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，在概念的初步形成階段，充分讓學(xué)生經(jīng)歷抽取出概念的共同的本質(zhì)屬性的過程，這樣概念才能真正成為學(xué)生的思想材料，悄然無聲地生長，從而促進(jìn)學(xué)生的思維成長。

[1]吳靜君.有效課堂:尊重教材,基于學(xué)生——“三角形的認(rèn)識”兩次磨課的過程與思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2015,(10):35-37.