切換非線性系統全局優化運行的經濟預測控制

楊亞茹 李少遠

化工生產過程中對于生產運作的需求,已從過去著重考慮系統的穩定性,轉變至兼顧系統安全穩定下同時優化全局系統運行的經濟性.這里的經濟性通常用一類定義在系統工作范圍的經濟指標(泛指一類評價系統運行狀況的性能函數)評價,全局優化運行的目標,是使得系統實際閉環運行軌跡在允許的工作范圍內,同時盡可能減少各時刻工作狀態對應的經濟指標在整個生產過程的累積量.大型系統的全局優化常用分層遞階控制結構將生產中對于安全、魯棒、經濟等多目標逐層分解.實時優化層根據調度層的計劃與排產信息,從面向全局系統整體經濟性的角度,給出滿足各子系統運行約束的穩態經濟優化點.下層先進控制層常用MPC(Model predictive control)動態跟蹤上層給出的穩態經濟優化點,綜合處理系統運行過程中的約束與擾動,并給底層各控制回路合適的設定值.同時,新工業需求下的全局優化運行還要求系統在工作過程中,對定制生產下不同排產計劃、更小尺度的對象模型變化(如不同批次組分差異的原料、不同反應過程工況變化)都有對應的系統模式變化,在這種情況下的全局優化問題可歸結于討論切換非線性系統在雙層控制結構下的經濟優化運行.

目前多數非線性系統全局優化運行的運作模式是建立在“穩態假設”[1]基礎上,因此,非線性系統模式切換的研究熱點在于保證各個模式運行工作點的穩定性、魯棒性及模式間的平穩過渡[2?6].其中,由于控制時域受到計算負擔限制,不同模式下優化問題的可行域未必存在交集,有一部分研究工作考慮限制計算量的情況下保證系統在大工作范圍內切換可行性[7].新工業需求下,系統頻繁的切換使得“穩態假設”不能滿足,運行動態過程中的經濟性變的不可忽略.近年來,學者將經濟預測控制[8?10](Economic model predictive control,EMPC)運用到切換非線性系統中,對于提高系統在整個運行過程中的經濟性有顯著貢獻.EMPC是一種在形式上、運行策略上與實時求解的MPC相同的滾動時域控制算法,其在每一時刻同樣需實時求解一個有限時域最優控制問題.但EMPC的控制性能指標為直接與經濟指標相關的廣義性能指標,正定性和(或)凸性不再保證.因此,在討論穩定性問題上,EMPC常常需要引入額外的假設條件或約束.常規的方法主要有以下兩種:文獻[8]中首次提出的耗散性條件通過構造關于經濟性能指標、系統模型、穩態經濟優化點的不等式約束關系,構造了對應的Lyapunov函數,從而保證穩態經濟優化點的穩定性.以此假設為基礎,后續工作拓展至終端集約束EMPC[9]、無終端約束EMPC等[10];另一類方法通過構造輔助Lyapunov函數和(或)Lyapunov控制器,將其作為約束放入控制率實時求解的問題中,針對連續系統有文獻[11?12],離散系統有文獻[13?14].該類方法在一定程度上增大算法吸引域,但閉環系統的經濟性能將受限于所構造的輔助控制器及輔助Lyapunov函數.

針對非線性切換系統的EMPC,目前的工作在系統前后模式可行域存在交集的前提下,保證了切換過程的平穩過渡并提高了經濟性能[12,15].文獻[12]采用基于Lyapunov函數的EMPC,每個模式下EMPC的吸引域為輔助控制器的可控集,前后兩個模式算法吸引域需存在交集;文獻[15]基于拓展時域終端集約束EMPC[16]的方式保證穩定性,其前一模式下的穩態優化點需位于后一模式終端約束集中.受限于EMPC討論穩定性的復雜性,對于在大工作范圍內的切換系統,如何考慮過渡過程的經濟性能并平穩切換,還未有成熟的工作.

針對這一問題,本文采取的思想是構造一系列可行中間過渡穩態點拓展前后模式的可行域,通過設計局部EMPC控制器,將狀態逐次轉移至中間點并完成切換.在這一策略下,本文構造了基于耗散的EMPC輔助性能指標,在輔助性能指標控制下的EMPC能夠保證任一可行穩態點漸近穩定,并盡可能逼近原經濟性能指標;進一步,本文設計了對應的切換策略,在模式常規運行時,算法保證狀態穩定在該模式的穩態經濟優化點.同時,在模式切換時根據前后模式的經濟指標求解和更新可行中間點及最優軌跡,將狀態逐次轉移至中間穩態點并利用最優軌跡保證狀態在模式間的平穩過渡.所提方法適用于存在不可達問題的非線性切換系統,實際可操作性強,在保證平穩切換的基礎上提高了暫態過程的經濟性,仿真結果驗證了算法的有效性.

符號說明:集合I表示非負整數集.S≥a表示集合滿足S≥a={x∈S;x≥a},同樣,S[a,b]={x∈S;a≤x≤b},其中a,b∈I.|·|表示歐幾里得范數.Bxs(r)表示閉球域滿足:ClassL表示一類定義在γ:上的連續且單調遞減函數,滿足limx→∞γ(x)=0,f?g(x)表示復合函數f(g(x)).

1 問題描述及基本定義

考慮如下非線性系統離散時間模型:

假設 1.經濟性能指標上連續,且各模式下模型fi(·) 在Xi×Ui上利普希茨連續,滿足:

假設 2.模式i下存在(但不唯一)穩態經濟優化點為如下問題的最優解,不失一般性,

定義1.模式i下的穩態點的N步可達狀態集合為

定義2.N步可控至的初始可行狀態集合為

定義3.模式i下,控制時域為N時與穩態點相關的成對可行約束集定義為

假設3.模式i下對應的成對可行約束集均滿足且為緊集.

類似于多數EMPC文獻[8?12]中關于系統實際運行經濟性的定義,對于每一模式確定的本文所考慮的切換系統暫態過程經濟性(Transient performance)為下述形式:

本文的目的是設計針對非線性切換系統全局優化運行的EMPC算法,保證i模式常規運行時系統穩定在指定的穩態目標優化點模式間切換時保證系統平穩切換至新模式并提高暫態過程的經濟性,本文并不要求相鄰模式間常規運行時EMPC算法吸引域存在交集,僅要求在狀態約束和輸入約束范圍內存在有限個控制時域可達集或可控集相交的中間穩態點,滿足如下假設.

或可表述為

注1.假設4包括的情況,大多數非特殊性連續化工切換系統在采樣時間足夠短的情況下,其離散表述均能滿足假設.

2 基于耗散性條件的全局優化運行EMPC

對于具有穩態運行需求的化工過程,需保證任一模式下的系統漸近穩定在穩態優化點切換過程中,由于控制時域N受計算負擔限制,新模式的穩態點對于舊模式當前狀態常常是控制時域內不可達的,即且本文采取的策略如圖1所示,首先,該切換算法優化求解可行中間穩態點使其滿足條件(8)和(9).其次,將狀態依次經濟轉移至中間穩態點最終進入中.由于EMPC在保證穩定性上更具復雜性,問題的難點在于局部EMPC算法如何使狀態偏離該模式下的穩態優化點,并漸近穩定至中間穩態點,并在有限時間Tp內完成經濟切換.

圖1 模式間切換策略Fig.1 Modes switching strategy

為后文闡述方便,本文將先進控制層EMPC需動態實時求解的如下非線性約束優化問題表述為

注2.不同于MPC,性能指標l非凸非正定.

首先介紹EMPC中與穩定性相關的重要定義與引理.

通過耗散性條件,將經濟性能指標轉化為正定的旋轉性能指標,并附加終端等式約束保證遞推可行性,同時旋轉性能指標控制下的控制問題與原問題同解,與旋轉性能指標相關的李雅普諾夫函數保證穩態優化點的漸近穩定.本文接下來的內容,將先提出一種保證任一可行穩態點漸近穩定的EMPC算法,再闡述與該算法對應的系統模式間切換策略.

2.1 適用于非穩態目標優化點的EMPC

注4.給定滿足定理1假設條件的正定連續函數,如已經設計好的MPC性能指標,可通過條件(13) 確定進而找到

注5.由定理1知,可以理解為給系統提供耗散性質的函數.

由定理3的證明過程,可得上界ˉδ.考慮到實際應用時可操作性,可由下述約束優化問題的優化函數最優值替代滿足

2.2 非線性切換系統的經濟預測控制

考慮實際化工生產系統工作特點,默認當系統接到切換至i+1模式的切換請求時已穩定工作在工作步驟如下:

步驟 2.首次迭代時,系統接到切換請求,并根據下一模式信息確定中間穩態點的個數pi,pi+1,進入步驟 2.1;否則,若pi?=1且pi+1?=0,則進入步驟2.2;若pi=1,pi+1=0,則目標點設置為上次迭代備用穩態點進入步驟3.

步驟2.1.置pi=1,pi+1=0.此時當前狀態參考文獻 [19]求解從穩態點之間是否存在可行軌跡.其中,np=pi+pi+1,κ1=pi(N+1),κ2=(np+1)(N+1)?1.若無解,依次增大pi,pi+1:pi=1,pi+1=1,pi=2,pi+1=1···,直到中間點問題(23)存在可行解.

步驟4.更新pi,pi+1.若pi＞0,則pi=pi?1,pi+1=pi+1;否則,pi=pi,pi+1=pi+1?1.

注9.中間點問題及輔助性能指標的構造具有較大的計算量,在RTO層中求解.該切換算法要求準備時間Tp應至少滿足Tp≥N×pi.因此,若準備時間非常短時,可以考慮改變步驟2.1中初始求解中間點個數時的策略.

注 10.若m?=m′,表示實際系統即將發生切換.Tp足夠長時,實際切換信號由狀態決定,系統狀態到達時發生切換;Tp受限時,切換信號由時間決定,實際切換時刻即為τi+Tp.因此,

注 11.由于輔助序列(24)為滿足動態模型的狀態與輸入軌跡,因此問題(25)每一時刻都滿足遞推可行性,在約束集內均有可行解.

注12.在第一次運算確定好pi,pi+1后,步驟2每次迭代均有可行解,這是由于k=K+N+1時,由上一時刻問題(25)的最優解可構造從當前狀態到目標點的可行軌跡,同時與上次迭代步驟2獲得的從的最優軌跡,共同構成步驟2的初始可行解.

3 切換過程暫態經濟性分析

對于終端等式約束,旋轉性能指標與原性能指標求解優化問題下的優化軌跡完全相同,且優化問題最優值只相差個常數項.因此:

求和號表示上式中對應向量在[0,Ts]時刻的累加,為與參數δ,函數αi,及切換時間TS,暫態過程時間τi+1?τi相關的誤差項.是求取中間點問題的最優函數值.

2)切換時間受限,此時TS=Tp=K+N,K時刻狀態位于中間點鄰域:

考慮k∈[K,K+N):此時實時求解經濟切換問題(25).K時刻,該問題與有相同最優解與最優軌跡且最優值滿足關系:

后同可得式(34)和(35).

經過分析,當準備時間受限時,采用步驟5的策略利用中間點問題得到的最優軌跡構造切換問題終端動態軌跡,暫態性能上與準備時間充足的情況有相類似的上界,該上界與中間點問題的最優值、所選耗散函數α、差值函數γ、暫態過程時間有關.

4 仿真驗證

考慮連續攪拌釜(Continuous stirred tank reactor,CSTR)系統[9],其中發生不可逆反應A→B,副反應B→C.具體描述如下:

其中,CA,CB,Cc表示產物中反應物A,產物B,C的濃度;T表示反應器溫度,Q表示提供給反應器的熱量,為可控變量;反應器的體積為V=1m3,與反應相關參數為:E1=5000kJ/kmol,E2=4000kJ/kmol,k1=176.94h?1,k2=10.88h?1,?H2=1.05×104kJ/kmol,?H1=1.15×104kJ/kmol.Cp=0.231kJ/kgK和ρ=1000kg/m3為反應器中液體的比熱容和密度,除此之外,常數R和F分別為8.314kJ/kmol,5m3/h.

圖2 在不同控制器下的穩定性Fig.2 Stability ofunder different controller

圖3 在不同控制器下的穩定性Fig.3 Stability ofunder different controller

圖4 采用NMPC及所提策略控制下的切換軌跡Fig.4 Comparing between proposed method and NMPC

采用本文第2.2節的切換策略實現切換,如圖4所示,t=75時系統接到切換請求,切換時間受限,t=130時系統進入式(25)的過渡過程,t=150時系統發生切換,并將狀態拉至新穩態點.系統3個小時內實際經濟性能(每一時刻累加):MPC:Eco= ?483.5873,所提方法:Eco= ?484.9821.因此,式(7)所定義的切換系統暫態過程經濟為所提方法較非線性MPC提高了43.17%.

5 結語

本文考慮了系統全局優化運行時所涉及的模式間不斷切換對于經濟性的需求,針對不同模式有限時域下控制算法可行域未必存在交集的系統,基于耗散性條件設計了一種保證可行穩態點漸近穩定的EMPC及對應切換策略.該方法通過優化求解可行中間穩態點,并設計一系列EMPC局部控制器,在保證了中間點的穩定性的基礎上使系統在模式間平穩切換,暫態性能盡可能逼近原EMPC性能,可操作性強.仿真結果說明了方法的有效性.

1 Flemming T,Bartl M,Li P.Set-point optimization for closed-loop control systems under uncertainty.Industrial&Engineering Chemistry Research,2007,46(14):4930?4942

2 Liberzon D,Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems.IEEE Control Systems,1999,19(5):59?70

3 Hespanha J P,Morse A S.Stability of switched systems with average dwell-time.In:Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control.Phoenix,AZ,USA:IEEE,1999,3:2655?2660

4 Li Shao-Yuan,Xi Yu-Geng.Switching smoothly of multimodel predictive control systems.Journal of Shanghai Jiaotong University,1999,33(11):1345?1347(李少遠,席裕庚.多模型預測控制的平滑切換.上海交通大學學報,1999,33(11):1345?1347)

5 Lin Xiang-Ze,Li Shi-Hua,Zou Yun.Output feedback stabilization of invariant sets for nonlinear switched systems.Acta Automatica Sinica,2008,34(7):784?791(林相澤,李世華,鄒云.非線性切換系統不變集的輸出反饋鎮定.自動化學報,2008,34(7):784?791)

6 Chai Tian-You,Zhang Ya-Jun.Nonlinear adaptive switching control method based on unmodeled dynamics compensation.Acta Automatica Sinica,2011,37(7):773?786(柴天佑,張亞軍.基于未建模動態補償的非線性自適應切換控制方法.自動化學報,2011,37(7):773?786)

7 Wan Z Y,Kothare M V.Efficient scheduled stabilizing output feedback model predictive control for constrained nonlinear systems.IEEE Transactions on Automatic Control,2004,49(7):1172?1177

8 Diehl M,Amrit R,Rawlings J B.A Lyapunov function for economic optimizing model predictive control.IEEE Transactions on Automatic Control,2011,56(3):703?707

9 Amrit R,Rawlings J B,Angeli D.Economic optimization using model predictive control with a terminal cost.Annual Reviews in Control,2011,35(2):178?186

11 Heidarinejad M,Liu J F,Christo fides P D.Economic model predictive control of nonlinear process systems using Lyapunov techniques.AIChE Journal,2012,58(3):855?870

12 Heidarinejad M,Liu J F,Christo fides P D.Economic model predictive control of switched nonlinear systems.Systems&Control Letters,2013,62(1):77?84

13 He De-Feng.Stabilizing economic model predictive control of constrained nonlinear systems.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1680?1690(何德峰.約束非線性系統穩定經濟模型預測控制.自動化學報,2016,42(11):1680?1690)

14 He D F,Sun J,Yu L.Economic MPC with a contractive constraint for nonlinear systems.International Journal of Robust and Nonlinear Control,2016,26(18):4072?4087

15 Liu S,Liu J F.Economic model predictive control for scheduled switching operations.In:Proceedings of the 2016 American Control Conference(ACC).Boston,MA,USA:IEEE,2016.1784?1789

16 Liu S,Liu J F.Economic model predictive control with extended horizon.Automatica,2016,73:180?192

17 Angeli D,Amrit R,Rawlings J B.On average performance and stability of economic model predictive control.IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(7):1615?1626

19 Flores-Tlacuahuac A,Moreno S T,Biegler L T.Global optimization of highly nonlinear dynamic systems.Industrial&Engineering Chemistry Research,2008,47(8):2643?2655