從“三個理解”視角看“三角形中邊的關系”教學

☉安徽六安皋城中學張克玉

從“三個理解”視角看“三角形中邊的關系”教學

☉安徽六安皋城中學張克玉

章建躍博士在《數學教學課改的十個論題》中指出：“課改需要循序漸進地持續努力；實踐基礎上的理論概括是可行之道；理解數學、理解學生、理解教學是三大基石”.“三個理解”的要求也得到一線教師的普遍認可.如何在教學實踐中做到“三個理解”，值得我們去思考和探索.本文以“三角形中邊的關系”一課內容的教學為例，淺談自己的實踐與思考，旨在交流探討.

一、教學流程與設計說明

（一）新課引入.

1.呈現生活中與三角形有關的圖片（古埃及金字塔、自行車等），引出章課題——三角形中的邊角關系、命題與證明.

2.重新認識三角形.

（1）讓學生回憶在小學階段對三角形的描述.

（2）教師用教具演示（三條線段在同一直線上、不封閉等情況），引導學生給三角形下個嚴格的定義.

（3）引導學生閱讀屏幕上的內容，了解三角形有關元素（邊、內角、頂點等）及其表示方法.

（4）練習：如圖1，D是△ABC中BC邊上的一點，連接AD，圖中有哪幾個三角形？并說出△ABD的內角與邊.

圖1

（5）由三角形的有關元素引出課題：13.1三角形中的邊角關系（1）——三角形中邊的關系.

（二）新課講解.

1.三角形兩邊之間的關系（按邊分類）.

環節1：讓學生列舉三角形兩邊之間的數量關系，引出不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形的名稱.

環節2：師生共同回顧不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形的有關概念.

環節3：引導學生對三角形按邊進行分類.

設計說明：通過選取生活中有關物體的圖片，說明三角形在生產和生活中的廣泛應用，以此說明學習三角形有關內容的必要性，使得章課題的引出自然、順暢.學生在小學階段已學習過三角形的有關內容，了解了三角形有關元素（邊、角等）及等腰三角形、等邊三角形的名稱，且學生對這些概念的理解并不感到困難，因此采用學生自主閱讀的方式完成有關內容的回顧與學習.這樣處理也是建立在學生認知水平與“數學現實”的基礎上.

2.三角形三邊關系探究（教學片斷簡錄）.

環節1：

師：如圖2，有A、B、C三個地方，每兩地之間有一條公路相連.

圖2

問：（1）從A到B處有哪幾條線路？哪條線路更短？為什么？

生1：有兩條線段：A→B；A→C→B.由A到B的線路更短，因為“兩點之間，線段最短”.

師：很好！上述結論能否用數學式子進行表示？

（教師視情況作必要的引導：A→B，即為線段AB的長，A→C→B即為線段AC、CB的長度之和）

生2：可得到AC+CB＞AB.

師：類似地，從A到C處呢？我們可以得到什么樣的結論？

生3：AB+BC＞AC.

師：從B到C處呢？我們又可以得到什么樣的結論？

生4：BA+AC＞BC.

師：以上我們得到了三組不等關系.結合圖形，能否將三組不等關系所反映的數學事實用一句話進行描述？

生5：三角形的兩邊之和大于第三邊.

師：很好！其實上述的每一個不等式都可以將其描述成：“三角形某兩邊之和大于第三邊”.三組不等關系所反映的數學事實，用這一句話來描述還不夠全面，因此還需要略加修改.

最后通過教師的引導，師生共同得出：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

環節2：

師：將上述三組不等式變形：AC＞AB-CB，BC＞AC-AB，BA＞BC-AC，你又能得出什么結論？

以此引導學生得出：三角形中任何兩邊的差小于第三邊.

師：由AC+CB＞AB可以得到AC＞AB-CB①，由AB+ AC＞BC還可以得到AC＞BC-AB②.由①和②又能說明什么問題？至此，能否將剛才得到的結論稍作修改，使之更準確？

以此引導學生得出：三角形中任何兩邊差的絕對值小于第三邊.

設計說明：筆者認為由“兩點之間線段最短”易得到“三角形兩邊之和大于第三邊”這個結論，因此在此未設計探究活動，而是把重心放在如何引導學生實現知識的遷移.在此過程中，也有助于培養學生兩種語言（文字語言、符號語言）的轉換及抽象與概括能力.

環節3：應用舉例.

例等腰三角形中，周長為18cm.

（1）如果腰長是底邊長的2倍，求各邊長；

（2）如果一邊長是4cm，求另兩邊長.

預設：（1）學生先做，教師巡視，有代表性地（如選取沒有分類討論的或沒有進行情況取舍的）選取若干名學生回答，并讓其他學生評析；（2）教師略作分析后講解并呈現解題過程.

環節4：課堂練習.

以長4cm的線段為底構成一個等腰三角形，這個三角形的腰長有什么限制？

3.能構成三角形的三條線段的長度應滿足條件的探究.

環節1：

師：由三角形→三條邊應滿足的關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊；反之，三條線段應滿足怎樣的關系→能組成三角形？

引導學生猜想：三條線段，如果其中任何兩條線段之和大于第三條線段，那么這三條線段能組成三角形.

預設：因為學生還沒有學習“原命題”“逆命題”的概念，因此對“反之”未必能理解，因而還需要教師通過如“兩直線平行，同位角相等”與“同位角相等，兩直線平行”的關系給予類比引導.

環節2：

幾何畫板動態演示進行驗證，以此得出結論：如果三條線段，其中任何兩條線段之和大于第三條線段，那么這三條線段能組成三角形.

設計說明：教材中并無此結論，但“三角形兩邊之和大于第三邊”當屬性質定理.三條線段不能組成三角形，可以認為是依據其逆否命題，但三條線段能組成三角形應屬于應用其逆命題（判定定理），這其中存在著邏輯問題.因此，筆者認為有必要稍作交代，但限于本節課的教學目標、時間及學生的知識儲備，難以讓學生發現此結論，也無法給予嚴格證明，因而只能引導學生猜想并借助幾何畫板進行驗證.

環節3：

（練習）判斷：用下列長度的三條線段能否組成一個三角形？

（1）1cm，2cm，3cm；

（2）2cm，4cm，3cm；

（3）4cm，11cm，5cm；

（4）5cm，6cm，10cm.

預設：（1）讓學生先做，并回答是如何判斷的，突出結論中的“任何”二字的含義；

（2）通過詢問有無更簡便的判斷方法，引導學生得出：“三條線段，如兩條短線段之和大于最長線段，那么這三條線段能組成三角形”的結論，以此深化對結論的理解.

（課堂小結，作業布置等環節略）

二、教學思考與感悟

1.理解數學.

《課程標準》指出：“實行啟發式教學有助于落實學生學習中的主體地位”“創設情境、設計問題，引導學生自主探索、合作與交流等都能有效地啟發學生的思考”，因而在課堂上，常需要我們設計探究活動，讓學生在經歷知識的形成過程中，積累數學活動的經驗，感悟思想與方法.

在平時的聽課及期刊發表的案例中，常能看到在學習本節課內容時，有教師設計如下的探究：課前讓學生準備若干根長度明確的小棒，課堂上讓學生任意取出3根小棒首尾相接搭三角形，看能搭成幾個三角形，然后讓學生根據能搭成三角形的小棒長度情況，說出構成三角形的三邊必須滿足的條件.筆者認為設計這樣的探究活動存在著邏輯問題.因為通過由搭成三角形的小棒長度應該滿足的條件，得出的數學命題應該是“三條線段，如果其中任意兩條線段之和大于第三條，那么這三條線段能組成三角形”，其與“三角形任意兩邊之和大于第三邊”之間當屬于原命題與逆命題的關系.

在本節課后的習題，許多版本教材是判斷“下列長度的三條線段能否組成三角形”（具體數值略），許多老師也是在學生學習了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的結論后，把這樣的問題作為鞏固性練習，筆者認為這是不妥當的.對于三條線段不能組成三角形，可以用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的逆否命題來解釋，但三條線段能組成三角形，卻要用其逆命題才能給予解釋.課本中沒有出現其逆命題，因此還需要教師通過適當的方式說明.

數學是一門邏輯性、嚴謹性很強的學科.“理解數學”要求我們在了解知識產生背景的前提下，把握有關定理、法則的邏輯關系.

2.理解學生.

其實，學生在小學階段學習過“三角形兩邊之和大于第三邊”的結論.但鑒于學生當時的思維特點、認知水平和知識儲備，對結論的生成一般并不苛求嚴謹，因此，在小學階段常采用擺小木棒的方式，并通過引導學生“計算其中兩邊之和”完成對其的探索，這樣的處理符合小學生的“數學現實”.但在初中階段，對知識生成過程的嚴謹性、邏輯性提出了較高的要求，因而小學階段的教學方法并不完全適用于初中的教學要求，因此還需根據初中學段的教學要求，結合學生的“數學現實”和數學活動經驗，設計合適的教學活動方案.

對三角形的三邊關系，在初中階段不能通過“擺小棒”的方式進行探究（因為存在邏輯問題），能否通過如讓學生“先畫三角形，再測量各邊長”等方法進行探究？筆者認為無論設計什么樣的探究活動，我們都要首先思考這樣的問題：學生能否想到要對三角形的某兩邊進行加減（而不是進行乘除或者進行其他的運算）？在學生不了解此結論的情況下，通過得到的若干個三角形的三邊長，能否自主發現“三角形兩邊之和大于第三邊”這個結論？在這個問題中，學生的“最近發展區”在哪兒？教師又該如何引導？如果簡單作“請同學們計算其中兩邊之和”的類似引導，這里既存在為什么要計算兩邊之和的問題，也會因引導的指向性過于明確，而使探究活動失去了應有的價值（變成了驗證活動）.因此，設置“先畫三角形，再測量各邊長”等形式的探究，會因探究的內容與要得到的結論差距較大，而超越初中學段學生的認知水平.

理解學生就要在理解學生現實（生活現實、數學現實及其他學科現實）的同時，理解學生的認知水平與認知規律.

3.理解教學.

理解數學、理解學生是理解教學的基本前提.教材是我們實施課堂教學的重要抓手，因此理解教學要做到理解教材.

教材的編寫除了有編寫者自己的思考，還受到許多因素制約，如教材必須簡明.教材的簡明既是為了方便學生的閱讀，也是為教師“留白”，從而讓教師有更大的探索空間；教材編寫還受篇幅甚至知識點的總個數等方面的要求與限制，因此教材未必能做到面面俱到，這就需要我們理清相關問題的邏輯關系，從而在理解教材的基礎上，實現“用教材教”的做法.因此，在本節課的教學中，筆者通過增加一個猜想、驗證環節，以避免出現上述邏輯問題.與一般版本教材不同，北師大版教材的課后習題是“下列每組數分別是三根小棒的長度，用它們能擺成三角形嗎？實際擺一擺，驗證你的結論”（具體數值略），這應該能喚起我們對本節教材中有關問題的思考.

在本節課中，對于“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這個結論，是否一定要設計探究活動？《課程標準》指出“數學知識的教學，要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析，從不同的層次進行理解”.學生在七年級已掌握了“兩點之間，線段最短”的基本事實，而“三角形的任何兩邊之和大于第三邊”等結論可以認為是其“延伸點”，學生對結論的理解也并不感到困難，因此筆者認為沒有必要將本節課的內容與之前的學習相割裂，因此，此處可以不設計對結論的探究活動，而將重心轉移到如何引導學生將“兩點之間，線段最短”的基本事實，通過延伸得出三角形三邊關系的新結論，并思考在延伸的過程中如何體現“任何”二字的含義，從而讓學生在結論的生成過程中，感悟數學知識、方法間的普遍聯系.

理解教學，需要我們在理解教材的基礎上，能抓住有關問題的數學本質，準確地把握其“生長點”與“延伸點”.在此基礎上設計合適、有效的教學活動，讓學生經歷知識的形成過程.