把握問題實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化思維訓(xùn)練
——由一道“二次函數(shù)”中考題想開去

☉江蘇張家港市暨陽湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校 錢飛

把握問題實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化思維訓(xùn)練
——由一道“二次函數(shù)”中考題想開去

☉江蘇張家港市暨陽湖實(shí)驗(yàn)學(xué)校 錢飛

一、原題呈現(xiàn)

（江蘇省2015年中考題）如圖1，已知一條直線過點(diǎn)（0，4），且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-2.

圖1

（1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）過線段AB上一點(diǎn)P，作PM∥x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？

二、思路剖析

這一題看似比較麻煩，但從解決問題的途徑來看，還是呈現(xiàn)出一定的方法的.第（1）問比較容易，下面直接從第（2）問入手.就第（2）問而言，求C點(diǎn)坐標(biāo)的過程中隱含著高中階段的“兩條直線垂直，斜率的乘積為-1”這個(gè)知識(shí)內(nèi)容.不得不承認(rèn)，如果直接利用這一知識(shí)點(diǎn)來解題，解題過程會(huì)簡單很多.但是，對(duì)于初中學(xué)段的學(xué)生來說，如果此前沒有對(duì)這一知識(shí)作“補(bǔ)充學(xué)習(xí)”的話，這種方法的運(yùn)用顯然也就談不上“自然”了.過往的教學(xué)實(shí)踐使筆者認(rèn)識(shí)到，在缺乏前期“預(yù)見性學(xué)習(xí)”的情況下，初中學(xué)生應(yīng)對(duì)第（2）問的自然方法，應(yīng)當(dāng)是在分類的基礎(chǔ)上通過構(gòu)造相似三角形獲得線段之間的比例關(guān)系，根據(jù)比例關(guān)系求得線段長度，然后轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).具體的，以A、B、C為頂點(diǎn)的直角三角形，需要分三種情形：以B為直角頂點(diǎn)、以A為直角頂點(diǎn)、以C為直角頂點(diǎn).對(duì)于以B為直角頂點(diǎn)的情形，可以過B點(diǎn)作BC⊥AB，交x軸于C點(diǎn).要求C點(diǎn)的坐標(biāo)，需求OC的長.作BH⊥OC，重足為H.設(shè)直線AB與x軸交于D點(diǎn).易知△BDH∽△CBH.由B點(diǎn)的坐標(biāo)（8，16），可得BH＝16.由直線AB的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)為于是DH＝8-.這樣，就可以通過，得到HC=24，進(jìn)而得到OC＝32，即C點(diǎn)的坐標(biāo)為（32，0）.對(duì)于以A為直角頂點(diǎn)的情形，首先想到的還是這種相似變換的方法.雖然這種方法相對(duì)于“斜率法”，顯得復(fù)雜了點(diǎn)，但是這種方法才是建立在初中學(xué)段知識(shí)基礎(chǔ)上的方法.

對(duì)于第（3）問，從高中角度體現(xiàn)在“兩點(diǎn)之間的距離公式”的直接運(yùn)用和對(duì)拋物線“焦點(diǎn)”的認(rèn)識(shí).其實(shí)，按這樣的“高中階段”思路，作為教師，我們不僅容易認(rèn)識(shí)到N點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，還應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到拋物線的準(zhǔn)線是y＝-1.于是，MN的長度其實(shí)就是M點(diǎn)到直線y＝-1的距離.設(shè) M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，那么線段；將M點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入直線解析式可以求得P點(diǎn)橫坐標(biāo)所以MN+.這樣的方法，利用了“準(zhǔn)線”的性質(zhì).但是，對(duì)于初中學(xué)生來說，這樣的方法就像“從帽子里跑出一只兔子”一樣，讓人驚訝！對(duì)于MN，能夠想到的是利用坐標(biāo)關(guān)系構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理表示出它的長度.至于“焦點(diǎn)”與“準(zhǔn)線”之類的“高觀點(diǎn)”，顯然涉及拋物線的重新定義（平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡）.如果試圖讓學(xué)生理解它們，需要一個(gè)“系統(tǒng)工程”，耗時(shí)耗力不說，效果往往適得其反.因?yàn)閽佄锞€的上述定義只有放在“圓錐曲線”的整體內(nèi)才更好理解.

從以上分析過程可以看出，把高中階段的問題放到初中筆者認(rèn)為并不可取.如果在中考中出現(xiàn)了類似的問題，我們可以通過一些方式、方法進(jìn)行補(bǔ)救.那么，這樣的問題有沒有延續(xù)性呢？讓我們再來看一道中考問題，從中可以看出一些端倪.

三、拓展延伸

延伸問題：如圖2，已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6），點(diǎn)B在y軸上，且AD∥BC∥x軸，過B、C、D三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)F（m，6）是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，直線OF交BC于點(diǎn)E.

圖1

圖2

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)四邊形ABEF的面積為S，請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）如圖3，過點(diǎn)F作FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，連接MN，直線AC分別交x軸、y軸于點(diǎn)H、G，試求線段MN的最小值，并直接寫出此時(shí)m的值.

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和拋物線的特點(diǎn)確定點(diǎn)D，然而用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式.（2）根據(jù)AD∥BC∥x軸，且AD、BC間的距離為3，BC、x軸的距離也為3，F(xiàn)（m，6），確定出，從而求出梯形的面積.（3）先求出直線AC的解析式，然后根據(jù)FM⊥x軸，表示出點(diǎn)P（m，-m+9），最后根據(jù)勾股定理求出MN=從而確定出MN的最大值和m的值.

解：（1）由過B、C、D三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，BC=4.由四邊形ABCD為平行四邊形，得AD=BC=4.又A（2，6），則D（6，6）.

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）2+2.由點(diǎn)D在此拋物線上，得6=a（6-2）2+2，則a

（2）AD、BC間的距離為3，BC、x軸的距離也為3.由F（m，6），得（AF+BE）×3=

四、反思?xì)w納

以上解題過程給我們諸多啟發(fā).我們發(fā)現(xiàn)，解決二次函數(shù)問題需要從問題的實(shí)質(zhì)出發(fā)，問題的解決方法是第一位的，其次才是通過何種手段去解決它.

1.全員參與，智慧碰撞.

有效的解題思路訓(xùn)練，應(yīng)當(dāng)努力促成思想方法的交流，讓每一個(gè)學(xué)生有機(jī)會(huì)表達(dá)自己的認(rèn)識(shí)與看法，讓解題的方法盡情流淌.如果一個(gè)班級(jí)的學(xué)生人數(shù)不多的話，可以使得每一位學(xué)生都有盡抒己見的機(jī)會(huì)（.事實(shí)上，即使班級(jí)人數(shù)較多，教師也可以有效進(jìn)行小組化活動(dòng)，比如，按任教班級(jí)規(guī)模分為若干個(gè)活動(dòng)組）筆者認(rèn)為這一點(diǎn)非常重要，因?yàn)橹挥凶屆總€(gè)人都無保留地“端出”自己的觀點(diǎn)，才能促進(jìn)其積極思考，進(jìn)而讓最終匯集在一起的觀點(diǎn)是典型的、有研討必要的，個(gè)人觀點(diǎn)與經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過集體智慧的篩選之后，會(huì)自然而然地建構(gòu)到個(gè)人經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中去，以集體智慧對(duì)個(gè)人觀點(diǎn)與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行篩選，體現(xiàn)的就是解題活動(dòng)的與眾不同的特征；集體智慧內(nèi)化并優(yōu)化個(gè)人經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的過程，體現(xiàn)的是討論活動(dòng)的“轉(zhuǎn)益多師”特征.顯然，這種“轉(zhuǎn)益多師”不只是發(fā)生于活動(dòng)中某一個(gè)既定角色.

2.科學(xué)命題，以舊帶新.

筆者認(rèn)為，對(duì)命題者也有必要提一些有益的建議，即當(dāng)學(xué)生具備了思維能力時(shí)，根本不愁新知識(shí)的學(xué)習(xí).比如，當(dāng)學(xué)生具備了圖形變換思想，能夠自覺運(yùn)用相似變換來解決問題的時(shí)候，我們也就不愁學(xué)生在未來的解析幾何學(xué)習(xí)中理解并掌握“兩直線垂直，斜率乘積為-1”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)了.同樣，如果學(xué)生能夠在全新的情境中想到構(gòu)造直角三角形并運(yùn)用勾股定理來表征線段長度，何必去提“兩點(diǎn)之間的距離公式”這樣的高中階段的知識(shí)呢？畢竟現(xiàn)有的方法才是最重要的.數(shù)學(xué)習(xí)題最重要的價(jià)值在于磨礪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，尤其是激活學(xué)生創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)思維，這是一種高階的數(shù)學(xué)思維.學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗(yàn)、方法，獨(dú)辟蹊徑，形成內(nèi)在于自我數(shù)學(xué)觀念的獨(dú)特的數(shù)學(xué)解題思路，彰顯的是學(xué)生的數(shù)學(xué)智慧.唯有每一位學(xué)生的思維狀態(tài)都能暴露于同一個(gè)思維空間，都能敞亮于同一個(gè)思維空間，數(shù)學(xué)問題的解決過程才能形成“百花齊放百家爭鳴”的良好局面，數(shù)學(xué)解題的場域才能充滿著生命的活力與氣息，數(shù)學(xué)這門課程才能從“作為事實(shí)的課程”走向“作為實(shí)踐的課程”，進(jìn)而邁向“作為解放的課程”！

1.王宇峰.找回“自然解法”的本原意義［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（10）.

2.胡典順.從“作為事實(shí)的課程”到“作為實(shí)踐的課程”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（5）.