“a為任意值時”的運用方法與技巧

☉湖北秭歸縣實驗中學 李萍

“a為任意值時”的運用方法與技巧

☉湖北秭歸縣實驗中學 李萍

受思維定式的影響，同學們容易解答有關常數或定值a的計算或證明題，但對于可以取任意值的a來說，一些同學常常無從下手、不知所措.其實，題目中告訴a為任意值時，或者告訴a為一定范圍內的任何值時，就等于告訴我們，此范圍中的a是可以取這個范圍中的每一個值的，或者說對此范圍中的每一個值都成立.把握了這一點，解題就有明確的方向了.下面以常見的四種類型為例加以說明.

一、取特殊值法

例1求證：不論a為何值，一次函數（2a-1）x-（a+3）y-（a-11）=0的圖像恒過一定點.

分析：解決以“不論a為何值或a為任意實數”為條件的問題，可以取特殊值法.對于本題，可先取特殊值探求出定點，然后加以驗證即可.

解：因為條件為不論a為何值，原一次函數的圖像都經過一定點，所以我們不妨取a=0和a=1這兩個特殊值來解答.

當x=2、y=3時，（2a-1）x-（a+3）y-（a-11）=2（2a-1）-3（a+3）-（a-11）=0成立.

所以不論a為何值，題中所給一次函數的圖像恒過定點（2，3）.

例2當a為任意實數時，下列各式都有意義的是（）.

分析與解答：本題中，通過取特殊值，可以很快作出正確選擇.比如，取a=0時，選擇支A和B都不成立，再取a= 0.1時，選擇支C不成立，但這兩個值都可以使D成立，所以，本題的答案應該是D.取特殊值法是解答選擇題的一種常用方法.

例3若3x2+4y-10=0，則15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=_______.

分析：本題與例1和例2不同，對任意一個x的值，y都有一個唯一的值和它對應，反之亦然.所以，選取特殊值時，必須使x和y同時滿足二元不定方程3x2+4y-10=0，但這個二元不定方程的解有無數組，所以，取滿足這個二元不定方程一組特殊值的原則是：要求代入所求的代數式中便于計算.

解：取二元不定方程3x2+4y-10=0的一組特殊的解代入待求式中，得15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-

二、整體代入法

對于例3，我們還可以利用整體代入法來解答.此題的常規解法是用因式分解的方法，湊出3x2+4y這個因式，利用3x2+4y-10=0得到3x2+4y=10，再整體代入求解.

解：15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=（15x3+20xy）+（3x2y+4y2）+（3x2+4y）-50x-10y=5x（3x2+4y）+y（3x2+4y）+（3x2+4y）-50x-10y=50x+10y+10-50x-10y=10；

或者15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=（3x2+4y-10）×（5x+y+1）+10=10.

從第二種解答過程可以看出，本題還可以通過將原代數式化成“3x2+4y-10”這個整體的形式來解答.

例4求證：a、b為任意實數時，代數式2a2+4b2+8a-8b+15的值總是正數.

分析：要使原代數式為正數，將原代數式化成幾個非負數的和（即整體）的形式即可.

證明：2a2+4b2+8a-8b+15=2（a2+4a）+4（b2-2b）+15= 2（a2+4a+4）+4（b2-2b+1）+3=2（a+2）2+4（b-1）2+3.

由（a+2）2≥0，（b-1）2≥0，得2a2+4b2+8a-8b+15≥3＞0.則代數式2a2+4b2+8a-8b+15的值總是正數.

三、分析推理法

例5設a為任意有理數，b為何值時有理系數方程2x2+（a+1）x-（3a2-4a+b）=0的根是有理數？

分析：2x2+（a+1）x-（3a2-4a+b）=0是一個一元二次方程，要使它的根為有理數，就必須使它的根的判別式是一個完全平方數，我們可以由此而分析推理得出想要的結果.

解：Δ=（a+1）2-4×2×［-（3a2-4a+b）］=a2+2a+1+24a2-32a+8b=25a2-30a+8b+1=（5a-3）2+8b-8.

因為根是有理數，a為任意有理數，（5a-3）2是一個完全平方式，并且是一個隨a而變化的完全平方式，要使（5a-3）2+8b-8也為一個完全平方式，就只能是8b-8=0，由此求得b=1.

例6如圖1，拋物線y=ax2+bx+c中，b、c是非零常數，無論a為何值（0除外），其頂點M一定在直線y=kx+b上，這條直線和x軸、y軸分別交于點E、A，且OA=OE.

（1）求k的值；

（2）求證：這條拋物線經過點A；

（3）經過點A的另一條直線y=mx+n和這條拋物線只有一個公共點，經過點M作x軸的平行線和直線y=mx+n交于點B，經過點B作x軸的垂線和這條拋物線交于點C，和直線y=kx+b交于點D，探索CD和BC的數量關系.

分析：本題是一道代數綜合題，此類題常常是各地中考中的壓軸題.如果我們的解題方法不得當，就會因此浪費時間并無法解答.但若掌握了方法、技巧，我們就可以快速解答并達到最好的效果.因為a為任意值，我們不可能取到每一個值，所以就要分析a在題中的特殊作用，然后依據其特殊性推理出恰當的方法來.

解：（1）由這條直線和x軸、y軸分別交于點E、A，且OA=OE，可知：

A點的坐標為（0，b），E點的坐標為（-b，0）.

將A（0，b）、E（-b，0）代入y=kx+b，可得k=1.

化簡得：（4c-4b）a=b2-2b.

因為a為0以外的任何值時上述等式都成立，所以必有4c-4b=0和b2-2b=0同時成立.

則c=b=0（舍去）或c=b=2.

則A點的坐標為（0，2）.

則拋物線經過點A.

另解：也可以取兩個特殊值得到點M的坐標，代入直線表達式y=kx+b，求出b、c的值.

解這個方程組，同樣可得到c=b=0（舍去）或c=b=2.

則A點的坐標為（0，2）.

則拋物線經過點A.

（3）由題意：方程mx+n=ax2+2x+2的判別式Δ=（2-m）2-4a（2-n）=0，且n=b，則（2-m）2=0，則m=2.

則BC=CD.

四、取一般值法

例7關于x、y的二元一次方程①：（a-1）x+（a+2）y+ 5-2a=0.

（1）當a=1時，得方程②；當a=-2時，得方程③.求②③組成的方程組的解.

（2）將求得的解代入方程①的左邊，得到什么結果？由此可得什么結論？并驗證你的結論.

分析與解答：讀者千萬別小看了此題，第二問基本上很多老師既不會寫結論，也不會寫驗證方法.為了節約篇幅，下面邊分析邊解答.

（1）當a=1時，得方程②：3y+3=0.

當a=-2時，得方程③：-3x+9=0.

（2）將x=3、y=-1代入方程①的左邊，得3（a-1）-（a+ 2）+5-2a=3a-3-a-2+5-2a=（3a-a-2a）+（-3-2+5）=0.

至此，學生的解答結束了.但（2）中還有兩個“？”和一個“驗證”沒解決，而第二個“？”和一個“驗證”讓很多老師也為難了，這里先解決兩個“？”.

第一個“？”：得到①式左邊的值為0；

第二個“？”：取a為任意兩個不同的值代入①中，得到兩個二元一次方程，這兩個方程的公共解一定是

“驗證”對師生來說難度就更大了，但題目給學生提供了思考問題的方法，取特殊值法，驗證的時候則需要反過來，即要一般化，此問實際上就是從特殊到一般的探究.驗證過程如下：

取a=m代入①，得方程④：（m-1）x+（m+2）y+5-2m= 0.

再取a=n（n≠m）代入①，得方程⑤：（n-1）x+（n+2）y+ 5-2n=0.

④-⑤，得（m-n）x+（m-n）y-2m+2n=0.

即（m-n）x+（m-n）y=2（m-n）.

因為m≠n，所以得⑥：x+y=2.

以上四種方法，給出了“a為任意值”題型解題的一般方法與技巧，希望讀者好好體會其中之真諦.