明晰尺規功能，讓明理與得法同行

☉江蘇如皋市實驗初中冒劼

明晰尺規功能，讓明理與得法同行

☉江蘇如皋市實驗初中冒劼

尺規作圖是指用無刻度的直尺和圓規進行的作圖，它是學生必備的一項基本技能.初中階段，學生將要學習五種基本作圖和一些基于基本作圖的組合作圖.為此，人教版教材自七年級上冊第四章開始，以“作一條線段等于已知線段”這一基本作圖為開端，將其他作圖循序漸進地安排在整套教材之中.顯然，無論是基本作圖的編排，還是組合作圖的設計，都經過編者精心安排.然而，通讀全套教材，筆者并未發現對圓規和直尺這兩件工具在作圖中的功能介紹，對于這樣的安排，不知教材編者是如何考慮的.這樣的缺失，導致學生對尺規作圖獲得的結論僅“知其然”，而“不知其所以然”.為此，在人教版八年級上冊全等三角形單元教學中，筆者明晰了尺規的功能，并讓學生結合尺規功能分析作圖過程，使得教學中的明理與得法同步.

一、“12.2三角形全等的判定（第1課時）”的三則教學片斷

1.揭示尺規功能.

師（拿著圓規）：這是什么？

生（齊答）：圓規！

師：有什么用？

生（齊答）：畫圓.

師請一名學生到前面板演作圓，并讓其他學生取出自己的圓規在紙上畫圓.

師：你是怎畫的？

生1：先找一個點，把圓規的一只“腳”戳進去，將另一只“腳”繞著這個點轉一圈.

師：不錯！在圓規旋轉的過程中，這兩個“腳”之間的距離會發生變化嗎？

生（齊答）：不會！

師：這個距離是圓中什么的長度？

生2：半徑！

教師請學生作出圓的一條半徑.

師：圓有多少條半徑？

生（齊答）：無數條.

師（指著圓上的任意一點）：連接這個點到圓心是半徑嗎？

生（齊答）：是.

師（指到圓上的另外一個點）：這個點呢？生（齊答）：是.

師：這些點到圓心的距離都相等嗎？

生3：相等！

師：根據這個發現，想要作出到一個點距離等于定長的點，可以怎么作？

生4：以定點為圓心，定長為半徑作圓.

師：對，圓規就是用來作“到定點的距離等于定長的點”的工具，這在我們今后的作圖中將會發揮巨大的作用.除了圓規，在尺規作圖中，我們還會用到直尺，大家知道直尺的作用嗎？

生5：度量和劃線.

師：在尺規作圖中，我們不能用直尺的度量功能，只能用直尺的畫“直”線的功能.接下來，我們就用這兩個工具開啟今天的學習.

2.判定方法探究.

探究先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC.把畫好的△A′B′C′剪下來，放到△ABC上，它們全等嗎？

學生活動：自主作圖，并在小組中交流各自的作法及發現的結論.

3分鐘后，教師組織學生進行全班交流，并展示了規范的作圖過程，如圖1：

圖1

（1）畫B′C′=BC；

（2）分別以點B′、C′為圓心，線段AB、AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點A′；

（3）連接A′B′、A′C′.

師：“以點B′、C′為圓心，線段AB、AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點A′”，在這個過程中，你得到了哪些相等線段？

生6：A′B′=AB，A′C′=AC.

師：為什么？

生7：以AB、AC的長為半徑，A′B′、A′C′是所作的弧的半徑，所以這兩組線段相等.

3.作一個角等于已知角.

已知：∠AOB.

求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′=∠AOB.

學生活動：自主探究作法，并將自己的思路在小組中交流.

教師巡視指導，組織學生小組交流.

4分鐘后，全班交流.教師先請學生展示作法，逐步調整學生的語言，最終形成規范的作圖過程，如圖2：

圖2

（1）以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、D；

（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；

（3）以點C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與（2）中所作的弧交于點D′；

（4）過點D′畫射線O′B′.

師：請結合這里的作圖過程說出∠A′O′B′=∠AOB的理由.

學生陳述作圖中通過圓規和直尺構造出的相等線段：O′C′=O′D′=OC=OD，C′D′=CD，并給出∠A′O′B′=∠AOB的完整理由.

二、片斷簡析

本節課來自人教版八年級上冊第十二章全等三角形，將學習全等三角形的第一種判定方法“邊邊邊”.本節課的主要教學內容為“三邊分別相等的兩個三角形全等”這一基本事實.在這一定理獲得及應用過程中，將會涉及兩次尺規作圖：一次是探究定理過程中的作圖比對，還有一次是作已知角的角平分線.上面的三則片斷，完整地展示了本節課與尺規作圖相關的教學：片斷1，教師引導學生梳理圓規和直尺在尺規作圖中應該發揮的功能，為下一步作圖和明晰原理作鋪墊；片斷2，是學生獲取“邊邊邊”定理的一個重要環節，基于作圖的探究將會讓學生的交流對話言之有物，有利于學生歸納結論，積累尺規作圖經驗；片斷3，是初中階段的第二種基本作圖“作一個角等于已知角”的學習，這是對“邊邊邊”定理的應用.

上述三則片斷，有著明顯的內在聯系，片斷1是片斷2、3得以順利展開的基礎.片斷1中，教者花費很大力氣，帶領學生將他們所熟知的圓規的功能進行了梳理，明確了在作圖中所起的作用；對于直尺，絕大多數學生都知道可以用來度量和畫線，教師從學生的說法中抽取出尺規作圖適用的功能——畫“直”的線.在接下來的兩則片斷中，問題的探究與師生的交流始終緊扣尺規功能展開.找尋“圖中存在的相等線段”，讓作圖過程中圓規和直尺的功能得以凸顯出來，讓每一名學生對結論得出的合理性和作圖方法的規范性都有了較為全面和深刻的認識.

三、幾點思考

1.教學鋪墊應根據實際需求呈現.

數學教學應建立在學生的最近發展區之上，在獲取新知前，我們應該幫助學生梳理出本課必備的基礎知識，為新知的順利生成掃清障礙.所以，在實際教學中，對于一些離當下認知較遠但本節課又要用到的數學知識，我們應該為學生創設較為合理的問題情境，使之順著學生的認知需求順利呈現.以本文中的片斷1為例，尺規功能的交待對本節課的兩個作圖，特別是作圖成果的合理性分析影響巨大.所以，教師主動展示學生熟悉的圓規和直尺，以喚醒他們在上一學段積累的豐富的應用經驗，并努力從中篩選出尺規作圖適用的功能，這一切就是為后續的學習作鋪墊，這樣的鋪墊恰到好處地展示在學生新知探索之前，彌補了因過長時間的間隔導致的知識缺失，夯實了學生進一步探究交流的知識基礎.

2.原理明晰應緊貼探究過程進行.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了“作圖不僅要知法，還要明理”的要求.知法保證了作圖技能的應用性，而明理則提升了“法”的理論高度.在教學中，我們最起碼要讓學生知曉作圖形成的結果的合理性何在，這對“法”的網絡化和綜合應用都非常有利.為此，作圖教學，我們會從“法”和“理”兩個維度上引導學生展開追問，力求讓得法與明理同步.在本文的案例中，教師結合學生給出的作圖過程展開追問：在這個過程中，你得到了哪些相等線段？結論成立的理由成為作圖教學最為重要的一部分.顯然，這種基于學生自主探究之上的追問與交流，讓學生的思維發展順著自己探究中獲得的知識和積累的經驗進一步展開，其效果一定是非常好的.

3.教材補白應基于內容詳解展開.

教材，一般指課本.筆者所在地區初中數學使用的是人教版教材.在這套人教版教材中，七年級上冊第四章幾何圖初步“4.2直線、射線、線段”中，首次出現了尺規作圖的定義——“在數學中，我們常限定用帶刻度的直尺和圓規作圖，這就是尺規作圖”.在后面的教材中，先后給出了作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角等基本作圖和一系列基于基本作圖的綜合作圖，然而，始終沒有給出圓規和直尺的功能.這樣的內容缺失，使得學生在接下來的幾何作圖中，對教材給出的作法中所述的作弧與作直線及取交點的真正緣由不能清晰認知.為此，我們有必要對尺規功能進行補白，使之在學生需要用的時候適時出現，服務于學生的進一步學習.當然，發現這些存在的內容缺失主要依賴于課前對教材的詳細解讀，這需要教師坐下來，靜下心認真仔細地剖析當下的教學內容和與之相關聯的教材內容，對于那些缺失的內容，我們應進行精心設計，既要考慮補什么內容，還要考慮在何時補，怎樣補.只有基于內容詳解之上的教材補白，才能真正服務于教學，使課堂教學得以順利、有效地推進.