重構教材，讓學生的思維自然生長
——“線段、射線、直線（第1課時）”的教學創新設計與思考

☉江蘇南京市中華中學上新河初級中學黃玉華

重構教材，讓學生的思維自然生長
——“線段、射線、直線（第1課時）”的教學創新設計與思考

☉江蘇南京市中華中學上新河初級中學黃玉華

2013年11月在江蘇省第四屆“心橋杯”六校教改聯盟（黃橋）——“推開問題的大門”課堂教學研討活動中，筆者執教的蘇科版數學七年級上冊第六章第一節“線段、射線、直線（第1課時）”，以培養學生“四能”為立意，贏得了與會教師的高度評價，并撰寫文章《培養問題意識，推開問題大門》發表于《中學數學》（下）2014年第3期.2016年11月，在南京市初小數學銜接教學研討活動中，筆者又重溫此課，重新設計，以發展學生思維為立意，收到了與會老師的好評，在此撰文與各位同行分享交流.

一、教學實錄

1.操作探究，喚醒學生思維.

師：小學里我們已經認識了線段、射線和直線，請同學們各畫出一條線段、射線和直線，說說它們的區別.

生：線段有兩個端點，射線只有一個端點，直線沒有端點.

生：線段不能延伸，射線只能向一個方向延伸，直線可以向兩個方向延伸，線段有長度，射線和直線沒有長度.

師：請你過一點畫直線，你能畫幾條？過兩點畫直線，你能畫幾條？

生：過一點可以畫無數條直線，過兩點只能畫一條直線.

師：通過實踐發現，過兩點能畫一條直線并且只能畫一條直線，這個基本事實，我們可以概括為“兩點確定一條直線”，這里的“確定”如何理解？

生：“有且只有”的意思.

師：對，這里的“確定”一詞有兩層含義，一是經過兩點有一條直線，表示存在；另一層含義是經過兩點的直線只有一條，表示唯一.這就是數學語言的簡潔美！今后我們可以把這個結論作為說理的依據.下面，我們來看一個應用，每年的3月12日是植樹節，你用什么方法可以使植的樹在一條直線上？

生：只要定出兩個樹坑的位置就能確定同一行樹所在的直線.

設計意圖：這里主要安排了兩個活動.活動1讓學生畫線段、射線和直線，從形上直觀感知它們的區別，起到喚醒學生的思維的作用.活動2則通過操作體驗得到了基本事實“兩點確定一條直線”，這是“用兩個點表示一條直線”的理論基礎，為下面的“線段、射線、直線”的符號表示奠基.另外應用這個基本事實解決了如何使“植的樹在一條直線上”的實際問題，能使學生感悟到數學來源于實際又服務于實際，培養學生理論聯系實際的思想.

2.問題探究，引領學生思維.

師：如何區別黑板上兩條不同的線段、射線、直線呢？下面我們就一起來探究它們的表示.請同學們結合下面的幾個問題進行思考.

問題：（1）怎樣用符號表示線段、射線和直線？表示的字母有什么注意點？有幾種表示方法？

（2）怎樣由一條線段得到射線和直線？你能用準確的語言描述嗎？

（5分鐘后）

師：請同學們將學習過程中的問題提出來，小組內進行交流.

（3分鐘后）

師：剛才同學們學得很認真，交流也很激烈，下面來看看大家掌握得怎么樣.線段怎樣表示？

生：線段可以用表示端點的兩個大寫字母表示，也可以用一個小寫字母表示，如甲同學畫的線段可以記作線段AB、線段BA或線段a.

師：對，所以表示線段的兩個字母沒有順序！乙同學畫的這條線段如何表示？

生：兩個端點字母可以用大寫字母C、D表示，記為線段CD或線段DC，也可以用一個小寫字母b表示，記為線段b.

師：請同學們看屏幕，你能用語言描述怎樣由一條線段得到一條射線嗎？（屏幕上展示的是將線段AB由A向B方向延長時得到一條射線的動畫）

生：延長線段AB.

師：描述很準確，這里延長線段AB是指按從點A到點B的方向延長.這條射線如何表示呢？

生：射線A.

師：這樣表示準確嗎？（見學生未有反應，教師以點A為端點畫另一條射線，如圖1所示）

圖1

生：不準確，還要再在射線上找一點，表示射線的延伸方向，即表示成射線AB.

師：這里的A表示端點，B表示射線延伸方向上的任一點，表示射線的端點的字母必須寫在另一個字母的前面.

師：請同學們看屏幕，你能用語言描述這條射線怎樣得來的嗎？（屏幕上展示的是將線段AB由B向A方向延長時得到一條射線的動畫）

生：延長線段BA.

師：還可以怎樣描述？

生：反向延長線段AB.

師：對，反向延長線段AB是指按從點A到點B的方向的反方向即從點B到點A的方向延長.這條射線，如何表示？

生（齊）：射線BA.

師：那么乙同學畫的這條射線如何表示？

生：端點字母設為M，在這條射線上另取一點記為N，表示為射線MN.

師：很好！如果再在這條射線取一個點E，怎樣表示？再取一點F呢？

生（齊）：射線ME、射線MF.

師：表示同一條射線有多少種不同的表示方法呢？

生：有無數種，用射線的端點和它延伸方向上任一個點就可以表示.

師：能用一個小寫字母來表示一條射線嗎？

生：不能，因為射線的特征是有一個端點和一延伸方向，如果用一個小寫字母表示就不知道端點和延伸方向了.

師：對，分析得很到位，因此，表示射線時不能像表示線段那樣用一個小寫字母來表示.請同學們看屏幕，你能用語言描述這條直線怎樣得來的嗎？（屏幕上展示的是將射線AB反向延長時得到一條直線的動畫）

生：延長線段BA.

生：反向延長射線AB.

師：同學們的描述都非常正確，那直線怎樣表示？

生：在直線上任取兩個點A、B，記為直線AB或直線BA，也可以用一個小寫字母m表示，記為直線m.

師：為什么在直線上任取兩個點就可以表示一條直線呢？

生：兩點確定一條直線！

師：對，有理有據，所以表示直線與表示線段類似，表示直線的兩個字母也沒有順序！

設計意圖：設計問題串引導學生進行自主探究，不僅可以提高學生自主學習的效果，而且可以讓學生在思考問題的過程中，不斷地發展思維、完善思維、引領思維，把學生的思維不斷推向深入——線段、射線、直線之間有什么聯系與區別？如何用運動的觀點理解這種聯系與區別？如何表示？突出了數學的本質，為下面應用它們解決有關問題奠定了基礎.

3.練習鞏固，優化學生思維.

（學生口答，教師追問）

（1）如圖2：

圖2

①射線OA與射線OB是同一條射線嗎？

②射線OB與射線AB是同一條射線嗎？

③射線OA與射線AO是同一條射線嗎？%

（2）請你判斷下列表示方法是否正確：

（3）如圖3，在直線m上有3個點A、B、C，圖中以A為端點的線段有哪幾條？

圖3

師：你能提出什么問題考考其他同學們嗎？

生：圖中以B為端點的線段有哪幾條？

生：有線段BA、線段BC.

生：圖中共有多少條線段？

生：共有3條，線段AB、線段AC、線段BC.

生：圖中以A為端點的射線有哪幾條？

師：這個問題提得很好，我們不僅學習了線段，還有射線和直線！誰來解決一下？

生：兩條，從點A向右的射線可記為射線AB或射線AC，但向左的……（猶豫不決）

師：從點A向左的是一條射線，但要表示它還需要再在點A左側的射線上另取一點，才可表示，直線上的一個點將直線分成幾條射線呢？

生：兩條.

師：還能提出什么問題嗎？

生：圖中以B為端點的射線有哪幾條？

生：圖中以C為端點的射線有哪幾條？

生：圖中共有多少條射線？

生：圖中共有多少條直線？

……

（教室里沸騰起來了）

師：同學們提出的問題真不少！如果在直線l上有n（n≥2）個點，那么圖中共有多少條線段？多少條射線？請同學們課后去研究.

設計意圖：對數學概念的認識，必須從正、反兩個方面進行強化，這里設計了一組問答題和判斷題，有效地從正、反兩個方面幫助學生強化對線段、射線、直線概念的理解，特別是對同一條射線必須滿足兩同（端點相同，從端點射出去的方向相同）的認識；在這個基礎上，利用圖3，在教師先示范性地提出一個問題的基礎上，讓學生嘗試著提出不同的問題，著力培養學生的問題意識；由學生自己提出問題，思維具有一定的開放性，教師在此基礎上，進行歸納，提出一個一般性的問題，并將問題的探索延伸至課外.

4.回歸生活，活化學生思維.

活動1：

師：如圖4，從甲地到乙地有3條路，走哪條路較近？

圖4

生（齊）：路線2.

師：從甲地到乙地能否修一條最短的路？如果能，你認為這條路應該怎樣修？請在圖中畫出這條路.

生：從甲地到乙地修一條線段.

師：結合生活經驗，同學們能概括出一個結論嗎？

生（齊）：兩點之間線段最短.%

師：今后我們可以將這個結論作為說理的依據，下面我們來看一個應用.2005年之前，我們臺灣同胞要從高雄機場趕到北京機場需要繞道香港機場，全程約為2654km，同學們覺得應該怎樣設計航線使得行程最短呢？為什么？

生：從臺灣直達北京，兩點之間線段最短.

師：對！經多方努力協商，2005年開通了臺灣與北京的直航，全程約為2098km，不僅縮短了海峽兩岸的距離，更拉近了同胞們的心靈的距離.你認為用哪一個數據來刻畫北京與高雄兩地的距離更為合理？

生：2098km.

師：對，我們把連接兩點所得線段的長度，叫作這兩點之間的距離，所以北京與高雄兩地的距離就約為2098km，要注意兩點之間的距離是連接兩點的線段的長度，是一個數量，它與線段是不同的.

設計意圖：這里設計了一個活動，讓學生根據生活經驗來感受基本事實“兩點之間線段最短”，然后應用這個基本事實來解決實際問題，進而得出了兩點之間距離的概念，使得結論的發現、概念的由來、思維的發展水到渠成、一氣呵成.

5.綜合拓展，深化學生思維.

圖5

出示三道練習題：

（1）做一做：如圖5，已知點A、B、C.

①畫線段BC（連接BC）；

②畫直線AB、AC；

③在線段BC上取一點D，畫射線AD.

（2）如圖6，看圖說話（用幾何符號語言描述圖6中兩個圖形）

圖6

（3）賽一賽：看圖、說圖、畫圖.

圖7

比賽規則：

同桌兩名同學，一人面向屏幕，另一個人反向.其中一名同學看著屏幕上提供的圖7所示的圖形說給另一名同學聽，另一名同學在紙上畫出大致的圖形，比哪一組完成得既對又快.然后兩人互換角色.

（賽一賽，教室里再次沸騰）

設計意圖：這里，第（1）題是讀句畫圖，訓練學生由符號語言轉化為圖形語言的能力；第（2）題是看圖說話，訓練學生由圖形語言轉化為符號語言的能力；第（3）題是綜合運用題，考查學生三種語言相互轉化的能力.

6.小結交流，升華學生思維.

學生自主小結線段、射線、直線的區別、符號表示、兩個結論，學習過程中獲得的經驗和方法，在回顧和感悟中提升知識的運用能力.

師：本節課的內容可提煉成“3332”，即學習了3種圖形、3種概念、3個語言和2條結論，同學們還有什么問題嗎？

生：過一個點可以畫無數條直線，過兩個點可以畫一條直線，那么過3個點、4個點、…，可以畫多少條直線呢？

師：你提的問題真好！請大家課后思考一下.本節課同學們不僅能解決老師提出的問題，而且能積極主動觀察、思考、發現問題，還提出很多有價值的問題，推開了問題的大門.希望同學們認真學好數學知識，領會數學思想，培養問題意識，勇于創新，爭取取得優異的成績！下課.

設計意圖：以問題單的形式引導學生進行總結反思，在學生自主小結的基礎上，抓住線段、射線、直線的異同，教師及時進行提煉，幫助學生形成兩類結構即知識結構和方法結構；利用學生談收獲和體會的契機，幫助學生積累基本活動經驗；要求學生提出新的問題，有利于進一步培養學生的問題意識，也為下一節課的教學打下了基礎.

二、教學思考

《標準》指出：“教材內容的選擇應符合課程標準要求，體現學生的身心發展特點，有利于引導學生利用已有的知識與經驗，主動探索知識的發生與發展，同時也有利于教師創造性進行教學.”數學教材為師生開展數學學習活動提供了主題、線索和結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.應該說教材的編寫，凝聚著很多專家和教師的心血與智慧，但教師不僅是教材的使用者，同時也是教材的開發者.葉圣陶先生也說過：“課本只是一個例子”.教師只有準確把握《標準》，深刻理解教材，深入鉆研學情，才有可能根據課本這個例子，創造性地使用教材，為“思維而教”.

1.了解學情，讓思維的銜接平滑、自然.

研究學生，了解學生，掌握思維的起點，是讓學生思維自然生長的前提之一，是為“思維而教”的基礎.因此，教師應當對學生已有的知識、方法、經驗作出更為深入和具體的分析，為教師的備課及課堂教學的實施打下堅實的基礎.關于“線段、射線、直線”，學生在小學里已經具備的知識和生活經驗主要有：（1）通過具體情境認識了線段、射線、直線的相關概念；（2）知道直線是向兩個方向無限延伸的，射線是直線上一點和它一旁的部分，線段是直線上兩點和它之間的部分，直線上一點把直線分成兩條射線，直線上兩點把直線分成一條線段和兩條射線，射線上一點把射線分成一條線段和一條射線；（3）線段、射線、直線的主要區別是端點個數不同，線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有端點；（4）掌握度量線段的長度、畫指定長度的線段的技能.由于執教的是一所城鄉結合的初中的學生，學生不善于發表獨立見解，發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力都比較弱，但他們具有很強的好奇心，對小學里關于“線段、射線、直線”的知識掌握較好，對線段、射線、直線這些圖形的生活原型很熟悉，所以教者在教學中以畫出線段、射線、直線模型為抓手，抓住前后知識的聯系，充分利用學生的知識最近發展區，引導學生拾級而上，不斷地發現和提出問題，并幫助他們學會有條理地分析和解決問題，積累初步的數學活動經驗，達到思維無縫銜接的效果.

2.重構教材，讓思維的產生符合邏輯.

課堂教學離不開教材，任何一個版本的教材，都是專家精心編寫而成的，但教材僅是一例子，我們應該在理解課標、理解教材、理解學情的基礎上，科學、合理地使用教材，用教材教，而不是教教材.本節課教材編寫的順序是：通過問題情境和觀察、操作，探究得到基本事實“兩點之間線段最短”，同時介紹兩點之間的距離這一概念；接著探究用符號表示線段、射線、直線，并以“議一議”的活動強化對線段的認識；然后通過問題情境和觀察、操作，探究得到基本事實“兩點確定一條直線”；最后設計了讀句畫圖的活動，鞏固三種語言的互譯.本節課的重點是線段、射線和直線的符號表示，能用兩個點表示一條直線是本節課的邏輯基礎，因此，本節課的思維發生的邏輯順序應該是先探究基本事實“兩點確定一條直線”，再探究用符號表示線段、射線、直線，最后探究其應用.基于上述思考，在這次市級教研活動中，筆者大膽創新，依據思維的發生、發展的邏輯順序對教材進行加工和重組，從課堂反應來看，學生的認識清晰、理解深刻，思維發展更加自然.

3.創設情境，讓思維的發展更加深刻.

思維發展是數學課堂教學的靈魂，它蘊含在知識的形成、發展過程中，離不開特定的問題情境.創設好的問題情境是思維發展的前提，它能起到思維的定向、激發作用.什么是好的問題情境？裴光亞先生作出了精辟的論述：憤、悱是對“問題情境”的恰當描述.憤，就是想求明白而感到困難；悱，就是想說出又說不明白.它不只是“問題”，在問題的背后，還有一種內在需求，一種學生主動探究的愿望.好的數學情境應具有三個特征：（1）應該是學生熟悉的；（2）應該是簡明的；（3）應必然引向數學的本質.本節課注重對問題情境的精心設計，開始階段讓學生畫出“線段、射線和直線”，化抽象為具體；接著請學生操作、探究，積累基本活動經驗，感悟基本事實“兩點確定一條直線”，感受數學與生活及其他學科的聯系，體驗數學思想；其次，以數線段為問題情境，探究數射線和直線的方法，滲透化繁為簡、由特殊到一般、歸納類比的思想方法；最后以問題情境進行小結，讓學生辨析概念的異同，談收獲與體會，讓思維有了載體，方法有了靈魂.

4.開發習題，讓思維的形成更加深刻.

著名的數學教育家波利亞指出，拿一個有意義而又不復雜的題目幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域.教材中的一些例題或習題往往具有這樣的功能，需要教師對這些題目加以深入思考與研究，發揮題目的真正價值.如本節教材中“議一議”的目的在于引導學生掌握認識圖形的一種技能——從較復雜的圖形中分解出基本圖形，培養學生的讀圖能力，該習題的編制目標比較單一、內容沒有梯度，考慮到數學學習的目的，不僅是鞏固知識，應用知識，更重要的是讓學生自主探究，培養學生的問題意識，發展學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，因此，筆者對該習題進行了創新設計，設計成以數線段為問題情境，在學生給出數以A為端點的線段方案的基礎上，讓學生嘗試提出問題，通過新問題的分析與解決，得到數射線和直線的方法、經驗和結論，學生經歷類比、歸納、猜想，最終提煉出一些本質規律方面的新知，達到進一步完善解題經驗的效果，從而提升學生的解題能力.在平時教學中，要結合學情進行適當變式、擴充、拓展與延伸，從一個問題到一類問題，逐步尋求發現解題的內在規律，培養、鍛煉學生科學的思維方法，獲得舉一反三、觸類旁通的本領，提升學生的數學綜合素養.

應該說，這節課努力以生為本，以問題為主線，以發展學生思維能力為目標，遵循知識螺旋上升的原則，大膽創新教學設計，通過創設豐富多彩的情境，激發學生思維；通過開展數學探究活動，調動學生思維；通過對課本習題的開發，深化學生思維.整節課，學生的思維發展更加自然、豐盈和深刻，真正達到了“年年歲歲課相似，歲歲年年課不同”的效果.

1.中華人民共和國教育部制訂.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.楊裕前，董林偉.義務教育課程標準實驗教科書數學（七年級上冊）［M］.江蘇：江蘇科技出版社.

3.黃玉華，陳德前.培養問題意識推開問題大門——“線段、射線、直線（第1課時）”的教學實錄及其點評［J］.中學數學（下），2014（3）.