中、新初中數學教科書中“相似圖形”的比較研究

☉浙江師范大學教師教育學院師曉莉朱哲王安

中、新初中數學教科書中“相似圖形”的比較研究

☉浙江師范大學教師教育學院師曉莉朱哲王安

一、前言

課程是引起學生差異的一個關鍵因素，尤其是教科書，對學生成績存在著潛移默化的影響.通過對不同國家教科書內容的比較，可以了解學生在數學學習過程中的不同經歷，以及這種差異對學生學習產生的影響.幾何課程在中學階段具有重要的地位和作用，是訓練學生思維、發展學生演繹能力的基礎課程.近年來，新加坡學生在國際數學和科學測試（TIMSS）中的優秀表現，一直受人矚目.本文選取新加坡與中國初中數學教科書中共有的章節“相似圖形”進行比較，尋找兩者的異同，以期對我國數學教科書的編寫與實施產生積極的影響.

二、研究準備

1.中國與新加坡數學課程的核心.

中國《義務教育數學課程標準（2011年版）》［1］（以下簡稱《標準》）指出，義務教育的數學課程是培養公民素質的基礎課程.數學課程的核心是讓學生掌握必要的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力，培養學生的創新意識和實踐能力，促進學生在情感、態度和價值觀等方面的發展.義務教育的數學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎.

新加坡數學課程設計是以“五邊形”為核心思想［2］，在五邊形中間的是“數學問題解決”，它意味著在新加坡，問題解決是數學教育的中心.問題解決的能力依賴于其他因素，而其他因素就體現在五邊形的五條邊上：概念、技能、過程、態度和元認知，也就是“數學問題解決=（概念、技能、過程、態度、元認知）”.

2.內容的選擇.

本文選擇人民教育教育出版社義務教育教科書《數學》［3］中九年級下冊第二十七章“相似”與新加坡數學教科書New Syllabus Mathematics2（7th Edition）［4］第二冊第七章“全等和相似”中的“相似”部分進行分析、比較，以期對我國數學教科書的編寫產生一定的啟示.

3.比較的方法與維度.

筆者采用文本分析法，定性和定量相結合，分別剖析兩種教科書中“相似”的內容.本文主要從表層和內在兩個方面對兩種版本教科書中的“相似”內容進行比較.第一個層面，包括內容編排和內容呈現兩個維度；第二個層面是對學生能力培養的比較，包括邏輯思維能力、綜合應用能力的培養兩個維度.最后，得出啟示.

三、教科書內容的比較

中、新教科書在內容上存在很大的差異，本文分別從內容的編排與側重點和內容的呈現兩方面進行論述.

1.內容的編排與側重點.

中、新教科書中關于“相似”知識的編排如表1所示.

表1 中、新教科書中“相似”的編排

從表1可以看出，兩本教科書中“相似”部分的設置仍然存在一定的差異.《數學》的重點部分為“探究相似三角形的判定定理，并應用定理判定三角形是否相似”.除此之外，其第三節“位似”，是相似與坐標的結合.該部分內容在相似的基礎上，結合圖形的位置關系，要求學生能熟練應用位似比、位似中心解決相關問題.“位似”的引入是綜合性知識在教科書中的呈現，綜合性知識有利于學生將所學知識融合在一起，促進學生數學思維的發展，提高學生的數學素養.這與我國《標準》中所強調的要體會數學知識之間、數學與其他學科之間的聯系相適應.

New Syllabus Mathematics中的重點部分是“放大（或縮小）圖的應用”，包括應用相似比畫出放大（或縮小）圖和解決地圖中距離與實際距離關系等問題.教科書中呈現出3個探究、7道例題詳細講解這些問題應該如何解決，并配有相關的練習題以供學生鞏固.而《數學》中，僅僅在練習和課后習題部分分別出現一道與比例尺有關的計算問題，并沒有通過例題的形式展示該類問題的解法.

2.內容的呈現.

（1）知識的引入、展開和總結.

《數學》的前言部分，“在現實生活中，我們經常見到形狀相同的圖形，如國旗上大小不同的五角星、不同尺寸同底版的相片等.在‘全等三角形’一章中，我們研究了形狀和大小完全相同的兩個三角形的性質和判定方法.類似地，兩個形狀相同、大小不同的三角形，它們的邊和角有什么關系？如何判斷兩個三角形的形狀是否相同？如何按要求放大或縮小一個圖形呢？

要回答上面的問題，就進入這一章的學習吧！在實驗、探究和論證之后，你就能得到問題的答案.”

前言從生活中常見的例子引入，然后逐步導向與本節課內容相關的問題，引發學生思考，最后提出“要回答上面的問題，就進入這一章的學習吧”.這樣設計，不僅使數學更加貼近生活，同時激發學生探索數學的熱情和動力.在章節復習部分，首先通過知識框架圖的形式幫助學生構建知識體系，然后通過問題引導學生思考，查漏補缺［5］.

New Syllabus Mathematics的前言部分，明確列舉出學習本章需要達到的基本目標，使學生能有的放矢，從而提高學習效率.在章節復習部分又回扣前面的目標，進行歸納總結，將本章所涉及的知識點一一列舉，完善知識體系.

New Syllabus Mathematics中知識展開環節中設有的模塊包括“小組討論”“調查研究”“思考時間”“例題與詳解”“課堂練習”.其中特色最鮮明的是其對例題的展示，主要體現在以下幾個方面：一是例題涉及的知識明確，指向性強，每道例題旁邊都標注有該題涉及的知識點；二是例題的解題步驟明確，利于學生模仿；三是例題后有同類型的習題，供學生鞏固練習，有利于促進學生對新知識的理解和運用.《數學》中也設有“例題和習題”，但相對于New Syllabus Mathematics，《數學》的不同之處主要表現在：一道例題對應多種類型的習題，增加學生學習的困難.

例如，《數學》27.1“圖形的相似”中的例題和練習如下：

例如圖1，四邊形ABCD和EFGH相似，求角α、β的大小和EH的長度.

圖1

練習

1.在比例尺為1∶10000000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是30cm，求兩地的實際距離.

2.圖2所示的兩個三角形相似嗎？為什么？

圖2

圖3

3.圖3所示的兩個五邊形相似，求a、b、c、d的值.

以上三個習題從整體上看都用到了相似比的知識，但是細看并不屬于同類題.New Syllabus Mathematics中同樣出現這三個習題，且都在相應的例題和解答后呈現，分別是例11、例5、例6，學生模仿習題即可解答.

（2）定理的探究過程.

中、新兩本教科書對三角形相似的判定定理的探究方式，也存在很大的差異.《數學》引導學生根據全等三角形的判定定理類比探究相似三角形的判定定理.即由全等三角形的判定定理SSS得到相似的判定定理一：三邊對應成比例的兩個三角形相似；由SAS得到定理二：兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似；由AAS（ASA）得到定理三：兩角分別相等的兩個三角形相似. New Syllabus Mathematics則引導學生觀察三組圖形，根據相似圖形的性質，分別思考對應邊的比相等或者對應角相等的兩個圖形是否相似，從而得出結論：如果兩個三角形的對應邊的比相等或者對應角相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個四邊形或更多邊形的對應邊的比相等且對應角相等，那么這兩個圖形相似.

《數學》訓練學生數學邏輯的嚴密性，重視合情推理和演繹推理，通過每一步嚴謹的證明得到定理.而New Syllabus Mathematics在發展學生思維方面則優勢突出，重視學生思維的碰撞，通過觀察、思考、交流、探究的方式得到定理.《數學》的這種訓練也是造成中國學生在學習數學過程中容易形成思維定式的重要原因.因此，《數學》可以在保證邏輯正確的前提下，適當增加對學生數學思維的訓練，開發學生的數學潛能，以全面提升其數學素養.

3.例題與習題的難度.

例、習題的難度可衡量出教科書編寫者對學習者所要達到的要求［6］，筆者利用“數學課程的綜合難度模型”［7］，對《數學》和New Syllabus Mathematics中的題目進行分析統計.本文選取教科書中所設置的探究、思考、例題、課堂練習進行對比.如表2所示，為兩種教科書各難度因素的難度值統計.

表2 兩種教科書題目難度因素對照

根據表2，做出兩本教科書例題與習題難度因素的雷達圖，如圖4所示.由表2及圖4直觀看出：在推理和知識含量兩個因素上，《數學》教科書難度高于New Syllabus Mathematics；在背景因素上，《數學》難度低于New Syllabus Mathematics；在探究和運算因素上，兩本教科書的難度相當.探究、背景、運算、推理、知識含量5個因素對應的權重值分別為a1=0.210，a2=0.120，a3=0.185，a4=0.225，a5=0.26.得New Syllabus Mathematics的綜合難于為2.14，《數學》的綜合難度為2.26，即《數學》的綜合難度大于New Syllabus Mathematics的綜合難度.

圖4 《數學》和New Syllabus Mathematics例題和習題難度因素

新加坡數學題的難度并不高，但新加坡在數學教育方面取得的成就卻受人矚目.因此，注重基礎知識的數學教育也可以取得較高的質量，學生對基礎知識掌握扎實，會有更大的發展空間.“基礎知識”和“基本技能”也是我國“四基”教育中重要的基礎，在新課程改革的背景下，不僅要繼承，更要發揚.

四、教科書對學生“能力培養”的比較

《標準》中指出“課程設計要滿足學生未來生活、工作和學習的需要，使學生掌握必需的數學基礎知識和基本技能，發展學生的空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力、數據處理能力和綜合應用能力”.在“相似”部分，主要涉及對學生邏輯推理能力和綜合運用能力的培養，因此，本文通過對中、新教科書中所體現的“邏輯推理能力”和“綜合應用能力”比較，得出結論，以期對我國數學教科書的編寫產生積極的影響.

1.邏輯思維能力的發展.

學生在解決數學問題的過程中，思維能力［8］能得到逐步提高，以下從課本中的探究和例題出發，比較兩本教科書對思維發展的重視程度.

（1）探究中所體現的思維.

《數學》和New Syllabus Mathematics中的探究主要是對“相似三角形的判定定理”的探究.《數學》重視合情推理和演繹推理，運用類比的方法，滲透數學思想，通過每一步嚴謹的證明得到定理，并且注重科學探究方法的掌握.New Syllabus Mathematics中主要是對“相似三角形”性質的探究，通過觀察、思考、交流、探究的方式得到該定理，整個過程將自主探索、合作交流落到實處，培養學生靈活、發散的探究能力.

（2）例題中展現的思維.

《數學》和New Syllabus Mathematics中的例題均是在各個“探究結果”后出現，是對新定理的舉例運用，及時鞏固所學知識.不同的是，《數學》按照“題目”加“分析”加“解答過程”的模式.New Syllabus Mathematics中例題則是遵循“題目”加“知識點”加“解答過程”的模式.在這一方面，國內外教科書各有千秋，《數學》中的“分析”在展現解題思路的同時，也反映了題目的設計意圖，幫助學生形成良好的思維邏輯.這與我國所提倡的三維目標中的“過程與方法”相適應，即學生的學習不僅是結果的學習，更是思維發展的過程.在這個過程中，學生體會數學的變化，感受學科的形成.New Syllabus Mathematics在例題的題頭，分別明確寫著哪個知識點，基本達到什么程度，這樣有利于學生在大腦中搜索該方面的知識.

2.綜合應用能力的培養.

《數學》對“相似”的應用主要有：相似三角形的判定、位似.New Syllabus Mathematics對“相似”的應用主要有以下幾個方面：相似圖形的判定、比例尺在地圖中的應用、畫擴大（或縮小）圖，實際問題中高度的測量.《數學》和New Syllabus Mathematics都十分重視對學生應用能力的培養，重視學生問題解決能力的培養.但不同之處在于，《數學》重視邏輯推理和定理應用能力的培養，通過定理的探究和應用，加強學生的基礎知識和基本技能.New Syllabus Mathematics則通過作圖、實際應用等問題培養學生多方面的綜合應用能力、動手實踐能力，拓展學生的思維.

五、結論和啟示

1.研究結論.

在內容方面，《數學》和New Syllabus Mathematics“相似圖形”部分的側重點不同，前者重“推理證明”，后者重“實際應用”，分別體現了兩種不同價值取向.《數學》重視“相似三角形判定定理”的推導和證明，通過類比的方法推導判定定理并加以應用；同時，《數學》注重數學知識之間的聯系，將“相似”與“坐標”結合起來得到“位似”，使知識得以升華.New Syllabus Mathematics則重視“相似的性質”的探索及其在實際中的應用，通過畫擴大（或縮小）圖訓練學生的動手實踐能力.New Syllabus Mathematics的例題與習題難度較《數學》偏低，該教科書更加注重基礎知識的訓練，不做偏題、怪題.

培養目標方面，兩本教科書也存在較大的差異.《數學》注重培養學生嚴謹的邏輯推理能力；New Syllabus Mathematics更加重視培養學生靈活的探究能力和實際應用能力，發展學生的個性思維.

2.對我國教科書編寫的啟示.

（1）注重目標導引.

目標是指引學生學習的方向，明確的學習目標可以使學生抓住學習重點和難點，有的放矢.《數學》前言部分雖然通過問題將學生帶入到新課的學習中，但是并沒有明確指出學習目標.而New Syllabus Mathematics中的前言部分值得我們學習和借鑒，其設置在每章節最前面的目標導引，不僅可以在學生學習之前給予其明確的引導，同時，學生可以在學習完本章后對照目標，查漏補缺，進行歸納，這對于學生初學和復習梳理都是非常有幫助的.

（2）加強“四基”的訓練.

新加坡的數學課程非常重視對基礎知識的理解和對基本技能的運用.New Syllabus Mathematics的難度雖然比《數學》偏低，但新加坡學生在國際測試中一直表現優異，可以認為，這與他們扎實的基礎是分不開的.New Syllabus Mathematics中每一道課堂習題都有例題作為先導，并且每道例題均有詳細的解答過程，無難題、怪題，旨在夯實學生的基礎，為培養更高層面的問題解決能力作好準備.《數學》的編排可以學習New Syllabus Mathematics的一些模式，以便更好地落實《標準》中的“四基”.

（3）培養學生的問題解決能力.

新加坡的數學將問題解決作為數學學習的核心，而《標準》也提到學生應當通過義務教育階段的數學學習，“形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性”.兩本教科書在訓練學生思維、發展學生問題解決能力上雖有所不同，卻都非常重視.在教科書編寫與教學實施過程中，不僅要強調知識與技能的訓練，也要注重問題解決能力的培養.例如，加強“相似”知識與其他知識之間的對比與聯系，可以幫助學生建構完善的知識體系，從而增強學生的問題解決能力.再如，充實習題的背景，增強習題與學生生活的聯系，同樣可以達到培養學生問題解決能力的目的.

（4）“推理”和“應用”相結合.

相對于《數學》重視培養學生嚴謹的思維和推理能力，New Syllabus Mathematics更加注重學生靈活的探究和應用能力.兩本教科書各有千秋，可相互學習，相互借鑒.《數學》可以在不失推理的基礎上增加更多實際應用，以增強學生的動手實踐能力.例如，New Syllabus Mathematics中將利用相似性質畫圖作為本章的重點之一，將“比例”與現實的房子、地圖結合起來，以鍛煉學生的實踐能力，這都是值得我們學習的地方，即注重數學的現實性.荷蘭數學教育家弗賴登塔爾也曾提出“現實數學教育”，就是將數學學習與現實生活密切聯系起來，把學到的數學知識應用到日常生活中去.加強數學與現實生活的聯系，有利于引起學生對數學的興趣，有利于學生了解數學的價值.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2011.

2.張曉貴.從新加坡數學課程五邊形談起［J］.數學教學通訊，2006（2）.

3.李海東.數學（九年級下冊）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

4.Dr Joseph Yeo，Teh Keng Seng，Loh Cheng Yee，Ivy Chow，Neo Chai Meng，Jacinth Liew.New Syllabus Mathematics2（7thEdition）［M］.Singapore：ShingleePublishers PteLtd，2013.

5.朱哲.新加坡數學教科書中的“勾股定理”［J］.數學教學，2008（4）.

6.徐芳.不同版本教科書的例習題比較研究——以人教A版和蘇教版中“導數概念”為例［J］.中學數學（下），2016（10）.

7.鮑建生.中英兩國初中幾何數學課程綜合難度的比較研究［D］.華東師范大學，2002.

8.唐恒鈞，張維忠.中美初中幾何教科書“相似”內容的比較［J］.數學教育學報，2005，14（4）.