重視問題串聯，嘗試探究復習
——中考一輪復習“圖形與坐標”的教學設計與反思

☉江蘇南京市金陵中學河西分校 劉志成

重視問題串聯，嘗試探究復習
——中考一輪復習“圖形與坐標”的教學設計與反思

☉江蘇南京市金陵中學河西分校 劉志成

“復習課最難上”，這是許多數學教師經常發出的感慨，特別是初三的總復習課，既不像新授課那樣有“新鮮感”，又不像練習課那樣有“成功感”.最重要的是，到目前為止，復習課還不像新授課一樣有一個基本公認的課堂教學結構（模式）.因為有了這個課堂教學結構，就等于有了可供操作的教學程序.大家知道，結構的優劣決定功能的大小，井然有序的課堂教學結構就像階梯一樣使教者能胸有成竹地引導學生拾階而上，進而更好、更快地掌握知識.

我們做老師的為數學復習課辛勤勞累，有時候還得不到應有的收獲.原因在哪里？在涉及“基礎知識”的復習課中，教師如果通過歸納成條文或畫圖表概括的手段來羅列知識、梳理知識，這樣老師會面面俱到、疏而不漏，學生卻感到枯燥乏味、漫不經心、沒精打采，無法激發學生的興趣：優等生感覺這是羅列知識，差生感覺摸不著頭腦.如果教師能夠提出一些創造性的問題，學生就會躍躍欲試，精力飽滿地思考問題.這就明顯地反映了學生需要通過問題來復習基礎知識的迫切要求，順應了學生的心理需求.在中考總復習課中，教師如果抓一問題串，以問題串為主線，創設一定的問題情境（可以以實際生活為背景，也可以以純數學問題為契入點），從而使復雜的問題簡單化，雖然教學難點能在學生的思考、教師的引導下突破，但還是有一點“老師牽著學生的鼻子走”的感覺.如何放手讓學生自己提出問題、解決問題、感悟知識、感悟方法呢？新授課模式中的探究學習能否借鑒呢？筆者就“圖形與坐標”這節已經開設的市級公開課，談一談中考一輪復習中如何重視問題串聯，嘗試探究復習.

一、總體設計意圖

圖形與坐標是《數學課程標準》圖形與幾何中的核心內容之一，圖形的平移、對稱、旋轉變化貫穿初中三年知識的學習，平面直角坐標系中有序實數對與點的位置之間的對應關系，為我們搭建起代數與幾何的橋梁，在總復習中，無需將以上知識一一羅列，可以通過設計一些問題串，將平面直角坐標系的概念、根據坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標等基礎知識加以回顧.再通過設計問題串，引入圖形變化，結合平面直角坐標系中點的坐標加以探究，感受圖形變化與點的坐標變化的關系.因此，本節課將以問題串為線，探究活動為中心，根據教學目標、教學內容，結合學生的認知特點和數學學習經驗，設計六個教學環節：問題情境—知識建構—概念回顧—探究活動—例題教學—課后拓展.每個教學環節的設計意圖如下所示.

問題情境：結合日本發生地震、海嘯事件的地點，激發學生用各種方法描述位置的積極性.

知識建構：通過3個問題，引導學生回憶、建構平面直角坐標系的概念、點坐標的表示方法，感受數形結合思想.

概念回顧：在學生對相關內容的回顧、反思和再建構中，完善研究“工具”.

探究活動：這是本節課的中心環節，通過一系列的問題串和探究活動，感受圖形變化和坐標變化的關系，對所學知識加以串聯并進行固化，進一步體會數形結合思想.

例題教學：設計2個典型例題，放手讓學生提出問題、解決問題、感悟知識、感悟方法，幫助學生鞏固對平面直角坐標系的認識和圖形變化與坐標變化之間的關系，在反思的基礎上提煉解題方法和解題策略.

課后拓展：在學習方法和學習經驗方面進一步反思，在思維上進一步拓展.

二、教學目標及教學重、難點

［教學目標］

1.認識并能畫出平面直角坐標系；在給定的直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標.

2.能在方格紙上建立適當的直角坐標系，描述物體的位置.

3.在同一直角坐標系中，經歷平移、對稱等圖形變換過程，感受圖形變換后點的坐標的變化.

4.靈活運用不同的方式確定物體的位置.

5.體驗數與圖形是有效描述現實世界的重要手段，進一步感受數形結合思想.

【教學重點］

1.根據坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標.

2.建立適當的平面直角坐標系，描述物體的位置，感受圖形變換后點的坐標的變化.

【教學難點】

建立適當的平面直角坐標系，描述物體的位置，感受圖形變換后點的坐標的變化.

【教學過程】

（一）問題情境.

介紹日本地震、海嘯引發的核泄漏事件.

問題1：你能描述仙臺和福島相對于震中的位置嗎？

問題2：你需要知道哪些信息？

設計意圖：結合具體的實際背景，在沒有“工具”的幫助下，讓學生遇到棘手的難題，激發學生探索的欲望和發現問題的意識，讓學生自主找尋解決問題的方法.

圖1

（二）知識建構.

問題1：如果將震中記為點O，仙臺市記為點A，福島縣記為點B，以點O為坐標原點，正東方向記為x軸的正方向，正北方向記為y軸的正方向，建立平面直角坐標系，若AB⊥x軸于點A，OA=130，AB=75，你能寫出點O、A、B的坐標嗎？

設計意圖：通過平面直角坐標系和符號的引入，建立數學模型，回顧根據點的位置寫出坐標.

問題2：點（1，2）在第_____象限；點（-1，2）在第____象限；點（1，-2）在第____象限；點（-1，-2）在第___象限.

設計意圖：回顧根據點的坐標描述點的位置，復習平面直角坐標系相關概念.

問題3：點A（a，b）的坐標滿足ab＞0，則點A的位置在第幾象限？若ab=0呢？

設計意圖：由具體數字過渡到字母，加深難度的同時，滲透分類討論思想，完善平面直角坐標系相關知識.通過問題串的設置，復習點的坐標和點的位置的相互轉化，問題設置由易到難，層層推進，既復習了相關知識，又滲透了一些常用的數學思想方法.

（三）概念回顧.

平面直角坐標系、坐標、象限.

（四）探究活動.

探究1：在圖2所示的平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長為1個單位.

圖2

（1）在直角坐標系中描出下列各點：A（5，3）、B（1，3）、C（1，1）、D（5，1），順次連接點A、B、C、D、A，構成四邊形ABCD；

設計意圖：由點的坐標描出點的位置，復習鞏固基本技能，為后面的探究活動進行鋪墊.

（2）觀察點A、B、C、D的坐標和四邊形ABCD的形狀，談談你的發現.

設計意圖：設置開放性問題，從單個點的坐標上升到多個點組成圖形，從單純描點畫圖上升到探索點的坐標的異同與圖形形狀之間的關系.

探究2：在圖3所示的平面直角坐標系中，每個小正方的形邊長為1個單位.

圖3

（1）將矩形ABCD平移，得到矩形A1B1C1D1，且點A1的坐標為（-2，4），畫出平移后的矩形A1B1C1D1并寫出點B1、C1、D1的坐標；

（2）觀察平移前后對應點坐標的變化情況，談談你的發現.

（3）若點E（a，b）是矩形ABCD內的一點，你能直接寫出矩形A1B1C1D1內點E的對應點E1的坐標嗎？

設計意圖：在鞏固平移作圖技能的同時，串聯初中所學知識點，并設置開放性問題，探索平移變化前后點的坐標的關系，再用字母表示，對一般性規律加以固化，讓學生在圖形的平移運動中進一步感受數形結合思想，總結平移運動與點的坐標變化的規律.

探究3：在圖4所示的方格中，每個小正方形的邊長為1個單位.

圖4

（1）%矩形ABCD、矩形A1B1C1D1、矩形A2B2C2D2如圖所示，建立適當的平面直角坐標系，使矩形ABCD與矩形A1B1C1D1關于y軸對稱，矩形ABCD與矩形A2B2C2D2關于x軸對稱，并寫出各點坐標；

（2）觀察軸對稱前后對應點坐標的變化情況，談談你的發現；

（3）你能仿照探究2中的問題（3），提出一個問題并解決嗎？

（4）圖中還有其他對稱嗎？你還能提出哪些問題？

設計意圖：在探究2的基礎上，讓學生根據條件自己建立平面直角坐標系，設置開放性問題，探索軸對稱變化前后點的坐標的關系，并進一步要求學生能自己提出問題，對一般性規律加以固化的同時，培養學生提出問題、解決問題的能力.最后通過適當引導，探究中心對稱變化前后點的坐標的關系，讓學生在圖形的對稱變化中再次感受數形結合思想，總結點的坐標變化的規律.

（五）例題講解.

例1如圖5，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC= 4，請你建立適當的直角坐標系，并寫出A、B、C各點的坐標.

圖5

設計意圖：例1的設置，讓學生自己建立平面直角坐標系，感受在不同位置建立坐標系，可以簡化問題，尋找最佳解題策略.

例2如圖6，在平面直角坐標系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3.

圖6

已知A（1，3）、A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3）；B（2，0）、B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0）.

（1）觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規律，按此變換規律再將△OA3B3變換成△OA4B4，則A4、B4的坐標是_________________________；

（2）按第（1）題找到的規律，你還能提出哪些問題？將△OAB進行了n次變換，得到△OAnBn，比較每次變換中三角形頂點坐標有何變化，找出規律，推測An的坐標是____________，Bn的坐標是____________.

設計意圖：例2通過探索規律問題，要求學生感受坐標變化與圖形變化之間的關系，并學會特殊問題一般化.

（六）課后拓展.

點A、B、C在圖7所示的方格格點上，每個小正方形的邊長為1個單位，點B是否在直線AC上？說明理由.

圖7

設計意圖：課后拓展問題并不是本節課難度的加深，而是課堂的延伸，看似一個簡單的幾何問題，用幾何的方法說理卻并不十分容易，但是如果引入平面直角坐標系，借助一次函數的知識，就很容易證明，讓學生進一步感受平面直角坐標系是溝通代數與幾何的橋梁，以及數形結合思想在初中數學中的重要地位.

三、教學反思

這是一節南京市教學研究室組織的市級復習教學研究課，筆者以“圖形與坐標”為課題，進行了總復習課上法的展示活動.本節課以問題為主線，以探究為中心，在教學設計上有別于傳統意義上的復習課，新穎之處主要表現在以下三點.

1.復習課也要重視情境創設.

如何提高復習課的效率，一直是我們教學研究中難以突破的問題.為激發并引導學生對復習課的關注，本節課采用了一條重要的原則，即“問題的新穎性”.復習課不同于新課的講授，它是在有限的時間內較大容量地對知識進行強化和提高的綜合教學活動.在復習課中，問題的情境應體現新穎性.本節課的設計立足于坐標，但又不同于原來的坐標，設置了新的情境，產生了新的變式，有效激發了學生的思維.數學教學的目的就是培養學生的思維.怎么樣才能培養學生的思維呢？最好的方法就是用問題情境去激發學生的挑戰意識，創造新穎的、有難度的、有思維價值的情境.

2.復習課也要尊重學生主體.

為了體現數學教學是活動中的教學，需要我們確立學生在教學活動中的主體地位，《數學課程標準》指出“有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.數學教學活動應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維.”本節課中，教師通過平移、軸對稱、中心對稱多種變換，創設適合的問題串，設置大量開放性問題，激發學生的主體意識；通過設置的問題串，幫助學生充分回憶，引發學生獨立思考，既尊重了學生是學習的主體，又體現了教師的精心引導，有助于學生自主進行知識梳理，建構知識框架.也讓學生體驗了數學研究的基本思路和方法.

3.復習課也要滲透思想方法.

數學是思維的學科.數學教學一定要注重思想方法的滲透，復習課更要如此.數學思想方法是對數學思維過程的抽象，我們不能離開數學思維過程來談數學思想方法，也不能滿足于對數學思想方法做靜態的分析，而要用數學活動本身，特別是數學活動的過程來考察、分析數學思想方法.本節課中，筆者通過精心設計學生的探究活動和課后拓展，讓學生在活動中體會數形結合思想的重要性和解決問題的合理性.復習課更應該將數學思想方法的滲透放在第一位，對學生的長遠發展負責.