一個基本模型背后的“深思”*

☉江蘇南師大附中新城初中 何君青☉江蘇南師大附中新城初中 陳敏婕

一個基本模型背后的“深思”*

☉江蘇南師大附中新城初中 何君青☉江蘇南師大附中新城初中 陳敏婕

數學教學過程中最重要的環節就是以數學知識、技能為載體，滲透數學思想方法，從而讓學生體會一類數學問題的本質，這樣才能提高學生的數學能力.筆者在長期的教學過程中，發現有些類型的題目無論對作為新知識學習的學生還是經過系統復習后面臨中考的學生來說都有一定困難，這類題特別值得關注.本文就以最短路徑問題與讀者交流，共同探討教學過程中的一些收獲.

一、基本模型

顧名思義，最短路徑問題其中有一類就是尋找兩條線段或多條線段的最小值問題.這類問題貫穿整個初中三年，從初一到初三都是常考問題，在中考模擬題或中考題中也時常出現，此類題也是學生常錯的問題.

這類問題的題源還要從一個課本練習題說起：

如圖1，A、B兩點在直線l的同側，在l上找一點P，使PA+PB最小.

圖1

圖2

分析：先作點B關于直線l的對稱點B′（如圖2），則PB=PB′.所以，求PA+PB的最小值相當于求PA+PB′的最小值，故當A、P、B′共線時AP+PB′的值最小.因此連接AB′，AB′與直線l的交點，就是點P.事實上，很多看似困難的最短路徑問題，都可以轉換成這個基本模型，利用上述方法使問題迎刃而解.

二、兩條線段的最短路徑問題

探究1：三角形中的最短路徑.

如圖3，在等邊△ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是△ABC的高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，并求出最小值.

圖3

圖4

分析：上述問題可以轉換成模型：E、B在線段AD的同一側，在AD上求作一點，使得PE+PB最小.如圖4，作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，則BP=CP，若使BP+ PE的值最小，即使CP+PE的值最小，當C、P、E三點在同一條直線上時，滿足CP+PE的值最小，故連接CE交AD于一點，則這點就是點P，由此可得BP+PE的最小值為

探究2：正方形中的最短路徑.

如圖5，正方形ABCD中，AB=2，E為BC的中點，在對角線BD上找一點P，使CP+PE的值最小，并求出最小值.

圖5

圖6

分析：上述問題仍然可以轉換成模型：E、C在線段BD的同一側，在BD上找一點P，使PE+PC最小.如圖6，作點C關于BD的對稱點，恰與點A重合，則AP=CP，若使EP+ CP的值最小，即使AP+PE的值最小，當A、P、E三點在同一直線上時，滿足AP+PE的值最小，故連接AE交BD于一點，則這點就是點P，由此可得CP+PE的最小值為

探究3：菱形、矩形等圖形中的最短路徑.

如圖7，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，點M、N分別是AB、BC的中點，在對角線AC上找一點P，使MP+PN的值最小，并求出最小值.

圖7

圖8

分析：如圖8，利用上述方法，可以很快求出PM+PN的最小值為5.

總結：通過探究1、探究2、探究3，我們可以發現在常見的軸對稱圖形中，解決最短路徑的問題往往是通過轉換成基礎模型的方法，再利用共線點的最小值來求得答案.

探究4：平面直角坐標系中的最短路徑.

如圖9，在平面直角坐標系中，A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x軸上找一點D，使四邊形ABCD的周長最小，則點D的坐標是_____________.

圖9

分析：由于四邊形ABCD中AB、BC的長度保持不變，所以求四邊形ABCD周長的最小值就是求CD+AD的最小值，問題迅速轉換成基本模型：A、C在x軸的同一側，在x軸上求作一點，使DA+DC最小.故作點A關于x軸的對稱點A′，則AD=A′D.若使CD+AD的值最小，即使得CD+ A′D的值最小，當C、D、A′三點共線時，CD+A′D的值最小，故連接A′C交x軸于一點，這點就是點D，通過此思路可得到點D的坐標.

探究5：圓中的最短路徑.

圖10

圖11

分析：如圖11，上述問題依然可以轉換成模型：A、B在線段CD的同側，在CD上找一點P，使BP+AP的值最小.故可以作點B關于線段CD的對稱點E，根據圓的對稱性，點E在圓上，則PB=PE，若使BP+AP的值最小，即使AP+ PE的值最小，當A、P、E三點共線時，滿足AP+PE的值最小，故AE交CD于一點，這點便是點P.

三、三條線段的最短路徑問題

兩條線段的最短路徑問題通過上述幾個例子已經掌握了其中的方法，只要將問題轉換成基本模型，便可以解決，如果換成三條線段的最短路徑問題，又該如何解決呢？

探究1：三角形周長的最短路徑.

如圖12，∠MON是銳角，它的內部有一點A，在OM上作一點B，在ON上作一點C，使△ABC的周長最小.

圖12

圖13

分析：△ABC的周長由AB、BC、CA共同決定，先作出點A關于OM的對稱點D，關于ON的對稱點E（如圖13），則BA=BD，CA=CE.從而求AB+BC+CA的最小值轉換成求DB+BC+CE的最小值，顯然當D、B、C、E四點共線時DB+ BC+CE的值最小.因此DE與OM、ON的交點，就分別是點B、點C.

此題還可以具體化：

變式：∠MON=30°，點A是∠MON內部任意一點，OA=8，在OM上作一點B，在ON上作一點C，使△ABC的周長最小，并求出最小值.

探究2：四邊形周長的最短路徑.

如圖14，在平面直角坐標系中，有A（3，3）、B（1，5）、C（0，a）、D（b，0）四點，當四邊形ABCD的周長最小時，求a、b的值.

圖14

分析：由于四邊形ABCD中A、B兩點的位置已經確定，故AB的長度保持不變，所以想求四邊形ABCD周長的最小值就是求BC+CD+DA的最小值，問題迅速轉換成模型：A、B兩點在∠yOx內部，在y軸、x軸上分別求作點C、D，使BC+CD+DA最小.

作點A關于x軸的對稱點A1，根據對稱性可知AD= A1D，作點B關于y軸的對稱點B1，根據對稱性可知BC= B1C.若使BC+CD+DA的值最小，即使得B1C+CD+DA1的值最小，當B1、C、D、A1四點在一條直線上時，滿足B1C+CD+ DA1的值最小，故連接A1B1，與y軸、x軸有交點，就是所求的點C、點D，于是先算出直線A1B1的解析式，便可得到點C、點D的坐標，a、b的值也隨之得到.

四、實踐后的反思

1.關注數學問題的生長點.

很多教師經常會有這樣的困惑：上課時已經提出了有價值的問題，很多學生卻掌握不了，該如何教學？其實，我們常常發現一些剛講過的問題學生很快就會忘掉，似乎在學生的記憶中從未留下“痕跡”，這主要是教學的過程中只關注了結果，并未關注過程所導致的.教學中，我們常告訴學生某個重要的結論，但卻忽略了知識的形成和發展過程，如上面的例子，題源學生都見過，但如何靈活運用、怎么去運用，與其他圖形又有什么聯系，卻并未讓學生自己思考過，那么這個數學問題的生長點就可謂未關注好，讓學生一開始就不會運用，而讓他們去解決類似問題，這怎么能實現？故在教學的過程中，要注重對基本模型進行深入研究、變式，這樣學生才會將一類問題理解透徹，逐漸讓這個問題生長起來，解決更多的問題.

2.關注自主的發現學習.

任何一個常見模型都有其研究的必要，這類模型的選取可以中考題為主，也可以教材中的模型為主，教師在課前要進行充分研究，上課時讓學生大膽提出自己的想法，每個學生都會有自己的想法，這樣不僅可以把問題研究得更透徹，還能提高學生學習數學的積極性，漸漸進入一個良性循環的狀態.

弗萊登塔爾曾說過：學習數學唯一正確的方法是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學的東西自己發現或創造出來.故教師要善于尋找這些能挖掘、能研究的生長點，讓學生去發現、去研究，實現高效課堂.

*本文系南京市教育科學“十二五”規劃立項課題“‘跑班’分層模式下初中數學課堂教學與考試評價研究”（課題編號：L/2015/ 181）的階段性成果.