深刻理解習題結構，跟進變式拓展追問
——以圓為背景的綜合題改編例說

☉浙江寧波市曙光中學 王海燕

深刻理解習題結構，跟進變式拓展追問
——以圓為背景的綜合題改編例說

☉浙江寧波市曙光中學 王海燕

近讀文1，文中提到：“經驗教師常常重視對例題進行恰當改編，拓展追問，使得例題的教學功能大為增強，有效提高課堂教學效果.并且結合具體的改編題例闡釋了常用的習題變式策略：簡單改編、置換設問、增設鋪墊、拓展生長.主要目的是面向全體、滲透方法、潤物無聲、鼓勵挑戰.”筆者深受教益，在近期中考復習時也注重對一些例題或習題進行改編變式，豐富題目的教學與訓練功能.本文整理以圓為背景的綜合題，解讀改編試題的意圖與教學立意，并跟進思考，供研討.

一、以圓為背景的綜合題例解讀

題例1如圖1，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，點E為OB的中點，連接CE并延長交⊙O于點F，點F恰好落在弧AB的中點，連接AF并延長與CB的延長線相交于點G，連接OF.

（1）求證：BG=2OF；

（2）求證：BG=2BC；

（3）求sin∠BAG的值；

（4）求sin∠ACB的值；

圖1

（5）若⊙O的半徑為2，求△ACG的周長.

改編解讀：本題由2016年山東聊城中考題改編而來.由該題的條件可解讀出OF是△ABG的中位線，△OEF≌△BEC，于是前兩問可順利突破；而發現特殊的等腰直角三角形△ABG是破解第（3）、（4）問的關鍵；沿著前面的思考，增設強化條件圓的半徑之后，△ACG的三邊都可解出.這樣5個小問訓練下來，可以加深學生對這類圖形結構的理解，使得圍繞該圖或條件設計出來的不同問題都達到訓練效果.

題例2如圖2，半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P.已知sin點P在弧AB上運動，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q.

（1）求AC的長；

（2）求證：△ABC∽△PQC；

（3）當點P與點C關于AB對稱時，求PQ的長；

（4）當點P運動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長；

圖2

（5）當點P運動到弧AB的中點時，求CQ的長.

改編解讀：這道題的出發點和關鍵是△ABC∽△PQC，第（3）、（4）問主要訓練學生轉化思路，把對△CPQ的研究轉化到△ABC中；第（5）問將思路轉化聚焦在△APC中，首先要定位點P是半圓AB的中點，然后△APC中有特殊角度（∠ACP=45°），當CP被突破之后，再根據比例關系對應得出CQ的長.

題例3如圖3，直線l與⊙O相切于點D，過圓心O作EF∥l交⊙O于E、F兩點，點A是⊙O上一點，連接AE、AF，并分別延長交直線l于B、C兩點.

圖3

（1）小明發現∠ABC與∠ACB是互余關系，請直接指出“小明發現”的真假.

（4）當⊙O的半徑r=5，BD=12時，

①求tan∠ACB的值；

②求AB或BC或AC的長.（三選一，簡述步驟即可）

改編解讀：第（1）問起熱身作用，讓學生感受圖3中的互余關系；第（2）、（3）問所給的兩個銳角三角函數值分別對應著兩種不同形狀的直角三角形，訓練和教學的目的是引導學生注意明辨；最后一問需要構造直角三角形，研究此時圖形中所有直角三角形的形狀，只要過點E作EH⊥BD于H，連接OD，就可將問題轉化到△BEH中實現問題突破；最后一問較有挑戰，因為不論求哪一條邊長都需要較繁雜的運算，如果能熟練利用銳角三角函數值輔助運算，可以適當簡化，訓練時先讓學生經歷求解，然后優化、簡化，體會數學求簡的追求.

題例4如圖4，AB是⊙O的直徑，PA、PC分別與⊙O相切于點A、C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E.

圖4

（1）求證：△APO∽△EDO；

（3）在（2）的條件下，直接判斷DE與圓O的位置關系；

（5）在（4）的條件下，求△POD的外接圓的直徑.

改編解讀：第（2）、（4）問中的兩個銳角三角函數值分別對應著不同的直角三角形，通過并列設問，引導學生注意辨析，在（2）的條件下會出現特殊角度30°，此時點E成為圓O上的一點，DE也特殊化為圓O的切線；第（4）問強化“tan∠APC=”后，圖形中直角三角形有兩種重要的形狀，即“3，4，5”或“1，2的形狀，解讀出這兩種形狀后，對于第（4）問求解很關鍵；最后一問并不需要構造△POD的外接圓，可以根據教材上的拓展題（正弦定理）來獲得快速突破，因為∠ADP的正弦函數值可以在△APD中思考，而△OPD的三邊都容易求得.

二、習題改編變式的進一步思考

1.深刻理解習題“深層結構”是改編的前提條件.

與數學概念教學一樣，首先教師本人要對數學概念有深刻的理解，比如，教學數軸時，在一個數學老師眼中，數軸不只是“三要素”這么簡單，數學承載的是數、形結合，是后續兩點間距離公式的平臺，是從“一維數軸”發展到“二維平面直角坐標系”的生長，是數與點一一對應、連續性的理解平臺，等等.所以在改編習題時，需要對習題的深層結構有深刻的理解，如果教師本人只是初步對問題的思路獲得了貫通，而沒有明辨問題的深層結構，是不容易想到如何改編的；如果沒有想清楚問題的真正難點，就不知道在哪些地方設計鋪墊式問題；如果沒看清問題結構，就難以將問題沿著這個結構再向縱深處拓展、變式、生長.

2.習題改編要明辨重點，突破難點.

在深刻理解習題的基礎上，要認真思考習題的重點、難點所在，接著在這些重、難點之處進行細化，通過一些鋪平墊穩式的系列設問，使得難點突破變得自然、合理.比如上文題例2中，這道考題常常會以一道填空難題的方式出現，直接求第（3）或（4）問，這時的難點就在于學生能否發現和利用第（2）問，將問題有效轉化.比如，題例4中，原題“tan∠APC=”是在總題干中，為了引起學生重視這個強化條件的價值，我們先設計了第（2）問，讓學生感受到隨著銳角三角函數值的變化，三角形的形狀會發生變化，圖形位置會發生變化，保持對這些銳角三角函數值的敏感，發現特殊直角三角形將起到突破性作用.

3.習題改編要照顧全體并鼓勵少數高層次學生向上挑戰.

從文中提供的4個題例來看，我們都安排了5個小問，其中第（5）問極具挑戰性，根據我們的教學實踐，在限時15分鐘左右答題時，只有前20%的學生才有機會挑戰滿分（我們一般按每個小問20分批閱），這樣改編、設問、評價的目的正是照顧全體并鼓勵少數高層次學生向上挑戰的命題意圖.其他學生在限時內沒有答對，還可以后續訂正時再深入思考，直至弄懂.

三、寫在后面

有人說，命題能力是教師專業基本功的基礎.筆者贊同這樣的說法，而且一個數學教師可以通過命題改編變式的訓練，提高自己對理解數學、理解教學、理解學生的認識.本文正是在相關文獻的啟發下，結合自己的教學實踐、命題改編案例闡述一些個性化的認識，敬請同行批評指正.

1.%朱金祥，劉東升.數學教學中例題變式的策略——基于教學追問的視角［J］.教育研究與評論（中學教育教學版），2016（9）.

2.%鮑建生，顧冷沅等.變式教學研究［J］.數學教學，2003（1、2、3）.

3.%付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數學（下），2016（7）.

4.%宋秀云.讓“簡單內容”教得深刻［J］.數學通報，2016，55（4）.