創設數學實驗彰顯幾何直觀*

☉安徽無為縣劉渡中心學校 丁浩勇

創設數學實驗彰顯幾何直觀*

☉安徽無為縣劉渡中心學校 丁浩勇

隨著基礎教育課程改革的不斷深入，數學課堂教學中發展學生的幾何直觀能力越來越受到人們的重視.所謂幾何直觀，就是利用幾何圖形的直觀性來描述和分析問題.《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011版）》）的課程內容中已經明確了幾何直觀是數學課程中的十大核心概念之一.為什么要注重發展學生的幾何直觀呢？《標準（2011版）》告訴我們，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用.

數學實驗是呈現幾何直觀的有力工具.在數學實驗中，不但可以操作和變換直觀圖形，而且能將抽象的數學問題直觀形象化，提示問題的本質，有利于學生更好地解決問題.

隨著科學技術的迅猛發展，現代信息技術為數學實驗的順利開展提供了必備的物質條件和技術保障.充分利用現代信息技術，在數學實驗中發展學生的幾何直觀，是提高數學課堂質量的一種行之有效的途徑.

一、借助數學實驗呈現幾何直觀揭示問題的本質屬性

在解決某些代數問題時，學生不容易發現其中隱含的數量關系，導致問題很難解決.在這種情況下，可以利用數學實驗呈現問題的幾何意義，通過幾何直觀提示問題的本質屬性，從而達到問題的順利解決.

案例1：借助幾何圖形研究函數問題.

實驗操作：（1）如圖1，打開幾何畫板軟件，繪制一條長為10的線段AB，過A點在線段AB的上方作長為2的垂線段CA，過B點在線段AB的下方作長為4的垂線段DB.在線段AB上任取一點P，連接CP、DP.度量AP及CP+DP的值.

圖1

（2）在線段AB上移動點P，觀察CP+DP的大小變化.當CP+DP取最小值時，固定其位置，觀察AP的值.

（3）若AP=x，則CP、DP如何用x表示出來？

實驗評析：案例1設計數學實驗，巧妙地把求函數最小值問題轉化成求兩條線段的長之和的最小值問題，通過實驗操作演示，線段之和的最小值直觀、形象地呈現在學生面前，這樣學生解決問題就輕而易舉了.正如數學家拉格朗日所說：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄.但是，當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從而以快速的步伐走向完善.”因此，數學課堂教學中，要善于開展數學實驗，把理性思維直觀呈現出來，讓學生感悟幾何直觀，幫助學生建立空間觀念，讓學生學習看得見摸得著的數學，達到數形完美結合，使數學課堂回歸本真.

二、借助數學實驗呈現幾何直觀突出問題的幾何背景

數學課堂教學中，有些抽象的數學概念或數學公式，對邏輯思維能力相對薄弱的初中學生來說理解起來比較困難，但是我們可以充分利用信息技術開展數學實驗來演示問題的幾何背景，突出問題的幾何意義，讓學生借助幾何直觀優化對數學概念或數學公式的理解.

案例2：借助幾何圖形研究平方差公式的幾何背景.

實驗設計：平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2是多項式乘法運算的特殊情形，運用平方差公式能簡化對兩個整式的和與兩個整式的差相乘的運算問題.為了便于學生更好理解公式，可以借助多媒體設計幾何圖形利用數學實驗對公式進行直觀解釋.

實驗操作：（1）圖2是一個邊長為a的正方形ABCD，現沿它的一個頂點割去一個邊長為b的小正方形，得到一個六邊形BCDEFG，如圖3.六邊形BCDEFG的面積是多少？

（2）沿著GF所在的直線將六邊形BCDEFG分割成兩個長方形，再把兩個長方形按照圖4所示的方式拼在一起得到長方形BDEG.長方形BDEG的面積又可以怎樣表示？

（3）上述兩種方法表示的面積有什么關系？

（4）你能從中得到什么關系式？

實驗評析：通過圖形拼割的操作實驗，利用圖形面積的唯一性逐步呈現平方差公式的幾何背景.問題（1）引導學生通過割補法求出六邊形的面積是a2-b2；問題（2）通過實驗演示圖形的分割與重組，引導學生得出重新拼成的長方形面積是（a+b）（a-b）；問題（3）啟發學生思考在圖形的分割和重新組合過程中其面積是否會發生變化；問題（4）引導學生根據面積的不變性得出平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

數學家華羅庚說過：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛.數缺形時少直覺，形少數時難入微.形數結合百般好，隔裂分家萬事非.切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”本例通過生動、形象的圖形拼割實驗讓學生體會平方差公式的幾何意義，體現了代數與幾何之間的內在聯系和統一，不僅可以幫助學生有效地記住平方差公式，還可以促進學生對平方差公式的直觀理解.

三、借助數學實驗呈現幾何直觀轉換數學語言的表現形式

數學語言是數學思維活動的載體，它是由數學符號、數學術語、數學圖形等經過人腦加工改進的科學語言.數學語言主要有三種表現形式，即文字語言、符號語言和圖形語言.

有的數學問題是由文字語言描述的，表述雖然簡潔，但其高度的抽象性也給學生理解帶來一定的困難，不利于問題的解決.如果我們把文字語言轉化為用直觀的圖形語言來呈現，這樣會便于學生觀察與聯想，有益于學生對問題的解決.

案例3：借助幾何直觀研究解方程（組）的實際應用問題.

我國古代《算法統宗》里有這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.試問房客各幾何？

實驗設計：本題是由七言律詩的形式呈現的，文字雖然精練，但不利于學生尋找其中的等量關系.為了便于學生理解題意，可以將文字語言轉化成圖形語言，讓學生在直觀中明晰.

實驗操作：（1）當一房住七客時，如圖5，畫一個長方形ABCD，其中長度AB表示實有房間數，高度AD表示每個房間里住的房客數.增加幾個房間眾客可以全部入住？如圖6，延長AB至E，使BE=1，作長方形AEFD.長方形AEFD的面積與眾客人數有什么關系？

（2）當一房住九客時，如圖7，在圖6的基礎上畫長方形AGHM，其中長度AG表示實有房間數，高度AM表示每個房間里住的房客數.則DM等于多少？AB比AG大多少？

（3）由眾客人數的不變性可知長方形GEFN的面積與長方形DNHM的面積有什么關系？

（4）由（3）可知AG的值是多少？則實有房間數（AB的值）是多少？眾客數是多少？

實驗評析：案例3用長方形的長度表示房間數，用長方形的寬度表示每個房間的住客數，從而長方形的面積賦予的含義就是眾客的人數.這樣根據面積的不變性得出房間數和房客數就非常容易.正如數學家斯蒂恩所說：“如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么，思維就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法.”因此，我們在解決數學問題時，要善于進行數學語言的轉化，靈活地把用文字語言或符號語言描述的抽象的數學概念和數量關系轉換為形象化、簡單化的圖形語言，為解決數學問題開辟一條嶄新的途徑.

四、借助數學實驗呈現幾何直觀賦予數值幾何意義

心理學家皮亞杰根據兒童的認知理論將兒童的認知分為四個階段，即感知運動期、前運算思維期、具體運算思維期和形式運算思維期.初中學生的認知開始從第三階段過渡到第四階段，其思維形式剛剛擺脫思維內容，思維的深度和廣度非常匱乏.針對學生的這一特征，對一些較難理解的數量關系，如果能通過實驗驗證的方法，借助幾何圖形使這些數量關系直觀形象化，那么就很容易找到解決問題的方法.

案例4：借助幾何直觀比較實數的大小問題.

實驗操作：（1）打開幾何畫板軟件，如圖8，繪制一個每個小正方形的邊長都為1的8×6的網絡圖.

（2）在網絡圖內分別繪制線段AB、BC、CD、AD.線段AB、BC、CD、AD的長度分別是多少？

圖8

（3）AB+BC+CD與AD有什么大小關系？

實驗評析：本例通過構造特定長的線段來表示對應的實數，利用幾何直觀非常容易解決問題.數學家克萊因指出，“數學不是依靠于邏輯，而是依靠正確的直觀，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握.”因此，數學課堂教學中，要善于培養學生構造圖形來解決問題的意識，逐步形成一種遇到抽象性的數學問題之后，會主動運用幾何直觀的思維方式展開數學思考.

總之，幾何直觀不僅是一種數學意識，也是一種思考問題的能力和技巧，更是一種數學的思維方式.教學中，要充分利用信息技術開展數學實驗活動，適時呈現幾何直觀，使抽象思維同形象思維結合起來，突出問題的主要線索，充分展現問題的本質，從而達到順利解決問題的目的.

1.中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：人民教育出版社，2011.

2.丁浩勇.利用信息技術在數學實驗中開展概念教學［J］.中學數學（下），2016（4）.

3.丁浩勇.利用信息技術在數學實驗中深化學生的數學思想［J］.數學通訊（教師刊），2016（6）.

*本文系基金項目：安徽省教育信息技術研究“十二五”規劃2015年立項課題“現代教育技術環境下的數學實驗教學研究”（AH2015056）的研究成果.