看課堂教學數學核心素養的落實
——觀浙江省初中優質課評比有感

☉浙江臺州市白云中學 張安軍

看課堂教學數學核心素養的落實
——觀浙江省初中優質課評比有感

☉浙江臺州市白云中學 張安軍

2016年10月下旬，浙江省初中數學優質課教學評比活動在仙居二中舉行.來自全省的11個地級市通過層層選拔的12位選手參與本次比賽，教學內容涉及數與代數、圖形與幾何、統計與概率三個領域，課題分別為“算術平方根”“勾股定理的探索”“平均數”，使用的教材是人教版義務教育數學教科書.本次觀摩活動的主題是讓數學核心素養有效地扎根于課堂教學中.作為數學教育的實踐者，特別是一線老師，更關心的是何謂“數學的核心素養”，如何發展學生的數學核心素養，課堂教學又如何實施.王尚志、史寧中等專家依據教育部的研制計劃，結合數學學科的特點，對數學核心素養給出了界定：數學核心素養是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力，是數學課程目標的集中體現，是在數學學習過程中逐步形成的；數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析共六個方面［1］.具體在初中階段，馬云鵬先生認為初中數學核心素養主要包括《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出的10個核心概念，即數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識［2］.本文結合這次評比，談參賽的選手在課堂教學中如何培養和落實數學的核心素養.

一、滲透數學基本思想，促進核心素養的形成

日本數學教育家米山國藏有一段敘述，流傳很廣：學生在學校學習的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后很快就忘掉了；然而，不管他們從事什么工作，那種深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終身受益.這里所說的學校教育忘掉后所留下的指的就是數學的思想和方法.數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括.史寧中教授認為“數學核心素養”就是數學基本思想的具體表現，具體地，即會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界.那么數學的眼光是什么呢？就是抽象、一般性地看問題.數學的思維是什么呢？就是邏輯推理.數學的語言是什么呢？本質就是模型［3］.這次活動中各位執教教師精心為學生安排有意義的數學活動環節，通過獨立思考、合作交流逐步感悟數學思想方法.

［案例1］

問題1：學校要舉行美術作品比賽，小明想在一塊邊長為5dm的正方形畫布上畫上自己得意的作品“仙居秋意圖”參加比賽，請問：這塊畫布的面積為多少？

問題2：若已知這塊正方形畫布的面積為25dm2，那么畫布的邊長為多少？

類似的正方形的面積如下，請填表：

正方形的面積/dm21916364 25正方形的邊長/dm

師：（）2=1；（）2=9；（）2=16；（）2=36；（觀察這5個式子，有什么共同點？

生1：都是已知正方形的面積，求正方形的邊長.

師：這位同學從形的角度分析這5個式子的共同特點，還有嗎？

生2：都是已知一個正數的平方，求這個正數.

師：剛才分析了問題2的共性，那么問題1與問題2有什么區別嗎？

生（部分）：問題1是已知邊長求面積；問題2是已知面積求邊長.

生3：問題1是平方的運算，問題2是問題1的相反運算.

師：對，從運算角度看，問題2是問題1的相反運算，是一種新的運算，也是我們這一章要研究的一種運算.

師：像上述問題2中這樣的式子還可以寫出無數個，你能對上述式子一般化嗎？

師：根據以往的學習經驗，所求的用什么表示？已知又用什么表示？

生4：所設求的邊長為x，面積為a，則可以表示成：x2= a.

基于用數學的眼光看待現實生活中兩類問題（一類是已知正方形的邊長，求正方的面積；另一類是已知正方的面積，求邊長），啟發學生比較這兩類問題的區別，從形和數的視角豐富學生的認識，發展學生的數感和符號意識；同時讓學生用數學語言概括這樣一類問題：已知一個正數的平方，求這個正數，它和平方運算互逆，是一種新的運算；也可以概括為方程，即x2=a.用不同的模型描述新背景中的問題，發展學生的模型思想，加強數學和外部的聯系.這位教師的概念教學基于學生已有的認知，從中提出問題，從感性到理性，從具體到抽象，從特殊到一般，而不是“一個定義，三項注意”，挖掘概念中蘊含的數學思想，發展學生的抽象和概括能力，以及從特殊到一般等數學思想.如果教師在教概念時，教會孩子學會抽象；教數學證明時，讓孩子學會推理；教應用題時，教孩子學會模型，一以貫之，孩子們慢慢就感悟出來，通過自己的思考變成自己的東西，變成一種習慣，一個人的素養就養成了，習慣也就養成了，數學核心素養的培養就是“水到渠成”的事了.

二、整體把握數學課程，促進數學核心素養的形成

正如章建躍先生所言：“當前數學教學存在的主要問題仍然是‘碎片化的教學’，做題目成為一切，充其量只是培養會做題目的機器，從數學育人的出發點和歸宿來看，數學教學應注重思維教學，培養學生的理性思維，發展學生的理性精神，這是根本，實現這一根本的途徑，以數學內容整體性為載體，系統思維為目標，單元教學為途徑.”［4］基于數學核心素養的數學教學，數學課程是一個有機整體，要整體理解數學課程的性質與理念，整體掌握數學課程目標，特別需要整體感悟數學核心素養，整體認識數學課程內容結構—主線—主題—關鍵概念、定理、模型、思想方法、應用，在設計教學時要有宏觀的數學視野，整體的框架設計與實施教學，不要迷戀解題上的一招一式，要注重數學中的通性通法.發揮一般觀念的引領作用，當學生獨立面對一個數學對象時，學會如何研究一個數學對象，研究內容、思路和方法是什么.在學法上一以貫之有系統、整體地進行指導，讓學生感悟一個數學對象的“基本套路”是什么.在這次教學中，賽課的選手不僅在知識結構和課程結構上進行整體把握，而且在學法上，學生在研究數學對象的過程與方法得到基本訓練.

［案例2］

師：前面我們學習了三角形等相關知識，那么三角形有哪些性質呢？

生1：三角形三個內角和為180°.

師：很好，這位同學從三角形角的元素回顧了三角形的性質.還有不同的補充嗎？

生2：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

師：這兩位同學從構成三角形的主要元素邊和角回顧了天下所有三角形所具有的性質.

師：若把三角形邊的數量進行特殊化，那么就得到了等腰三角形.等腰三角形又有哪些性質？

生3：等腰三角形兩底角相等.

生4：等腰三形“三線合一”.

師：這里的“三線”指的是哪些線？

生4：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合.

師：這位同學掌握知識全面而準確.

師：若把三角形邊的位置進行特殊化，一邊垂直于另一邊，那么就得到了直角三角形.直角三角形會有哪些性質？

這位教師把直角三角形置于三角形的背景中.等腰三角形是邊的大小數量關系特殊化，直角三角形是邊的位置關系特殊化.梳理三角形和等腰三角形、直角三角形之間的關系，明確共性和特殊性，提出直角三角形要研究的對象.教材的知識結構是三角形→等腰三角形→直角三角形，體現了從整體到局部，從一般到特殊，這位教師從課程的整體結構上、知識的內在邏輯上提出問題，引導學生面對一個幾何對象，從構成的主要元素和相關元素進行探索，同時這位教師在后繼的教學中加強了如何思考，如何發現勾股定理的引導，使學生知道研究思路是什么，怎樣研究，這樣學生在探索勾股定理的過程與方法中得到了基本訓練，如果持之以恒，學生的思維能力自然就能提高.

三、加強數學文化的熏陶，促進核心素養的形成

數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養.“數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中.為此，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用、以及數學發展史的有關材料，幫助學生了解在人類文明發展中數學的作用，激發學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美.”［5］數學文化從宏觀視角探討數學學科內在的本質與發展變化規律，在一定程度上，強化數學文化的熏陶對于學生數學核心素養的形成具有重要價值.數學文化不僅包括數學顯性知識及其背后的數學思想方法，也包含學生對數學的情感、態度等隱性的東西.當數學由數學的精神、知識、思想、方法共同構成時，從數學知識的獲取到數學方法的提煉，從數學思想的感悟到數學精神的弘揚，數學文化的這些價值將豐富數學教育的內涵，促進學生數學核心素養的形成［6］.這次賽課的選手善于挖掘教材中隱性的數學文化，適時巧妙地融入課堂，滋潤學生的心田.

［案例3］

（在勾股定理小結時，以時間的數軸回顧勾股定理的歷史，教師用PPT快速播放）

師：回顧過去，早在大約公元前3000年左右，古巴比倫人就開始使用一些最基本的勾股數組，例如3、4、5.大約公元前2500年，古埃及人就開始使用勾股定理的原理測量金字塔和土地.大約公元前2000年，大禹治水時曾用勾股定理的原理計算過水的落差，他也成為第一個史書記載的與勾股定理有關的人.大約在公元前1000年，《周髀算經》記載在西周開國時商高與周公討論“勾三、股四、弦五”.在公元前5世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯就公開發表了這一規律的證明……

師：放眼現在，在探索勾股定理的過程中，你有什么感悟和欣賞.

生1：利用面積恒等法證明勾股定理.

生2：勾股定理體現數和形完美的結合.

生3：我欣賞到了趙爽弦圖的端莊、典雅之美.

生4：我欣賞到了勾股樹的美侖美奐，形狀雖變但面積不變.

師：放眼未來，從直角三角形的各邊向外作正方形能否推廣到從各邊向外作等邊三角形（正n邊形）、半圓等嗎？課后同學們繼續探索.

師：最后，老師以一首小詞《如夢令》結束我們的課堂：

勾三股四弦五，仙居來晤.

畢達哥拉斯，趙爽劉徽Garfield.

探索，探索，古今趨之若鶩.

一十二班學之，齊把數學來悟.

Rt三角形中，角邊神奇應呼.

數形，數形，完美結合就行.

在學生探索、驗證和獨立證明勾股定理后，教師徐徐展開勾股定理的歷史畫卷，四大文明古國都獨自發現勾股定理，勾股定理不僅是地球文明中重要的定理，而且是判別星際是否存在文明的重要標志之一.華羅庚多年前的設想：向太空發射一種圖形，因為這種圖形在幾千年前就已經被人類所認識，如果外星人是“文明人”，也必定認識這種圖形.古今中外，上至帝王，下至平民，對勾股定理都懷著濃厚的興趣.整節課重溫了數學家的探索與發明，模擬數學家的心路歷程，讓學生沉迷于思維的審美之中，體驗數學發現與再創造的樂趣，享受了發現數學之美、欣賞數學之美的樂趣，體現數學文化的育人價值.

四、精心創設問題情境或系列數學活動，促進核心素養的形成

核心素養是在復雜的情境中解決問題的能力和品質，是個體在情境的持續互動中，通過不斷解決問題而形成的，同樣核心素養的形成是以數學知識為載體，以數學活動為路徑而逐步實現的，情境化是數學知識轉化為數學素養的重要途徑.情境有數學內部本身的情境，也有數學外部的情境，如生活情境、各學科的情境等，在各個情境或活動中，讓學生自己發現問題，提出問題，在各種活動中經歷重復操作，積累數學活動經驗，在反思、提升中形成數學核心素養.

［案例4］

師：仙居素有神仙之居之稱，有一流的山、一流的水和一流的空氣.為了把仙居的風景推向國外，仙居縣團委向各學校招聘一批志愿者.仙居二中八年級對兩名年級優勝者進行了聽、說、讀、寫的英語水平測試，他們的各項成績（百分制）如下表所示：

參賽者聽說讀寫甲85788573乙75808283

問題1：你覺得應該選誰？為什么？

生1：應該選甲，因為甲的總成績為321，乙的總成績為320.

師：還有不同的想法嗎？

生2：應該選甲，因為甲的平均成績為80.25，乙的平均成績為80.

師：你是如何計算這兩位同學的平均成績的？

師：如果給出的n個數據為x1，x2，x3，…，xn，這組數據的平均數用表示，那么如何求

問題2：若選一位同學參加演講比賽，應側重于哪些方面的成績？

生3：應側重于說這方面的能力.

師：用算術平均數解決合理嗎？為什么？

生（眾）：不合理，體現不出說的重要性.

師：如何在計算平均成績時體現“說”的“重要性”？

生4：在計算平均成績時，加強說的比重.

師：在這一問題中，請你給出各項合適的比重.

生4：比如，說的比重為40%，其他各項均為20%.

師：同學們，這位同學給出了各項的比重，如何計算這兩位參賽者的平均成績？

生（眾）：甲的平均成績：85×20%+78×40%+85×20%+ 73×20%=79.8；

乙的平均成績：75×20%+80×40%+82×20%+83×20% =80.

師：通過給出不同的比重，乙的平均成績反而比甲的平均成績高，可見對一個數據賦予不同的比重，會改變它們相對的平均數，把賦予這個數據的不同重要程度稱為“權”.

師：若選一位同學參加辯論賽，應側重于哪些方面的成績？請各小組針對這個問題進行討論.

師：如何體現這個權，即“重要程度”呢？

（各小組給出了不同的比重，然后算出不同的平均數，下略）

師：上述各個數據的權不同，這種計算平均數的方法能否推廣到一般？

生（眾）：能.

師：若給出的n個數據x1、x2、x3、…、xn的權分別為w1、w2、…、wn，這n個數據的平均數如何計算？它和算術平均數有何區別？（然后從特殊到一般，給出加權平均數的公式，并比較它們之間的關系，最后又回到課的開始提出的問題，下略）

上述這位教師在課前幾分鐘播放仙居山水靈秀的美麗風光，配上悅耳的音樂、動人心弦的解讀，學生的自豪感油然而生，也自然拉近了師生心理的距離；在課堂上又利用身邊的資源提出問題，由于問題的背景親切而熟悉，問題的設置基于學生已有的認知，層層深入，為對權的感悟提供自然合理的背景，學生從初步感悟權的作用，理解加權平均數，到獨立適當賦權，用加權平均數分析數據集中趨勢，逐步深入，深度思考.由于課堂上為學生創設合適的情境，感興趣的問題或數學活動，激發學生的思考，學生在各個活動中深入體驗，合作討論，逐步形成數學觀念、思維方式和探究能力，促進數學知識和技能的結構化，學生的理性思維在解決各種問題情境中逐步提高.

其實這次優質課評比活動中還有很多很好的課堂案例，由于篇幅限制，僅例舉幾則，當然在評比的過程中還有值得商榷的地方，如“平均數”一節課中是先有權，再分析數據，還是為了得到數據分析的特定結果來確定權重？如“為了使甲、乙兩人的平均成績相等，怎樣確定權”；權是隨意確定的還是由于背景的需要確定的？又如在“勾股定理探索”一課中，目前的做法是從實際問題出發，利用歷史故事，還有沒有其他方法？是否可以從學生的認知基礎分析：三角形邊、角的定性關系，全等三角形，“實數”中關于正方形邊長與對角線的關系，等等？

上述僅從幾個途徑培養數學的核心素養，其實培養數學核心素養的途徑還有很多，但不管怎樣，在課堂教學中要滲透“數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析”等，當然一節課不會覆蓋所有的核心素養，數學核心素養的培養也不是一蹴而就的，而是潛移默化、逐漸滲透的.這就要求教師在數學知識和技能教學的同時，有意識地體現和培養學生的核心素養.

1.華志遠.數學核心素養的內涵與構成［J］.教育研究與評論·中學教育教學，2016（5）.

2.馬云鵬.關于數學核心素養的幾個問題［J］.課程·教材·教法，2015（9）.

3.廖輝輝，史寧中.數學基本思想、核心素養的內涵及教學［J］.福建教育，2016（7-8）.

4.章建躍.本原性問題與數學素養［J］.中小學數學（高中版），2015（5）.

5．中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

6．朱立明.基于深化課程改革的數學核心素養體系構建［J］，2016（5）.