一道華杯賽決賽幾何試題的本質(zhì)探究

☉廣東惠州市惠陽(yáng)區(qū)教育局教研室 鐘文輝

一道華杯賽決賽幾何試題的本質(zhì)探究

☉廣東惠州市惠陽(yáng)區(qū)教育局教研室 鐘文輝

2014年第十九屆華杯賽初二組決賽題，是一道有趣的幾何“怪”題.它通過(guò)旋轉(zhuǎn)圖形、變換點(diǎn)和線的呈現(xiàn)順序，把解題的“捷徑”隱藏起來(lái)，甚至獨(dú)辟“曲徑”，轉(zhuǎn)移思維焦點(diǎn)，讓解題者順著“曲徑”一步步走下去，使一道本應(yīng)該很簡(jiǎn)單的題目復(fù)雜化.接下來(lái)，筆者將順著這條“曲徑”分析問(wèn)題，而后再跳出“曲徑”，沿著“捷徑”走向這道題的本質(zhì).

如圖1，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四邊形ABCD的面積.

圖2

圖1

一、題意剖析

1.在變化中尋找不變.

題目言簡(jiǎn)意賅，“45°”容易讓人產(chǎn)生聯(lián)想，形成思路，但細(xì)一想?yún)s無(wú)從下手，即便有些頭緒和猜想，也很難判斷是否正確.原因主要有兩個(gè)：

其一，這不是大家所熟悉的圖形，“最底下”的邊BC甚至是傾斜放置的.

其二，這不是一個(gè)固定的圖形，而是一個(gè)動(dòng)圖.原因如下：

（1）如圖2，固定線段BD=2，過(guò)B點(diǎn)分別在BD上方、下方做直線l1、l2，使得l1、l2的夾角為45°.

（2）以BD的中點(diǎn)O1為圓心、BD為直徑作圓，交BD的垂直平分線于點(diǎn)O2；以O(shè)2為圓心、BO2為半徑作圓，交直線l1于點(diǎn)A，易證：∠BAD=45°.

（3）同理，可在l2上找到一點(diǎn)C，使得∠BCD=45°.

由作圖過(guò)程可知，∠ABD和∠CBD并不是一個(gè)確定的值，也就是說(shuō)，題目中的圖形是一個(gè)動(dòng)圖.依照題目的意思，這雖然是一個(gè)可以變化的圖形，但它的面積卻是不變的.在變化中尋找不變，這正是這道題最大的難點(diǎn)之一.

2.特殊化尋求猜想.

一個(gè)合理的猜想，是解題成功的一半.將變化的圖形特殊化，是尋找猜想的捷徑，更是深入理解圖形的直觀方法.

如圖3，當(dāng)∠ABD=45°、∠CBD=0°時(shí)，C、D兩點(diǎn)重合，

圖3

圖4

如圖4，當(dāng)∠ABD=∠CBD=22.5°時(shí)，連接AC，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，則AC垂直于BD.

從上面兩個(gè)特殊化的例子中，可以生成兩個(gè)猜想：1.SABCD=2；2.BD=AC，且BD⊥AC.事實(shí)上，已經(jīng)可以說(shuō)是本題的答案了，否則，所求面積將不是一個(gè)定值.

二、常規(guī)解法

對(duì)于解一道題來(lái)說(shuō)，從條件出發(fā)和從結(jié)論出發(fā)，是兩個(gè)最基本的解題思路.

1.從條件出發(fā).

從“∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°”這個(gè)條件出發(fā)，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，形成等腰直角三角形，便是一個(gè)很自然的做法.如圖5，△ABE和△CDE是兩個(gè)等腰直角三角形，AE=BE，DE=EC，結(jié)合前面的猜想：AC=BD，便可以進(jìn)一步猜想：△BDE≌△ACE.易證：△BDE≌△ACE，進(jìn)而易得：BD=AC，且BD⊥AC.從而

注1：本解法是網(wǎng)上廣為流傳的解法，也是較容易想到的解法.

圖5

圖6

2.從結(jié)論出發(fā).

從猜想的結(jié)論SABCD=2出發(fā)，結(jié)合“45°”、圖3的特例及猜想“BD=AC，且BD⊥AC”這三個(gè)條件，自然便產(chǎn)生這樣的解題思路：構(gòu)造一個(gè)“2×2”的等腰直角三角形或正方形，證明等于等腰直角三角形的面積或者正方形面積的一半.

如圖6，以BD為邊作正方形BDD1B1，連接BD1、AB1、AD1，過(guò)A作AK⊥DD1于K，連接BK、B1K.

由∠BD1D+45°=∠BAD，得B、D、A、D1四點(diǎn)共圓.又B、D、D1、B1四點(diǎn)共圓，所以B、D、A、D1、B1五點(diǎn)共圓.

由∠B1AD1=∠B1BD1=45°=∠BCD，B1D1=BD，∠AB1D1=∠D1DA=180°-90°-45°-∠ABD=45°-∠ABD=∠CBD，得△AB1D1≌△CBD.

則SABCD=S△ABD+S△CDB=S△ABD+S△AB1D1=S△KBD+S△KB1D1=

三、巧妙解法

接下來(lái)，筆者提供一個(gè)巧妙的解法.如圖7，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)E，并旋轉(zhuǎn)圖形，使BC“水平放置”，顯然，△ABE和△CDE均為等腰直角三角形.

圖7

在發(fā)現(xiàn)這種解法后，筆者驚嘆，這道題真的是出乎意料的簡(jiǎn)單.而在旋轉(zhuǎn)之后，這個(gè)奇怪的圖形也變得熟悉起來(lái).當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)這個(gè)解法并不簡(jiǎn)單.

第一，在原圖中，BC邊是傾斜的，這將阻礙解題者產(chǎn)生聯(lián)想.

第二，想到“求面積”，很多人都會(huì)下意識(shí)地與“底×高”等價(jià)起來(lái)，而不是關(guān)聯(lián)起來(lái)，陷入了思維定式，于是便不會(huì)朝這個(gè)方向嘗試.

第三，在原圖中，BD邊是水平的，而且是唯一確定的一條邊，于是，解題者的思維焦點(diǎn)便會(huì)一直集中在BD上，甚至轉(zhuǎn)移到AC上，而忽略了DE的關(guān)鍵性，容易把四邊形ABCD拆分成△ABD和△CBD，但卻想不到拆分成△ABE和△CDE的情形.

注2：解法1（或解法2）與解法3結(jié)合起來(lái)，實(shí)際上就是勾股定理的一種證明.此題完全可以放在教材的課后習(xí)題中，將解法1和解法3呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓他們感受全等三角形和勾股定理的一次合作.

四、改編的啟示

筆者不是命題者，并不了解命題者的命題思路.但根據(jù)上述分析，逆推回去，至少有兩種方式，把原圖變換成大家熟悉的圖形.

圖8

如圖8，把DE顯示出來(lái)，然后把兩個(gè)等腰直角三角形補(bǔ)充成兩個(gè)正方形，最后隱藏AB、BD、CD，便形成了圖8（2）；把DE、AC顯示出來(lái)，AB、CD隱藏起來(lái)，便形成了圖8（4）.

圖8（3）是非常經(jīng)典的一個(gè)圖形，在小學(xué)奧數(shù)中常結(jié)合面積進(jìn)行考查，而到了初中又可以證明勾股定理.圖8（4）是兩個(gè)全等的直角三角形，左邊的“躺著”，右邊的“站著”.

在圖8（2）～（4）中，A、B、C、D四點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系并沒(méi)有任何改變，但不仔細(xì)觀察，卻很難發(fā)現(xiàn)這三個(gè)圖形最核心、最基本的構(gòu)圖是一樣的.這充分說(shuō)明，在不改變各點(diǎn)位置關(guān)系的情況下，圖形的旋轉(zhuǎn)、線段的呈現(xiàn)和隱藏、多余的點(diǎn)的干擾，能夠?qū)缀螛?gòu)圖形成有效的掩護(hù)，讓解題者難以看清圖形的基本構(gòu)造.

五、嘗試改編

基于前面的探究，筆者思前想后，得到了一系列有趣的改編題，僅供各位讀者參考.

1.如圖9，△ABE和△CDE均為等腰直角三角形，BD=2，求四邊形ABCD的面積.

（說(shuō)明：此題和原題是一模一樣的，只是換了一種表述方法，并且把圖形“擺正”了）

2.已知兩張等腰直角三角形紙片（或正方形紙片）和一把足夠長(zhǎng)的有刻度的直尺，請(qǐng)問(wèn)：至少需要量幾次，才能知道兩張紙片的總面積？

圖9

圖10

3.如圖10，AC⊥BC，∠ABC=22.5°，∠BAD=45°，求證：BD=2AC.

（說(shuō)明：此圖是圖4的上半部分，是原題的一種特殊情況）

4.如圖11，∠A=45°，∠ACB為鈍角，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使得BC=CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，試比較AC、DE的大小.（實(shí)際上，AC+CE=DE）

圖11

（說(shuō)明：在圖9中，把△CDE去掉，然后以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△BDE沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得DE與AD重合，即為圖11）

注3：原題是一道垂心背景題，點(diǎn)D是△ABC的垂心.