明辨特殊與一般，感悟數學小用與大用
——由兩道高中自主招考題說起

☉江蘇如皋市長江鎮郭園初級中學 朱玫瑰

明辨特殊與一般，感悟數學小用與大用
——由兩道高中自主招考題說起

☉江蘇如皋市長江鎮郭園初級中學 朱玫瑰

我們知道，不少優質高中自主招生考試往往獨立于當地統一中考之外，其命題風格也不同于中考命題原則，往往在初、高中銜接，幾何拓展，高中知識改編成初中生能理解的數學語言后，考查學生靈活運用知識的能力.本文選取兩道高中自主招生考題，解析思路并跟進命題思考，供分享.

一、兩道高中自主招考試題及解析

考題1（2016年江蘇省海門中學自主招考題）如圖1，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數的圖像交于B、A兩點，則∠OAB大小的變化趨勢為_____（填不變或變大或變小等情形）（以下兩者選一小題作答）

圖1

圖2

思路解析：可以構造圖2中的兩條垂線段AC、BD.容易根據“一線三直角”得出△BOD∽△OAC，接下來從這兩個相似三角形的面積比突破，△BOD的面積是△AOC的面積是它們的面積比為1∶3，所以相似比為即OB，即在Rt△AOB中，tan∠OAB=

變式思考1：如圖3，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數的圖像交于B、A兩點，則∠OAB還是定值嗎？

圖3

圖4

思路解析：類似地，還可作出垂線段AC、BD，分析出兩個相似三角形△AOC、△BOD，它們的相似比為1，于是BO∶AO=1，即tan∠OAB=1，即∠OAB=45°.

變式思考2：如圖4，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數的圖像交于B、A兩點，則∠OAB還是定值嗎？

走向一般，小結性質：現在讓我們“走向一般”，仍然以圖4為例，在x軸的上方，直角∠BOA繞原點O按順時針方向旋轉.若∠BOA的兩邊分別與函數和（n＞ 0）的圖像交于B、A兩點，則∠OAB還是定值嗎？

考題2（2016年江蘇省海門中學自主招生考題）（1）類比探究：根據完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2，可知a

（3）學以致用：某公司為一家制冷設備廠設計生產一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用.如圖5，長方形ABCD（AB＞AD）為薄板的形狀，沿AC折疊后，AB交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節能.

圖5

（3）①設AB=x，則BC=2-x.

因x＞2-x，故1＜x＜2.

設DP=y，則PC=x-y.

因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y.

由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2?1＜x＜2.當且僅當S取得最大值.1

解后反思：這道考題由特殊到一般，再到應用，讓學生在一道試題的求解之后感受到數學追求從特殊到一般的數學精神，也體會到數學知識在生活中應用的廣泛性，以及解決問題的力量感（有力地解釋了道理，使人徹底信服）.

二、關于“特殊到一般”思想的進一步思考

1.理解數學，需要明辨“特殊”與“一般”之間的關系.

數學的本質是什么？眾說紛紜，不同的數學家有不同的表達，有說抽象，有說運算，有說數形結合，有說數學思想；就是數學思想，不同的數學家關于分類也有很多層次的探討.這里不想糾結太多數學本質、數學思想或數學精神，只想結合上述兩道“自招”考題，就特殊與一般稍作闡釋.進入初中，很多數學概念或性質教學，都力圖從特殊走向一般，比如，用字母表示數，圖形的抽象等.以上面的兩道典型考題來說，當函數解析式中的系數以一個特殊數值給定時，探究相關性質或展開配方、變形，這就是特值引路，而當特殊值不斷變式直至參數時，就是一般.學生需要感受考題中從特殊走向一般的這種成果擴大的變化.

2.中學數學已不止于“特殊”，應引導學生走向“一般”.

中學數學與小學數學一個顯著不同就是：中學數學引導學生從特殊走向一般.最突出的例子是，初中代數起始階段就引入了字母表示一個數，而這個數可能是正數、0或負數.很多數學適應性不好的學生容易走不出小學的思維慣習，看到一個數a，習慣認為它是正數，從而在解題中漏解或錯解.再比如，對于上面的考題1，在學生解題時，常常是一題一解、一題一得，但是作為教師，在預設該題講評時，就應該深入下去、對于走向一般，認識到兩個反比例函數解析式中的系數k是可以變換的，∠OAB會隨著兩個系數k的不同取值而隨之確定.再比如，對于圍長方形這一經典問題背景，給定一個數值的長度圍長方形，則圍成正方形的面積最大，在學習二次函數之后，學生可以基于二次函數視角，進行有力解釋.

3.在“特殊與一般”之后引導學生體會數學小用與大用.

就“考題2”的解題來說，前面兩問經歷了從特殊到一般的過程，而最后一問回歸生活應用，讓看似“無用”的數學性質找到了生活中的解釋.事實上，恰恰相反，前面關于數學性質從特殊到一般的探究與演算，使得這種數學模型得到嚴格證明，才保證了在后面生活情境中應用的正確性.從這個意義說，前者是數學之“大用”，后面的生活應用只是數學的“小用”.類似的題例還有很多，比如，函數來源于生活，函數模型可用來刻畫很多情境問題，實現問題解決；但函數本身也有其數學上的價值，作為一門重要的數學分支，函數家族成員龐雜，“變量說”反映函數的本質.此外，我們如果能超越解題教學的讓學生學會解一道題或一類題的局限，而使學生認識到解這類問題能收獲或感悟出來數學的精神、本質、思想或方法，則學生就領略到了數學之“大用”.

三、寫在后面

數學自主招生考試領域廣泛，命題研究值得深入.是簡單的脫離課本、摘選競賽試題，還是立足課本，將一些教材內容拓展深化？我們還有很多的研究課題值得開展，本文拋磚引玉，期待更多的案例跟進和思考.

1.朱金祥，劉東升.數學教學中例題變式的策略——基于教學追問的視角［J］.教育研究與評論（中學教育教學版），2016（9）.

2.傅種孫.平面幾何教本［M］.北京：北京師范大學出版社，1982.

3.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.

4.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

5.羅增儒.數學的領悟［M］.鄭州：河南科學技術出版社，1997.

6.章建躍.“題型+技巧”的危害［J］.中小學數學（高中版），2010（11）.