一道“偽坐標題”的命題商榷與變式改編

☉江蘇江陰市第二中學 徐燕君

一道“偽坐標題”的命題商榷與變式改編

☉江蘇江陰市第二中學 徐燕君

近年來，我們在《中學數學》（初中版）閱讀了不少命題商榷類的文獻，增長了見識，知道了中考題也不一定都是好題.比如，一類“偽坐標系”的考題在不少文獻中多有批判，言之確鑿，看似函數問題，其實與函數圖像幾無關系，當函數解析式求出之后，圖像上一些點的位置確定之后，就演變成幾何問題唱大戲.這類“偽坐標系”問題在不少地區的考題中仍然頻繁上演.筆者近期就碰到一道中考模考卷的壓軸題，也屬這類“怪怪的考題”.以下先概述這道考題及求解思路，并跟進結構反思，最后給出命題商榷和命題改編，供研討.

一、考題講解與結構反思

圖1

（1）求直線AB的解析式；

（2）設點P在直線AB上，△COP的周長最小時，求點P的坐標；

（3）若拋物線的對稱軸與x軸交于點D，直線l經過點D且與AB平行，點E在線段AD上運動（不與A、D重合），點F在直線l上運動，且∠BEF=60°，比較線段BE與EF的大小，并證明你的結論.

（2）根據軸對稱最小值模式（光線反射原理）可構造圖2分析，取點C關于AB的對秒點C′，連接OC′，交AB于點P，則點P為所求.

圖2

接下來是如何求點P的坐標，比如，走“解析路徑”是可以的，根據相似三角形（△COA∽△CHC′）可確定點C′的坐標，接著可解出直線OC′的解析式x.聯立直線OC′和AB的解析式，即可得點P的坐標.

殊途同歸：也可走幾何相似法求出點P的坐標，比如，構造圖3，可獲得等邊三角形CEC′的結構認識，直線AB恰經過等邊三角形的頂點E.利用△OAP∽△C′EP，結合相似比可求出點P的橫、縱坐標.

圖3

（3）先構造圖4分析，線條繁多，思路較難獲得，我們可以確認幾個信息：△ABD是等邊三角形，∠BDF=60°.

現在把圖形的無關線條刪減成圖5這樣的結構：

在圖5中，等邊△ABD中，點E為AD邊上一點，∠BEF=60°，邊EF交△ABD的外角平分線于F.在AB邊上取一點G，構造等邊三角形AGE，從而只要證△BEG≌△EFD即可實現問題突破.

圖4

圖5

解后反思：第（2）、（3）問分別對應著兩個基本圖形，即：光線反射原理；等邊三角形為背景的一類全等問題.以下就是一類典型問題及其變式：

同類題鏈接：如圖6，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點B、C、D在一條直線上，點P為直線BC上一動點，且∠APQ=60°，PQ交直線CE于點Q，連接AQ.

我們知道，當點P在邊BC上、BC的延長線上時，都可證得△APQ是等邊三角形.

圖6

圖7

同類題拓展：如圖7，點A、B、E在同一直線上，作正方形ABCD、正方形BEMN，點P為AB邊上一點，連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BM于點Q，一定有線段PD、PQ是相等的；如果連接DQ，則可證△PDQ是等腰直角三角形.

二、命題商榷與變式改編

1.偽坐標系問題從表面上看是綜合考查，實則貌合神離.

網上一些所謂的以二次函數為載體的綜合題，其中大量屬于偽坐標系問題，就如上文中的考題一樣，當拋物線明確之后，各個交點隨之確定，進一步的設問探究與函數、函數圖像都無關.這種題目看似以二次函數或圖像為平臺展開設問，實質上函數題干信息已提前枯萎，后面生長出去的問題已無關函數.

2.繁雜的幾何構造不宜組合在綜合題中.

一般來說，根據教學經驗，學生在限時獨立完成的考場上答題時最怕的是在代數幾何綜合題中遇到需要復雜構造的幾何問題，有時單獨把這種幾何題分離出來，答題效果會好很多.就如上面提到的圖6、圖7的證明，但是將其融合在拋物線為背景的所謂的綜合題中，能在較短時間內順暢地獲得思路的學生少之又少.

3.深刻理解函數概念，在函數本質處設問考查.

近年來，章建躍教授提出的“三個理解”（理解數學，理解學生，理解教學）“搔到癢處”，得到一線教師的廣泛共鳴，一個顯著標志是，在中國知網上以“三個理解”為關鍵詞、主題詞檢索初中數學教學研究文章時，會出現大量的相關文章，特別是以案例跟進式研究文獻居多.對于函數綜合題來說，我們認為命題者應該基于深刻理解函數概念的基礎，在函數本質處設問，比如，函數中的參數問題、函數的增減性、函數的最值、函數中的數形結合分析法等.知易行難，下面我們給出一道改編題，供研討：

（1）當點D與點A關于拋物線的對稱軸對稱時，求S的值；

（2）當點D位于什么位置時，S取得最大值？求出D點的坐標與S的最大值；

（3）若點M是直線AB上一個動點，當△COM的周長最小時，求M點的坐標.

圖8

三、寫在后面

命題研究是教學研究中的一個基本問題，命題時首先要確立正確的命題“價值觀”，如果認為各級考卷中的題都是權威的、正確的，網上、教輔上流行的都是好的題目，那么自己的命題往往會走偏方向.通過精研數學，理解數學，深入理解教材上的概念、例題和習題設計的意圖，知道“好的題目”（章建躍語）追求簡潔、易懂、深刻、與上下左右充滿關聯，等等，則自己的命題成果很有可能會引領學生理解數學、感悟本質，善莫大焉.

1.章建躍.“題型+技巧”的危害［J］.中小學數學（高中版），2010（11）.

2.付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數學（下），2016（7）.

3.宋秀云.讓“簡單內容”教得深刻［J］.數學通報，2016，55（4）.

4.向中軍.試題命題應緊扣教材和課標［J］.中學數學教學參考（中），2016（5）.