背景分析透靈感自然來

☉重慶大渡口區教師進修學校 廖帝學

背景分析透靈感自然來

☉重慶大渡口區教師進修學校 廖帝學

一、原題呈現

下面這道題來自2016年4月重慶市巴南區中考適應性考試試題.

如圖1，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.若AD=9，DC=8，則EF的長為____________.

圖1

二、問題“背景”分析及解法展示

1.對題目的初步研判.

原題所給條件簡潔，數據簡單，圖形清新，其中的“半角模型”給人以似曾相識之感.高中數學有“兩角和的正切公式”，我們知道：若α、β均為銳角則α+β=45°.此題我們不妨可以看作這一背景知識在初中的應用.稍加思考，我們會發現當BE=4、DF= 3時即可滿足要求，此時CE=CF=5，EF的長為

但是，這是教師以“高觀點”分析問題“背景”從而快速地得出了題目的答案.從這里我們也可以看出，解題思路的形成、解題方法的獲得與解題者的知識儲備、解題經驗的積累關系很大.一般的初中生是斷然不會用這種方法解決此題的.

命題者怎樣命制此題的呢？命題者期望的解法是什么呢？下面讓我們一起來看一道中考試題.

（2015·福建三明市中考題）在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.

圖2

圖3

（1）將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG（如圖2），求證：△AEG≌△AEF；

（2）若直線EF與AB、AD的延長線分別交于點M、N（如圖3），求證：EF2=ME2+NF2；

（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖4），請你直接寫出線段EF、BE、DF之間的數量關系.

圖4

圖5

相信我們能夠看出來，將這道中考題的第（3）問提取出來就是我們前面呈現的“原題”.由于有第（1）（2）兩問的鋪墊，將圖4按圖3的方式補成圖5，易得EF2=2BE2+ 2DF2.當AD=9，DC=8時，設CE=CF=x，則BE=9-x，DF=8-x，則2x2=2（8-x）2+2（9-x）2，解得x1=5，x2=29（舍去），故EF的長為

事實上，我們還知道，EF2=ME2+NF2這個結論的得來，既可以通過旋轉，也可以通過翻折得到，如圖6、圖7所示.

圖6

圖7

的確，如果解題者能夠迅速發現原題的這些“背景”，解答此題應該較輕松.但是，畢竟原題并沒有為我們作太多鋪墊.面對此題，不是每一個人都會這樣思考，就算按這樣的思路思考也不一定能發現此題的本源.從“在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°”這些簡單“背景”出發，解題者會從哪些方向思考呢？下面來看原題的其他解法.

2.原題的其他解法展示.

原題中，結合大家都熟識的“半角模型”，若AB=AD，“旋轉”就有可能.但題目中AB和AD偏偏不相等.是否可以旋轉呢？

解法1：如圖8，將△AFD繞點A旋轉90°后，點F的對應點為點G.連接GE.易得△AGE≌△AFE.設CE=CF=x，在Rt△EGH中，由勾股定理，可得（，解得符合條件的x的值為5.

圖8

圖9

當然，條件中的“∠EAF=∠CEF=45°”給人很大的想象空間，圍繞著它我們還可以得到下面幾種解法.

解法2：如圖9，作∠BAD的平分線分別交EF、BC、DC的延長線于M、G、N.易得△AEM∽△AFD，△ABE∽△AMF.設CE=CF=x，則，整理得x2-34x+145=0，解得x1=5，x2=29（舍去），故

解法3：如圖10，作BE=BG，DH=DF，易證△EGA∽△AHF.所以，解得符合條件的x的值為5.

圖10

解法4：如圖11，過點E作EH⊥AF于H.易知∠1=∠2，所以△ABE∽△EHF.設CE=x，EH=y，由又因為在Rt△ABE中，由勾股定理，得，同樣可得符合條件的x的值為5.

圖11

圖12

解法5：如圖12，EF所在直線與AB、AD的延長線分別交于M、N.過A作AH⊥EF于H.易證△AHE∽△ADF，△ABE∽△AHF，則所以則AH.設CE=x，則AM=AN= 17-x.由

三、“背景”分析透，“靈感”自然來

一道看似不甚起眼的“小題”有多種不同的解法，類似的現象在數學學習過程中并不鮮見.“你為什么要這么解呢？”“你是怎么想到這種解法的呢？”面對每一種解法，我們總喜歡這樣去詢問解答者.而解答者的回答中，最愛說的就是：靈感.

什么是靈感？在數學教育家中對它的論述較多的當推波利亞.散見于他的著作中的許多片斷表明，他相信并重視靈感.他的《怎樣解題》一書的中心思想就是談解題過程中如何誘發靈感.他說，在解題活動中我們要設法“預測到解，或解的某些特征，或某一條通向它的路.如果這種預見突然閃現在我們的面前，我們就把它稱為有啟發性的想法或靈感.”

對于“靈感”，我們愛用“蹦出”“閃出”“闖進”“一閃念”等來描述它，的確，“靈感”有它的自發性和隨機性.但是，事實上，“靈感”的得來絕對不是無緣無故.

波利亞在“怎樣解題表”中曾這樣提出：

你知道一個與此相關的問題嗎？

試想出一個具有相同或相似未知數的熟悉的問題.

你見過相同的題目或形式稍有不同的問題嗎？

……

前述題目的每一種解法的得來或許都有靈感，但更多的仍是對題目條件、背景的深入分析之后的結果.從“45°”“矩形”等條件出發，從圖形的簡潔、美觀出發，有的人聯想到了平時的“半角模型”，有的人想方設法構造等腰直角三角形，有的人努力尋找相似三角形……這其實就是在“誘發靈感”.這個過程就是不斷變更問題的探索過程.事實上，只要將題目的“條件”“背景”不斷變更、不斷探索，一旦分析透徹、到位了，“靈感”自然也就來了.可見，“背景”是靈感的誘因，而要獲得靈感，唯有正向的“探索”才是真正的捷徑.

1.李靜靜.利用網格構造圖形求解三角函數值［J］.中小學數學（中），2016（5）.

2.胡書軍等.解題思路的生成才是解題教學的重中之重［J］.中學數學教學參考（上），2016（5）.

3.詹高晟，蘇德杰.一道中考試題的命制與感悟［J］.中學數學（下），2015（11）.