數學史在數學教學過程中的有效整合方式*

☉重慶合川中學校 唐義恒

☉重慶第八中學校 杜 懿

☉重慶市教育科學研究院 張曉斌

數學史在數學教學過程中的有效整合方式*

☉重慶合川中學校 唐義恒

☉重慶第八中學校 杜 懿

☉重慶市教育科學研究院 張曉斌

20世紀70年代以來，數學史的教育功能逐步受到世界各國教育領域人員的高度重視，特別是HPM（數學史與數學教學關系國際研究小組）的正式成立標志著數學史與數學教育關系已成為一個獨立的學術研究領域，其研究內容涉及數學教育取向的數學史研究、基于數學史的教學設計、歷史知識在課堂中的運用等.進入21世紀以后，世界上許多國家先后進行了中小學數學課程改革，我國亦在其中，此次改革的一個重要方面就是注重數學文化與數學教學的有機整合，將數學史融入數學課程，增強數學學科的人文價值，使學生在學習數學知識、技能、思想方法的過程中了解數學發展的歷史和未來.我國數學大師吳文俊先生曾說，數學教育與數學史是分不開的.數學方法論專家徐利治先生也認為，數學哲學、數學史與數學教育的結合是數學教育改革的一個重要方向.數學教育專家宋乃慶教授則提出數學史與數學教育相互需要、相互依存、不可分割.2003年4月頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》明確給出了數學文化的內容標準.《義務教育數學課程標準（2011年版）》“第四部分實施建議的教材編寫建議”中提出“數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中……以及數學發展史的有關材料，幫助學生了解在人類文明發展中數學的作用，激發學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美.”截至目前，我國共成功舉辦了數次數學史與數學教育及數學文化論壇學術會議，有關數學史與數學教育、數學文化的專欄、刊物等也如雨后春筍，呈現比較良好的發展趨勢.但是由于國內關于這一方面的各項研究開展的時間不長，因而其中也存在一些值得商榷的問題，比如，呼吁在數學教學中融入數學史的各類文章、書籍層出不窮，但對于數學史“高評價，低應用”的現象依舊普遍存在；多數文章只是在理論層面討論數學史的教育功能及其意義，對于具體操作辦法幾乎是避而不談；各類研究課題的范圍大多集中在大學階段和高中階段，針對初中階段與小學階段數學史教育的研究數量甚微；關于一線數學教師把教材中的數學史內容體現到課堂教學中的實際現狀的研究，幾乎是一片空白；等等.基于以上情況的討論，本文擬給出以下幾種具體的操作方式，旨在拋磚引玉，以期有更多的、更有效的數學史與數學教育整合的方式產生.

一、“歷史推導過程的重演”方式

教學流程：提出問題→重演歷史→歸納總結→形成結論→結論運用.

具體操作：第1步，教師在教學開始時先設置問題情境，經過初步分析和推敲，提出本節課需要解決的問題；第2步，教師向學生介紹與這個問題相關的歷史背景，呈現歷史上對這個問題的思考與解決方法；第3步，學生在教師的引導下進行總結；第4步，讓學生形成對這個問題的正確認識，得到結論；第5步，運用結論解決其他相關問題，以加深理解.

教學案例：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的推導.

在當前的教科書中，是利用配方法推導出ax2+bx+c= 0（a≠0）的求根公式的：

然而在代數學發展的初期，許多代數問題是利用幾何知識來解決的.下面我們重現古埃及推導一元二次方程求根公式的方法.首先提出如下問題：一個正方形與另一個以此正方形的邊為長的長方形（寬為b）面積之和為c，求此正方形的邊長.

由于尼羅河的定期泛濫，土地測量人員不得不多次丈量土地，久而久之，即形成了利用“出入相補”原理推導一元二次方程求根公式的方法.

圖1

進行如圖1所示的操作，將長方形分割為兩個相等的小長方形（中圖），把其中一個小長方形放到正方形的底端（右圖），然后在右下角補上一個邊長為的小正方形，可得到一個邊長為x+的大正方形，其面積為c+，由此求出若把上述問題看作一個代數問題，則有x2+bx=c，即x2+bx=c的解為x=

特點分析：“歷史推導過程的重演”方式是以歷史為背景，以大量史料為依據，對教學內容進行分析、提煉、歸納、提取結論.這是數學史融入數學教學的常用方式，它比較簡單、便捷，有很好的故事性和情趣性.學生在歷史故事中略作思考，通過歸納，便可得出結論.這一方式作為對理性抽象的數學課堂的一種調節，完全符合人文和科學相結合的時代要求.

二、“歷史矛盾觀點的辨析”方式

教學流程：提出問題→呈現歷史矛盾觀點→進行辯論→形成結論→結論運用.

具體操作：第1步，教師在教學開始時先設置問題情境，經過初步分析和推敲，提出本節課需要解決的問題；第2步，教師向學生介紹與這個問題相關的歷史背景并提供相關的文獻，呈現歷史上對這個問題的思考及相矛盾的觀點，讓學生形成強烈的思維沖突；第3步，學生靜心思考后進行辯論，在學生辯論的過程中，教師可以從思維上引導學生，并可變換立場，使辯論均衡，最后慢慢讓全班的立場都站到正確的或更具優勢的認識上；第4步，師生一起總結出正確的觀點，形成結論；第5步，運用結論解決其他相關問題，以加深理解.

教學案例：負數教學.

盡管負數及其運算法則在16世紀就已經產生，但直到19世紀，數學家仍然不用負數.在他們看來負數是荒謬的，一個小于0的“數量”表示什么？數學家因為找不到負數的對應物，而不能理解它，但他們又無法否認負數在形式推導上是正確的.所以，有的數學家雖在思想上不承認它，但仍然讓它參與數量運算.數學家之所以遲遲不能接受負數，是因為當在數軸上表示數時，僅僅認為數具有大小關系，而忽略了數在數軸上又表現為一種順序關系；不僅在數軸的正向有順序關系，在數軸的反向也具有順序關系.數學家只有在用負數表示虧損或負債時，才能理解負數的現實意義，才能認識到數在另一個方向上也有大小和順序，才承認負數是客觀存在的數.因此，部分學生在學習負數時也會產生同樣的“認知障礙”，而幫助學生順利跨越這個“認知障礙”就成為教師教學的一個重要任務.

特點分析：辯論是該模式中不可缺少的環節，是達到意義建構的一個重要手段.采用“歷史矛盾觀點的辨析”方式進行教學，使學生在辯論的過程中逐步養成敢于質疑、善于交流、樂于合作的科學學習態度，從而能夠更加清晰地認識問題的本質.事實上，這種教學模式對師生的要求都很高，操作難度也很大.它既要求教師能夠深刻領會先哲的觀點，特別是“錯誤觀點”；同時又要求學生具有較高的科學理性和思辨能力，讓學生認識到，錯誤中也有合理性，正確只是更具優越性，科學理論永遠是不斷向前發展的.

三、“歷史假說猜想的驗證”方式

教學流程：提出問題→呈現歷史假說或猜想→進行實驗→分析與論證→形成結論→結論運用.

具體操作：第1步，教師在教學開始時先設置問題情境，經過初步分析和推敲，提出本節課需要解決的問題；第2步，提供歷史上對這個問題提出的假說或猜想；第3步，根據假說或猜想，提出方案，進行實驗操作并記錄數據；第4步，對實驗數據進行分析與論證；第5步，教師引導學生形成正確的結論；第6步，運用結論解決其他相關問題，以加深理解.

教學案例：勾股定理的教學.

為了使學生理解并能用多種方式證明勾股定理，教師首先簡單介紹勾股定理的歷史背景，然后以小任務的形式讓學生明確整個實驗的具體操作流程.

任務一：教師向學生介紹古希臘數學家畢達哥拉斯發現勾股定理的故事，給學生展示出“朋友家的地板圖”，在圖中選擇一個直角三角形，以這個直角三角形的三條邊各自為邊向外側畫正方形（假設基本單位長度為1），讓學生分別計算出這三個正方形的面積，并分析它們之間的數量關系.

任務二：每組學生拿出事先準備好的幾個大小不同的直角三角形，計算兩直角邊長的平方和、斜邊長的平方.將得到的數據列表，猜測兩直角邊長與斜邊長之間的數量關系.

任務三：任務二中所得猜測“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”對于所有直角三角形是否都成立呢？教師通過幾何畫板向學生進行驗證展示.

任務四：教師給出“趙爽弦圖”和“總統證明圖”，讓每組學生思考并補充證明過程，然后選擇幾組進行展示說明，此舉目的在于滲透割補思想.

任務五：教師給出“達芬奇證明圖”和“青朱出入圖”作為課后思考，以加深學生對勾股定理和割補思想的理解.

特點分析：“歷史假說猜想的驗證”方式是很好的過程體驗式教學方式.實驗過程中蘊含了大量的數學思想與方法，這些數學思想與方法會對學生數學素養的提高起到積極、有效的作用.但其教學過程可能比較費時、費力，它要求對應的數學史內容本身具有深刻的思想和方法，因此教師必須在課前進行充分準備，深入了解歷史事件，并在尊重歷史事實的基礎上，做出合理取舍，設計出符合中學生思維和認知水平的教學方案，這對學生能力和素質的提高具有積極意義.

將數學史融入數學課程，尤其是融入日常課堂教學中，發揮數學史的育人功能，挖掘數學史的教育價值，是數學課程改革的一項重要任務，也是一個系統工程，需要數學史家、數學教育家、教材編寫者和廣大一線數學教師的共同努力才能完成.以上僅是我們對數學史有效融入中學數學教學過程的一點拙見，還有一些考慮不周之處，懇望各位專家、同仁給予批評指導，對此不勝感激.

1.汪曉勤，張曉明.HPM研究的內容與方法［J］.數學教育學報，2006（2）.

2.中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（實驗）［S］.北京：人民教育出版社，2003.

3.中華人民共和國教育部制訂.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

4.李春蘭.數學文化研究與傳播——“第四屆全國數學文化論壇學術會議”綜述［J］.數學教育學報，2015（1）.

5.李文林.數學史概論［M］.北京：高等教育出版社，2002.

6.劉超.負數的歷史及其啟示［J］.中學生數學，2009（5）.

7.汪曉勤，韓祥林.中學數學中的數學史［M］.北京：科學出版社，2002.

8.朱鳳琴，徐伯華.數學史融入數學教學模式的國際研究與啟示［J］.數學教育學報，2010（3）.

*本文系重慶市教育科學“十二五”規劃2015年度重點課題“數學課堂教學中自主學習實施途徑與策略的研究”（課題批準號：2015－JC－009，課題負責人：魏云樓）的階段性研究成果.