數學教材研究的評述與探索

☉甘肅省酒泉第四中學 徐玉慶

數學教材研究的評述與探索

☉甘肅省酒泉第四中學 徐玉慶

一、研究背景

隨著國際間數學教育的不斷融合，數學教材研究作為數學教育的一個分支不斷受到國內外學者和一線教師的關注.數學教材研究已經成為國際數學教育研究的熱點問題，2004年7月5日至11日，第十屆國際數學教育大會（ICME-10）在哥本哈根舉行，中國參加人數為歷年最多，約為77人，大會分為“課題研究組”（topic study group，簡記為TSG）與“討論組”（discussion group，簡記為DG），其中“討論組”第14個主題就是：數學教材.2012年7月8日至15日，第十二屆國際數學大會（ICME-12）在韓國首爾COEX會議中心舉行，第32課題研究組主要對各國教材的內容進行了比較，特別是對中國、新加坡、美國的教材進行了比較.

2014年7月29～31日，首屆國際數學教材研究和發展會議（International Conference on Mathematics Text Research and Development 2014，簡稱ICMT2014），在英國南安普頓大學成功舉辦，會議由英國南安普頓大學數學教育首席教授、數學和科學教育研究中心主任范良火擔任主席，中國大陸也派了代表參加，大會收集了共計一百多篇文章.在此次大會上，各國的專家和教授對教材的研究和發展方向做了各自的論述，美國喬治亞大學Jeremy Kilpatrick教授從教材的發展歷史，從泥板到現在的平板電腦，已有的教材的不同特點進行了大量的研究，指出對于不同區域和群體之間使用教材有何差別研究相對較少.大會分析了未來教材研究的趨勢，動態的電子教材必然成為教材研究發展的趨勢.從以上對數學教材研究的綜述發現，數學教材的發展也已經從傳統的紙質教材向動態的電子教材發展，數學教材研究得到了世界各個國家的高度重視，數學教材研究已經走上一條快速的發展之路.本文希望從數學教材研究的哲學基礎、理論框架、研究方法三個方面形成一種數學教材研究的范式.

二、數學教材研究的范式

美國著名科學哲學家托馬斯·庫恩（Thomas Samuel Kuhn）在《科學革命的結構》中提出”范式”.“范式”（paradigm）是指某一科學集團的共同信念，這種信念規定了他們所共同的基本理論、基本觀點和基本方法.美國社會學家喬治·瑞澤爾（GeorgeRitzer）認為：“范式是存在于某一科學領域內關于研究對象的基本意向.它可以用來界定什么應該被研究、什么問題應該被提出、如何對問題進行質疑，以及在解釋我們獲得的答案時該遵循什么樣的規則”.根據喬治·瑞澤爾對范式的研究，在以后的研究過程中，許多學者將“范式”引入教育研究，逐漸建立了教育研究的“范式”.

那么數學教材研究的范式是什么？數學教材研究的范式就是在某一個時代，數學教材研究者們關于數學教材研究所具有的共同核心觀念、思維框架和信念.所以數學教材研究具有時代性，它是一個時代的數學文化結晶，也是一個時代數學文化的內涵與規律.

因此，我們需要建立一個“框架”來闡釋數學教材研究的范式，我們選擇以下三個維度進行說明：

（1）數學教材研究的哲學基礎；

（2）數學教材研究的理論框架；

（3）數學教材研究的研究方法.

以上三個維度從研究的指導思想、框架結構、實際操作深刻地說明了教材研究的內涵.

三、數學教材研究的哲學基礎

哲學作為一種解釋世界變化和運動的學科，是所有學科在思維層次的最高指導.數學教材不僅是一種知識的載體，它更是人類文化和知識的結晶，是人類思想的流傳，是人類經驗的表述.教材研究首先要解決的哲學問題是：（1）什么是數學教材？這是要回答的最基本的問題，即解決是什么的問題；（2）為什么要進行數學教材方面的研究？即解決為什么的問題；（3）應該怎樣進行數學教材研究？即方法論的問題.

數學知識的發展過程是人類思維的認知過程，數學教材作為數學思維和經驗的載體，在中學生認知發展過程中有著舉足輕重的作用，數學教材基本上伴隨著學生的青少年時期，對青少年的思維認知有著深刻的影響.所以認識論是數學教材研究的哲學基礎，其主要研究知識的本質和來源、知識的構建和界限、知識的確定性和或然性，以及知識與信仰的區別.認識論以客觀世界作為認識的來源，認為客觀世界是可以認知的.數學教材作為人類認知的結晶，教材內容所包含的知識信息必須是通過學生已有的知識結構能夠認知的.

社會建構主義的數學哲學系認為規則和約定對數學的真理性和確定性起著關鍵的作用，它又汲取了擬經驗主義的觀點，認為數學知識是不斷發展和變化著的，是易謬的，數學知識在證明與反駁中得到發展.而關于數學知識的社會建構性質，歐內斯特提出了以下三點根據：（1）數學知識的基礎是語言知識、約定和規則，而語言知識是一種社會建構；（2）個人的主觀數學知識經發表后轉化為客觀數學知識，這需要社會性的交往與交流；（3）客觀性本身應該理解為社會性的認同.進而，圍繞客觀知識、主觀知識及其相互關系，運用現象學的描述性方法，歐內斯特構建起社會建構主義數學哲學的理論框架，所以建構主義和認知論是數學教材研究的哲學基礎.在認識論和建構主義的發展過程中，許多哲學流派討論怎樣的知識最有價值，因為學校教育的時間和空間的限制，所以學校教育對于社會價值是有一定選擇性的，這主要體現在數學教材內容的選擇上，所以學校教育也是一種社會價值的選擇，具體體現在數學教材內容的選擇上，所以價值論也是數學教材研究的哲學基礎，它是社會文化與數學教材之間的一種復雜關系，這種關系隨著時代的發展也發生著不同的變化.以往的研究都是將數學教材作為一種單純知識的載體，研究數學教材內容本身的呈現特點和難易程度，并沒有把數學教材內容作為認識的來源，深入研究知識作為載體對于學生的認知水平和認知心理有著怎樣的影響和變化.許多關于教材研究的文章都是對教材內容的分析，而不去關注教材內容作為一種變量對于學生生理和心理的影響，也不去關注教材內容在學生認識過程中的變化和規律.新課程標準中明確提出：“義務教育的數學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎”，所以教材內容的選擇，也是一種社會價值論的體現，數學教材內容也是一種潛在價值的傳遞，也是社會文化影響的結果.

四、數學教材研究的理論框架

國內外學者對于數學教材的文本內容進行了大量的研究，史寧中教授利用課程難度模型對不同時期的課程標準進行深入研究，鮑建生利用習題綜合難度對中、英兩國初中數學教材中的習題進行了比較研究，范良火對中國和美國的數學教材內容進行了比較研究.同時對于數學教材的非文本內容也進行了深入研究，2012年Ewha Womans University（韓國梨花女子大學）的Rae Young Kim在對已有研究的基礎上對非文本內容數學教材中的應用和作用作了深入的研究，對非文本內容在精確度、關聯度、情境性、簡潔性四個方面進行了細致的劃分，深入地解釋了非文本內容在數學教材中發揮的作用.下面是Rae Young Kim對于非文本內容的劃分.

非文本內容是指在教材內容中所涉及的圖片、插圖、圖標及數學內容和圖表相結合的內容.其目的是學生更好地理解教材中的概念和定義，同時也是幫助學生解決問題的一種輔助材料.

1.非文本內容的精確度.

就是指非文本內容如何恰當地利用數學方式來表示數學概念和數學思想.如果教材中的非文本內容沒有清楚的表達，將會導致學生的誤解和迷惑.圖1和圖2是非文本內容的精確度的兩個例子.它們表示了數學知識在現實生活的真實例子，但是它們具有不同的精確度水平，研究表明：圖1中不精確的內容可能誤導學生對于兩條平行線的理解，圖2則精確地表示了角的定義，有利于學生對于角的定義的理解.

圖1：精確度水平較低的圖片

圖2：精確度水平較高的圖片

2.非文本內容的關聯度.

它是指非文本因素和教材中的數學內容之間關系的相近程度.如果教材內容和這些可視的、圖形的內容能夠很好地吻合，將進一步促進學生對教材內容的理解.通過已有研究發現，圖形對于能力較低的學生理解教材內容是有很大幫助的，當他們對于教材中文本內容的理解出現問題時，可以通過觀察和研究相關的非文本內容進行理解，這樣文本、非文本的結合可以在很大程度上幫助他們理解數學內容.圖3表示非文本內容的相關性的一個例子，滑雪研究者的結果表明雪崩和小山的坡度有關系，但是圖3中的滑雪者不能很好地和教材中坡度的有關知識相聯結，而紅色的小山很好地表示了坡度的概念，而且直觀形象.根據研究表明，圖3中滑雪者的姿勢可能誤導學生對于坡度的理解，學生可能會認為坡度和小山的表面有關.

圖3：關聯度水平不同的圖片

3.非文本內容的情境性.

它是指數學內容在現實生活中的應用，在實際教學中發現學生的數學經驗對于學生進一步學習數學是非常重要的，已有研究表明，非文本內容可以幫助學生建構他們的數學理解過程，加快他們對于數學內容的理解和認知.圖4中（1）并不能直觀地表示出數學概念，而圖4中（2）則能很好地將現實生活和數學知識相聯系，可以很好地幫助學生理解角的概念，而圖4中（3）則表示沒有相關性.

圖4：情境性水平不同圖

4.非文本內容的簡潔性.

非文本因素所涉及的概念中沒有過多的贅述，而是簡明整齊的.非文本內容還有太多的細節和復雜的結構，將會降低學生對它的興趣.如圖5（1）所示，學生很容易能夠將注意力集中在這條函數圖形上，而圖5（2）圖形較多，學生不能很快判斷那條函數圖像是要研究的對象，所以圖5（1）比5（2）更具有簡明性.

圖5：簡潔性水平不同的圖片

由以上問題的研究，產生了一個新的基于問題的框架結構，如圖6和表1所示.

圖6：數學教材研究的框架結構

由圖6和表1所示的框架結構可以發現，數學教材可以分為兩個部分：文本內容和非文本內容，文本內容主要針對數學教材中涉及的問題而界定，問題本身又具有非文本內容的四種特性，它們之間相互聯系和融合.

表1：數學教材內容涉及的問題

上述框架結構將數學教材中的數學問題作為研究的對象，但是數學教材并不是單純的數學問題的集合，數學教材受到自身的價值文化和社會環境的影響，同時數學教材也對社會產生影響.數學教材更是以一種靜態的知識理論來呈現動態的社會變化，是與社會背景和文化環境的一種雙向傳遞，是知識與價值的雙重載體.

數學教材的內容選取方面也需要進一步研究，高等數學內容的不斷下移，對中學數學教材的內容提出了新的挑戰.數學教材中知識內容的呈現方式對于學生建構數學知識有著怎樣的影響？數學教材中代數內容與幾何內容安排是否有更有效的方式？如何通過數學教材體現數學的價值性？學生如何更加有效地使用教材？教材內容是否可以增設學生如何使用教材的方法指導？教材內容是否有配套的網絡課程供學生自主學習？這些都是需要進一步深入研究的問題.

五、數學教材研究的方法

2003年Nicholls指出，數學教材研究缺乏一般的研究方法，特別是在教材分析和教材比較方面，需要發展系統的研究框架和研究工具.

國內外學者在數學教材比較方面作了大量的研究，特別是發達國家間數學教材的比較研究，如北師大教授曹一鳴對中、奧、美、英、法、德、韓、新、日與俄等10個國家的初中數學教材進行了比較，主要利用難度模型進行例題與習題的難度分析，對所收集的數據進行定量分析，取得了一定的研究成果.范良火對中國大陸、新加坡和美國數學教材中問題表征和問題解決進行了深入研究，從而發現在東西方兩種不同的文化體系中數學教材是如何選擇的，數學課程受到哪些環境因素的影響.

2013年范良火在ZDM Mathematics Education（數學教育）中提出了數學教材研究的范式變革，認為目前數學教材研究的方法主要是對于教材內容經驗的總結和討論，教材研究主要是利用教材內容和收集的數據進行文本分析，而這種研究方法已經具有長久的歷史.在教材研究中缺乏實驗研究，特別是在教材比較方面，雖然在某些方面取得了一定的進步，但是在科學的研究方法方面仍然存在巨大的挑戰.

數學教育的研究方法從17世紀夸美紐斯的教學研究開始，經歷了自然科學的實證研究，到20世紀初出現的包涵人文主義情懷的質性研究，到現在的多種研究方法的互相批判和融合.數學教材也隨著社會和經濟的不斷發展發生著變化，各個國家都進行了數學課程改革，國內也出現了依據課程標準編寫的不同版本的數學教材，這些教材雖然在主體知識和結構上基本一致，但是也反映了不同地域的環境和文化對數學教材的影響，反映了不同教材制定者對于課程標準的理解，不同的視野對于教材的影響反映了不同的編寫理念，這勢必對教學一線的教師和學生提出了不同的要求，對教師和學生的數學修養和數學素養提出了挑戰.因此，數學教材研究將是數學教育的重要領域，數學教材研究方法的不斷建立和規范也是數學教育研究方法領域的重點研究課題，需要建立更具一般性的研究方法，這將是未來數學教材研究的趨勢.

六、結論

本文通過對數學教材研究的哲學基礎、理論框架、研究方法三個方面的綜述和論述，希望建立一種數學教材研究的范式，但是，數學教材研究的范式并不是完全確定和唯一的，研究范式也是有著時代背景和文化差異的，數學教材研究既要有科學的定量研究，也要有定性的人文關懷，這種定量與定性的結合將是數學教材研究范式的趨向，堅持把科學研究同哲學分析結合起來，使事實與價值在研究上獲得一致.同時20世紀80年代興起的復雜范式，這種范式更加關注研究對象的無序的、偶然的、非線性的因素，更加注重研究對象的豐富性和復雜性，這種研究范式的興起也是基于教育本身是一個復雜的系統，而數學教材則是更好地為人類社會的發展和進步所服務的，所以數學教材是社會環境和歷史文化的一部分，更應該把數學教材看成一種變量，研究其他因素對數學教材的影響，數學教材在自身的發展過程中也對社會文化產生一定影響，這是一種歷史的、社會化的、雙向的發展.

隨著社會經濟的不斷發展，教育研究的范式也新舊更替，這種更替既是人類解釋自然的邏輯知識體系的更換，又是科學共同體成員價值觀念的更換，文化的多元化導致研究方法的多元化，研究方法的多元化讓研究者從不同的角度去審視所研究的對象，讓我們對身邊熟悉的事物有了全新的認識，這種全新的高速的變化將會對數學教材研究的范式產生深遠的影響.

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