源于教材高于教材，辨識特征眺望遠方
——對一份七上期末卷的賞析與思考

☉江蘇海安縣城東鎮開發區實驗學校 劉才云

源于教材高于教材，辨識特征眺望遠方
——對一份七上期末卷的賞析與思考

☉江蘇海安縣城東鎮開發區實驗學校 劉才云

第一學期期末考試結束后，我們從各個學科網站、QQ群等自媒體平臺上看到大量的各地期末考試試卷，還有不少大QQ群開展很多研討，這種“民間研討”“草根研討”的自發研究精神讓人感動，我們看到很多一線教師對命題研究、解題研究的興趣和熱情，確實值得各級教研部門、命題專家深思.本文擬對本地區（南通市海安縣）七年級期末卷展開賞析，并跟進教學思考，供研討.

一、考題摘選與賞析

考題1：（全卷第10題）如圖1所示，由一些點組成形如三角形的圖形，每條“邊”（包括兩個頂點）有n（n＞1）個點.

圖1

記第1個圖形中總的點數為S2=3，第2個圖形中總的點數為S3=6，依次為S4=9，S5=12.

以下說法錯誤的是（）.

A.S7=18B.S11=30

C.若Sn=60，則n=21D.若Sn+Sn+1=57，則n=11

思路解析：每條“邊”（包括兩個頂點）有n（n＞1）個點，每個圖形總的點數S=3（n-1）.當n=5、7、11時，S=12、18、30.對于前三個選項，如果用死算的方法也可以鑒別它們正確，從而直接選D；但如果從方程角度處理，可以直接解出D中的n=10.

命題賞析：解題的關鍵是發現“S=3（n-1）”，可以對比選項B、D，發現矛盾.另外，這道題源于教材原型，但增設了參數與符號表示，體現數學的“兩大特征之一”（日本數學家米山國藏曾指出，數學的兩大特征就是一步一步向上走、大量具有學科特征的符號表示，可以追求數學概念或解法表述的簡潔性）.這種符號表示方法將會在八年級、九年級有更多運用，特別是高中階段、大學階段的數學學習還能更加體現出這種符號表示特征.

考題2：（全卷第17題）某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環保限制的最大量還多200噸；如用新工藝，則廢水排量比環保限制的最大量少100噸.若新、舊工藝的廢水排量之比為2∶5.則新工藝的廢水排量是____噸.

思路解析：這是由教材例題簡單改編而來，利用一元一次方程可獲解，注意這里只要求填寫新工藝的廢水排量.

命題賞析：一元一次方程的應用在七年級教學中占有相當的比例，但是不少含繁雜信息量的一元一次方程在限時100分鐘的考試中并不是很合適，本地區在填空題倒數第二題的位置直接選用一道教材例題，并簡單改編，用心良苦，既引導師生重視教材例題教學，又體現了應用題命題背景的一種簡潔追求.

考題3：（全卷第18題）有一列數，按一定規律排列成1，-3，9，-27，81，-243，….若其中某三個相鄰數的和是-1701，則這三個數中最大的數是_____.

思路解析：這是由教材上一道例題改編而來，從符號和絕對值兩方面觀察，可發現這列數的排列規律：后面的數是它前面的數與-3的乘積.如果三個相鄰數中的第1個記為x，則后兩個數分別是-3x、9x.可列方程x-3x+ 9x=-1701.解出這三個數是-243、729、-2187.這三個數中最大的數是729.

命題賞析：考慮到是學期結束時的考試，這道題只是將教材例題簡單改編了，增設了判斷三個數中最大的數，考生需要看清指令解答，而不能只是匆忙落筆算出三個數.源于課本、高于課本，這道填空題給了我們啟示.特別是所選的應用題的背景非常適合七年級考生，因為七年級所學內容為有理數與方程，這道改編題較好地關聯了這兩章的內容.

考題4：（全卷第24題）關于x的方程（m-1）xn-3=0是一元一次方程.

（1）則m、n應滿足的條件為：m_____，n_____；

（2）若該方程的根為整數，求整數m的值.

命題賞析：這道題雖是一道陳題改編（只是簡單改編了數據），但命題立意很好，一方面，兼顧了一元一次方程的概念、一般式；另一方面，也是照應七下的二元一次方程整數解、有序數對等數學概念，同時對八年級學習變量與函數也會有一定的幫助.

考題5：（全卷第25題）一商店在某一時間以每件a元（a＞0）的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%.

（1）當a=60時，分析賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧；

（2）小安發現：不論a為何值，這樣賣兩件衣服總的都是虧損，請判斷“小安發現”是否正確，并說明理由.

思路解析：對于第（1）問，如果用小學階段的算術解法，也可得出虧損這一結論，但是我們建議用方程的思路，可設盈利25%的那件衣服的進價是x元，則x+0.25x= 60，解得x=48.設虧損25%的那件衣服的進價是y元，則y-0.25y=60，解得y=80.（60+60）-（48+80）=-8.即虧損，總共虧損8元.

處理第（2）問時，可以延續“方程思路”.設盈利25%的那件衣服的進價是x元，則x+0.25x=a，解得x=a；設虧損25%的那件衣服的進價是y元，則y-0.25y=a，解得y=列式（a+a）所以，“小安發現”正確.

命題賞析：這道試題的第（1）問是教材例題（一元一次方程一章最后的“探究“），但第（2）問將問題引向一般，讓學生演算了在一般情形下，這樣做仍然是虧損的.這樣的拓展設問體現了中學數學的學段特征：從特殊走向一般.

考題6：（全卷第26題）如圖2，數軸上點A、B分別對應數a、b.其中a＜0，b＞0，且|b|＞|a|.

圖2

（1）當a=-1、b=5時，線段AB的中點對應的數是____.（直接填結果）

（2）若點M對應著數m：

①當AM=BM，且m=2時，求2a+2b+18的值；

②當AM=2BM時，用含a、b的式子表示m.

思路解析：第（1）問是送分題，也是安排學生從特例上路.

對于第（2）①問，AM=2-a，BM=b-2，所以2-a=b-2.所以a+b=4.則2a+2b+18=26.

第（2）②問有兩種可能情形，情形1：點M在線段AB上時，AM=m-a，BM=b-m，所以，m-a=2（b-m），變形，得m=（a+2b）；情形2：點M在射線AB上時，AM=m-a，BM= m-b，所以，m-a=2（m-b），變形，得m=2b-a.

命題賞析：七上最后一道大題以數軸為背景的考題不在少數，多數是以數軸上兩個甚至更多的動點開展研究，設計一些運動型問題，本質上是相遇問題或追及問題，學生如果在小學時訓練過這類問題，則可視為小學考題，與初中學段關系不大，特別是與七年級教學內容的關聯不是很強.而這道把關題卻較好地綜合了數軸、數與形、字母表示數、點在直線上的位置關系、含參數的方程等七上數學概念.更值得品味的是，這道試題第（2）問研究了“當AM=BM，且m=2時，求a+b的值”這樣一類重要性質.而熟悉初中循環教學的同行應該知道，我們很容易在八、九年級找到歸屬于這一性質的很多所謂較難試題.這里順便鏈接一道九年級二次函數習題：

眺望九年級習題：已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），若+bx1=a+bx2，且x1≠x2.求證：x1+x2=2.

解析：首先解讀出條件帶來的是當自變量分別取x1、x2時二次函數的值相等，即a+bx1+c=+bx2+c，這樣就可根據函數圖像的對稱性構造如下：

如圖3，直線AB∥x軸，交拋物線y= ax2+bx+c（a≠0）于A、B兩點，交拋物線的對稱軸于M點，根據對稱性，易知AM= BM，也就是它們的橫坐標之間具有了xA+xB=2xM的關系.這樣來看，就能快速看清上面的求證題的結構，實現證明了.

圖3

二、教學導向之思

1.回歸課本，研究教材，提升解題教學效益.

從上面摘引的試題可見，這份試卷中的幾處把關題均源于教材、高于教材，并且呈現豐富多樣的改編策略，有直接引用、改編數據；有引用背景、拓展追問；有例題選用、探究活動，又有習題與概念的考查.這些都啟發和引導我們平時的教學要回歸課本，而且示范了教師研究教材上例、習題的視角，為平時教學時改編例、習題帶來了啟發.

2.站到高處，眺望遠方，給學生打開一扇窗.

從上面的考題1、考題4、考題5來看，分別呼應著學生在“未來”要學習的等比數列、從特殊到一般的數學學段特征、平面直角坐標系“中點公式”等后續數學知識.這就啟示我們，在起始年級的數學教學時，不能只是帶領學生在原地“空轉”，要通過恰當的習題改編或拓展變式使得優秀學生能及時眺望遠方.事實上，這樣“為學生打開一扇窗”的命題導向，對教學上的導向也是積極的，這正啟發著我們的課堂教學追求：“開放，讓課堂向四面八方打開”（楊九俊語）.

1.周紅娟.開放與放開：概念生成與例題變式的教學追求——從“三角形內角和”教學說起［J］.中學數學（下），2016（8）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.

4.楊九俊.學科育德不只在說教中［J］.中國德育，2011（11）.