“一題一課”，追求簡約，貴在自然

☉浙江樂清巿大荊鎮(zhèn)第一中學(xué) 俞衛(wèi)勝

“一題一課”，追求簡約，貴在自然

☉浙江樂清巿大荊鎮(zhèn)第一中學(xué) 俞衛(wèi)勝

2016年10月，經(jīng)教研室考核，我有幸成為樂清市吳立建名師工作室的一員，迄今為止，開展了許多教研活動.其中，三位工作室學(xué)員及一位導(dǎo)師針對溫州中考題進(jìn)行“一題一課”的教學(xué)讓人印象深刻，他們對問題的設(shè)計及課堂演繹體現(xiàn)了“一題一課”簡約、自然的教學(xué)理念.

一、小題大做，簡約設(shè)計中流淌著自然之聲

一道看似簡單的選擇題，通過“小題大做”，可實現(xiàn)教學(xué)功能的最大化.比如，下面的中考選擇題，考試時學(xué)生可能很快得到解決，但作為教學(xué)題目，如果因為得到答案便就此“滑過”，不作深入探究，就會錯過沿途的風(fēng)景，猶如“入寶山而空返”.而通過“一題一課”模式，就能使簡單的題目變得內(nèi)涵豐富，讓試題變得簡約而不簡單.

［案例1］2016年10年10日，在虹橋蒲岐中學(xué)，黃老師針對2015年溫州中考第8題進(jìn)行了一題一課設(shè)計.

1.原題呈現(xiàn).

如圖1，點A的坐標(biāo)是（2，0），△ABO是等邊三角形，點B在第一象限.若反比例函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點B，則k的值是（）.

圖1

直接呈現(xiàn)，放手讓學(xué)生做題、講題，并提問：

（1）在解決本題時，你經(jīng)歷了哪些過程？

（2）在這個過程中，用到了哪些知識和方法？

2.自主編題.

師：這個題目里有三個主要已知條件：①點A的坐標(biāo)是（2，0）；②△ABO為等邊三角形；③點B在第一象限.

請各小組討論交流下，能不能更換這里其中一個條件，編出一個新問題？

3.拓展訓(xùn)練.

圖2

針對這一題，黃老師的設(shè)計簡約而不簡單，在課伊始，呈現(xiàn)一道中考選擇題，學(xué)生會很好奇，中考題目到底是怎樣的？學(xué)生很想揭開這神秘的面紗.這樣呈現(xiàn)問題，極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.緊接著，引導(dǎo)學(xué)生對題中的3個條件進(jìn)行改編，并選擇有價值的問題進(jìn)行解決，讓課堂更有實效.然后，將點A移動到曲線上，研究△AOB的面積.最后，將問題從三角形拓展到四邊形.這樣的設(shè)計不是試題的簡單疊加，而是在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行深入挖掘，充分體現(xiàn)試題蘊含的價值.

二、還生時空、凸顯“一題一課”的自然之魂

新課程理念要求教師在課堂中堅持以學(xué)生的發(fā)展為前提，共同發(fā)展，和諧發(fā)展.要真正做到這點，就必須在課堂上以學(xué)生為主體，將課堂上屬于學(xué)生的時間還給他們，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，發(fā)展思維.著名教育葉瀾說：“新基礎(chǔ)教育的第一步是一個‘還’字，過去的教育有太多需要‘還’的東西”.

［案例2］2016年11年11日，在北白象三山中學(xué)，單老師針對2016年溫州中考第14題進(jìn)行一題一課教學(xué).

師：將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C.

已知∠A=27°，∠B=40°，則∠ACB′=_____度.

生：求不出來.

師：為什么求不出來呢？

生：因為它在動.

師：那怎么辦？

生：讓它定下來.

師：請你給它一個特殊位置，使得這個角能求得出來，試一試.

生：B′C⊥BC.

生：B′A′∥BC.

師：還有別的嗎？

生：點B′落在AB邊上.

生：B、C、A′三點在同一直線上.

（將學(xué)生寫的條件記錄在黑板上）

師：你真是個命題高手啊，你編的這個條件和2016年溫州市中考的第14題十分相似.（出示原題）

圖3

如圖3，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′落在BC的延長線上.

已知∠A=27°，∠B=40°，則∠ACB′=____度.

師：算好了嗎？

生齊答：46°.

師：請說說你的做法.

生：∠ACB′=∠ACB+∠A′CB′-180°=46°.

師：請描述下△A′B′C是由△ABC經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換得到的.

生：△A′B′C是由△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)67°得到的.

師（指著B、C、A′三點在同一直線上）：這兩道題一樣嗎？

生：哦，不一樣，B、C、A′三點在同一直線上，有兩種可能，還有可能點A′在CB的延長線上.

單老師在這一教學(xué)片段中，給出一個條件不夠的題目，讓學(xué)生求解.學(xué)生求不出來，自然而然產(chǎn)生質(zhì)疑，順勢啟發(fā)學(xué)生添加條件.從而有了B′C⊥BC，B′A′∥BC，點B′落在AB邊上，B、C、A′三點在同一直線上等精彩條件的生成，學(xué)生的思維從被動到主動，自己命題自己解答，提高了學(xué)習(xí)的主觀能動性.在一題一課教學(xué)中，要關(guān)注基礎(chǔ)，讓更多的學(xué)生參與進(jìn)來，通過條件開放，給予學(xué)生時空及提問的機會，學(xué)生就會還你精彩的課堂，凸顯“一題一課”的自然之魂.

三、啟發(fā)引導(dǎo)，促成探究問題的自然之需

興趣是學(xué)生探索知識的直接動力，是智力發(fā)展的前提.教師若能在課堂上根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，就能引發(fā)學(xué)生興趣，讓學(xué)生體驗到解決問題后的喜悅，這對學(xué)生產(chǎn)生強烈的學(xué)習(xí)欲望，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維都是十分有益的.

［案例3］2016年12年16日，在溫州梧田二中，滕老師針對2016年溫州中考第10題進(jìn)行一題一課教學(xué).

如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2.P是 AB邊上一動點，PD⊥AC于點D，點E在P的右側(cè)，且PE=1，連接CE.P從點A出發(fā)，沿AB方向運動，當(dāng)E到達(dá)點B時，P停止運動.在整個運動過程中，圖中陰影部分面積S1+S2的大小變化情況是（）.

圖4

圖5

A.一直減小

B.一直不變

C.先減小后增大

D.先增大后減小

師：P運動時，△ACP的面積怎么變化的？理由？

生：逐漸增大！因為高不變，底AP逐漸增大.

師：△BCP呢？

生：逐漸減小.因為高不變，底BP逐漸減小.

師：一個面積逐漸增大，一個面積逐漸減小，但它們的面積和怎么樣？

生：始終不變，等于△ABC的面積.

師：現(xiàn)過點P作PD⊥AC于點D，（課件顯示）于是將△ABC分成了三個三角形，當(dāng)P從A往B運動的過程中，S1、S2怎么變？

生：S1逐漸增大，S2逐漸減小.

師：S1+S2的變化情況如何？

（給學(xué)生一定的時間思考，然后展示學(xué)生的思考過程）

師：用特殊值法得到面積和先變小后變大，最小值是多少？

生：P動，即AP變化時，研究面積和的最小值，想到了利用函數(shù)來解決，因為函數(shù)的本質(zhì)是揭示兩個變量的某種關(guān)系.

生：由函數(shù)表達(dá)式，可知S1+S2隨著x的變大，先變小，后變大.

師：剛才的探究，從一點P（可認(rèn)為PE=0）到PE=1，S1+ S2都是先變小后變大，那面積和的變化情況是否與PE的值無關(guān)呢？

追問：PE的值在什么范圍變化時，S1+S2的值是先減小后增大？在什么范圍變化時，S1+S2的值一直減?。?/p>

滕老師這節(jié)課制造了三個需要.第一，引導(dǎo)學(xué)生在動中發(fā)現(xiàn)變與不變的量.兩個三角形中一個面積在增大，另一個面積在減小，但面積和卻始終不變.在此圖基礎(chǔ)上作PD⊥AC于點D，得到的兩個三角形的面積和是否仍然不變呢？引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生探究的欲望.第二，解決這個面積和的變化情況，為什么要引出函數(shù)？滕老師制造需要，由面積和先變小后變大，想到探究最小值.這樣的引導(dǎo)非常自然.第三，如何發(fā)現(xiàn)PE值的不同其面積和的變化也不同？這里滕老師借助前面一點P即PE=0，到PE=1，引導(dǎo)學(xué)生思考PE從0變到1，面積和的變化情況一樣，那是否與PE的值無關(guān)呢？從而激發(fā)學(xué)生探究PE的取值是否會影響面積和的變化，這樣的啟發(fā)引導(dǎo)，體現(xiàn)了“一題一課”自然之需.

四、提煉滲透，素養(yǎng)提升中開啟自然之門

在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師要及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行提煉，提煉數(shù)學(xué)知識、思想方法、解題策略，挖掘動態(tài)問題中不變的量，同時要滲透各種數(shù)學(xué)思想方法.通過提煉、滲透，讓學(xué)生能夠從中理解知識點的內(nèi)涵和外延，從反思過程中汲取經(jīng)驗和教訓(xùn)，鞏固和擴大解題成果，進(jìn)一步提升學(xué)生思維的深刻性.

［案例4］圍繞2015年溫州中考第8題（見案例1）進(jìn)行的一題一課教學(xué).

［片段1］師：下面請一位同學(xué)對這些方法作下總結(jié).

生（非常自信）：特殊三角形→線段長度→點的坐標(biāo)→確定k的值.

（教師在學(xué)生的口答中慢慢完善板書）

師：這位同學(xué)非常了不起，從不同角度求k的值.（板書）

［片段2］生：從剛才的編題中，受到了啟發(fā)，可探究△ABO的面積.

師：要研究面積，那你要給我條件啊？

生：B（1，2）、A（2，1）.

師：找個（2，3）行嗎？

生：不行！

師：為什么不行？誰來說？

生：前面已經(jīng)確定k是2，所以縱坐標(biāo)是1.

師（追問）：如圖6，你說這些點的坐標(biāo)有何關(guān)系.

生：x1y1=x2y2=x3y3=k.

師：這就是k的代數(shù)意義，坐標(biāo)之積不變性.

師：根據(jù)x1y1聯(lián)想到什么圖形的面積？

生：矩形.

圖6

圖7

師：如圖7，這兩個矩形面積怎么樣？

生：相等.

師：也就是說S矩形=k？

師（小結(jié)）：因k可正可負(fù)，而面積是正的，所以S矩形=，這就是k的幾何意義，面積不變性.

板書：

k的代數(shù)意義：

x1y1=x2y2=x3y3=k.

k的幾何意義：

S矩形=2S△=|k|.

圖8

師（追問）：這個△AOB的面積怎么求？分4個小組交流討論.

（在同學(xué)們的獨立思考和合作交流及教師的引導(dǎo)下，每小組代表興高采烈地站起來匯報圖9到圖12這些豐碩的成果.）

圖9

圖10

圖11

圖12

黃老師在一題一課教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生提煉解題方法，比如，在反比例函數(shù)中求“k”的值，從兩方面（點的坐標(biāo)，面積）進(jìn)行有效的學(xué)法指導(dǎo).在求△AOB的面積時，對面積的不同求法，注重了一題多解，通過比較，體現(xiàn)了解決問題策略的優(yōu)化.同時滲透了數(shù)形結(jié)合、割補法、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，并挖掘動態(tài)問題中不變的量.通過這樣的提煉滲透，學(xué)生的素養(yǎng)得到了提升.

五、課堂教學(xué)，順應(yīng)學(xué)生追求自然之美

著名教育家葉圣陶說過：“教育是農(nóng)業(yè)，不是工業(yè).”知識的生長應(yīng)該如同植物的生長一般，在陽光雨露的滋潤下，順勢而行，自然生長.在數(shù)學(xué)課堂中，教師要讓孩子體驗數(shù)學(xué)問題的形成過程，感受數(shù)學(xué)獨特的思維方式，在知識形成和解決問題的過程中，融會貫通、靈活遷移，獲得智慧的啟蒙、素養(yǎng)的滋潤和生長的力量.在這種狀態(tài)下獲得的知識是自然生長的、是終身的.

［案例5］2017年1月4日，在樂清外國語，俞老師針對2016年溫州中考第23題進(jìn)行一題一課教學(xué).

師：二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像如圖13所示，你能獲得什么信息？

生：開口向上，對稱軸，與坐標(biāo)軸的交點，頂點坐標(biāo).

師：不錯.

追問：將y=x2-2x-3中的數(shù)2變成m（m>0），則y=x2-mx-3對應(yīng)的圖像哪些不變？哪些變？

生：開口方向及大小不變，圖像與y軸的交點不變.

師追問：能談?wù)勀愕南敕▎幔?/p>

生：a不變，開口方向及大小不變；c不變，圖像與y軸的交點不變.

師（欣賞的眼神）：這位同學(xué)抓住了問題的本質(zhì)，那什么變了呢？

師：通過數(shù)來研究形的變化，當(dāng)m變化時，圖像將怎樣變化？

（通過生生討論交流，教師引導(dǎo)學(xué)生獲知：當(dāng)m變化時，圖像實質(zhì)上作平移變換，最后，教師用幾何畫板演示圖像的平移）

師：當(dāng)m變化時，圖像與y軸的交點不變，記為C，然后過這個定點C作CA⊥y軸，交拋物線于點A，點B在拋物線上，且在第一象限內(nèi).BE⊥y軸，交y軸于點E，且BE= 2AC.

追問：連接AO并延長交BE的延長線于點D.當(dāng)m變化時，有什么值得研究的問題？

（先讓學(xué)生展開動態(tài)思維的翅膀，若有困難，可借助幾何畫板演示，在m值的變化過程中，感受圖形的變化）

生：點D在拋物線上時，m的值是多少？

生：當(dāng)線段OE=AC時，求m的值.

生：△DEO與△AOC全等時，求m的值.

師：同學(xué)們的問題意識很強，接

下來分組解決這些問題吧.

然后俞老師出示中考題：

圖13

如圖13，拋物線y=x2-mx-3（m＞0）交y軸于點C，CA⊥y軸，交拋物線于點A，點B在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，BE⊥y軸，交y軸于點E，交AO的延長線于點D，BE=2AC.

（1）用含m的代數(shù)式表示BE的長.

（3）AG∥y軸，交OB于點F，交BD于點G.

①若△DOE與△BGF的面積相等，求m的值；

②連接AE，交OB于M，若△AMF與△BGF的面積相等，m的值是________.

俞老師創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫稠槕?yīng)學(xué)生的思維，激發(fā)他們的好奇心.從數(shù)字2到m，感受對應(yīng)圖像的變化，訓(xùn)練學(xué)生的動態(tài)思維，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).緊接著，添加一些線條，引導(dǎo)學(xué)生感受m的變化引起圖中點動、線變、形變.課中，學(xué)生提出的問題非常有探究的價值.這樣靈動、生成的課堂要求教師用智慧啟迪學(xué)生，帶著心靈去聆聽學(xué)生，去觸摸教學(xué)，去透視課堂，捕捉學(xué)生的問題，有效地利用生成性資源，重組教學(xué)思路，讓學(xué)生有更多的探索空間，還學(xué)生一個本真的課堂，讓一題一課教學(xué)在順應(yīng)學(xué)生的思維中流露出自然之美.

初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，如果教師能夠從一個題目（一般是課本上的例題和習(xí)題，以及中考試題）出發(fā)，開放性地設(shè)計問題，鼓勵學(xué)生從多角度解決問題，并嘗試讓學(xué)生自主編題，提出問題，同時關(guān)注學(xué)情，動態(tài)生成，可使課堂更加自然、流暢.在這樣一條復(fù)習(xí)主線下，提煉解題策略，挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，真正讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課成為學(xué)生的主陣地，走出“題海戰(zhàn)術(shù)”的陰影，追求簡約卻不簡單的課堂，還學(xué)生以時空，體現(xiàn)“一題一課”的價值，真正凸顯“以生為本”的教學(xué)理念.

1.中華人民共中國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.顧冷沅主編.初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究［M］.上海：上海教育出版社，2012.

3.吳立建.數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生提出問題［J］.數(shù)學(xué)通報，2013（7）.

4.趙萍萍.“一題一課”：復(fù)習(xí)題走向簡約的嘗試——以2014年廣東省中考第23題教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（2）.

5.波利亞主編.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究與講授［M］.北京：北京科學(xué)出版社，2016.

6.俞衛(wèi)勝.由博返約，追求簡潔——一堂“一題一課”復(fù)習(xí)課的思考.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（11）.