基于初中教材提升學生數(shù)學思想方法

(渤海大學 教育與體育學院，遼寧 錦州 121000)

基于初中教材提升學生數(shù)學思想方法

申依平

(渤海大學 教育與體育學院，遼寧 錦州 121000)

在新課程理念下，掌握數(shù)學思想方法是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的必要條件。近年來，中高考的命題逐漸趨向數(shù)學思想方法的應用，這就要求教師增強數(shù)學思想方法的教學意識，在教學過程中滲透數(shù)學思想方法的內(nèi)容，在解決例題中強化數(shù)學思想方法，并逐步內(nèi)化數(shù)學思想方法。

數(shù)學思想方法；數(shù)學素養(yǎng)；滲透

數(shù)學思想是在解題過程中所采用的解題策略，而數(shù)學方法是解題的步驟、程序，可以說數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體表現(xiàn)，數(shù)學思想是數(shù)學方法的抽象概括，二者統(tǒng)稱為數(shù)學思想方法。在新課程標準下的數(shù)學教學中，要求不斷強化學生的數(shù)學意識，提高學生的數(shù)學素質(zhì)。新課標在繼承我國數(shù)學教育注重“雙基”傳統(tǒng)的同時，提出“四基”與“四能”。“四基”即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，“四能”即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。更加突出了培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力，提出使學生理解和掌握“基本的數(shù)學思想方法”，獲得“基本的數(shù)學活動經(jīng)驗”。在實際教學過程中，學生雖然做題不計其數(shù)，但最終的效果卻不盡如人意，其原因在于：數(shù)學課堂上著重于精講多練的方法，而忽略了數(shù)學思想方法的滲透。在初中數(shù)學教材例題中，蘊含著多種數(shù)學思想方法，這就要求教師在解決數(shù)學問題的同時，還要對其所運用的數(shù)學思想方法進行提煉與總結(jié)，并不斷向?qū)W生滲透這種思想方法，使數(shù)學思想內(nèi)化為學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、轉(zhuǎn)化化歸思想方法

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思想策略，更是一種有效的數(shù)學思維方式。當面對數(shù)學問題時，若已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，使一種數(shù)學對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學對象。它們均是將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”、將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”、將“復雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”的解題方法。

在計算異分母的分式加減法時，首先要找到各分式的最簡公分母，將分式進行通分，進而將異分母的分式加減法轉(zhuǎn)化為同分母的分式加減法。同理，在解決分式方程問題時，第一個步驟就是將不熟悉的分式方程的等號兩側(cè)同時乘上分式的最簡公分母，由此可將分式方程問題轉(zhuǎn)化成較為熟悉的整式方程的問題，進而求解。這些過程都是將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，因此在教學過程中，教師應引導學生逐步思考，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式，提示學生運用已有知識解決新的問題。

再如求平行四邊形面積，在不知道平行四邊形的面積公式的情況下，通過演示割補、平移的過程，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為長方形問題，并且引導學生推導出平行四邊形的面積公式。這樣，在探究新知過程中，既能培養(yǎng)學生的探索精神，又能較好地培養(yǎng)學生的化歸意識。

二、分類討論思想方法

分類的思想是自然科學乃至社會科學研究中經(jīng)常用到的，又叫作邏輯劃分。不論從宏觀上還是從微觀上對研究對象進行分類，都是深化研究對象、發(fā)展科學必不可少的思想。因此分類討論既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學思想。當問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然后對每一類進行分別研究，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答。在初中階段的三角形和絕對值問題中，就存在需要分類討論的情況，此類問題往往有多解答案是學生沒有考慮全面的，因此較容易丟分。在平時的解題過程中，教師要注重培養(yǎng)學生學會對多種情況進行分析并分類求解，使學生會區(qū)分在何種情況下需要進行分類討論。

例1：在等腰三角形中，已知其中一個角的度數(shù)為30°，那么其他兩個角的度數(shù)為多少？

像此類三角形問題中，首先要分兩種情況討論：(1)頂角為30°；(2)底角為30°。尤其在做填空題時，多解問題是學生最易忽略的，因此在平時練習中，對于此類相關問題要不斷提醒學生要將三角形的種類考慮全面。

例2：若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，求|a+4|+|a-2|的值。

本題存在兩組絕對值，根據(jù)題意可知，需分三種情況討論：

(1)a=-4； (2)-4

在這三種情況下分別求值，最終綜合所有結(jié)果得出結(jié)論。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法

“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微。”數(shù)形結(jié)合的思想是重要的數(shù)學思想，將數(shù)量關系與空間形式巧妙地結(jié)合起來。在數(shù)學教材中，尤其注意這種思想的滲透，借助空間幾何直觀的特點，將數(shù)形結(jié)合的思想更好地反映出來。利用圖形的直觀性來體現(xiàn)出數(shù)量之間的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學概念和數(shù)量關系形象化、簡單化，實現(xiàn)代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化、相互滲透，為研究和探究數(shù)學問題開辟重要途徑。

在推導平方差公式和完全平方公式時，教材中從用兩種方法求出所給長方形的面積入手，再根據(jù)面積相等最終得出兩種結(jié)果相等，由此使學生自主探究，得出平方差公式和完全平方公式。在這一推導過程中，學生能很輕松地獲得新知，并且圖形的直觀性也能使學生進一步理解公式。

此外，在剛引入絕對值的知識點時，學生可能難以理解，如若引入數(shù)軸來直觀地觀察，絕對值的概念就能較為輕易地理解。找到數(shù)軸上的一個數(shù)所對應的點與原點的距離即為絕對值，利用數(shù)形結(jié)合的思想使學生理解絕對值的幾何意義的同時了解絕對值的意義。

在解決一元一次不等式的相關問題時，也可與一次函數(shù)圖像建立聯(lián)系。教師利用一次函數(shù)的圖像，對圖像與不等式間的關系進行適當聯(lián)系，在圖像中找出不同的x值所對應的y值情況，向?qū)W生展示分析過程。在傳授知識和做題過程中向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，使學生學會運用這種方法，在獨立解題過程中可以將抽象的數(shù)量問題利用直觀的圖形來找到答案。

四、函數(shù)與方程思想方法

所謂的方程思想也就是從分析問題的數(shù)量關系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關系通過適當設元建立起方程(組)，然后再通過解方程(組)使問題得到解決。這種思想方法是解決數(shù)量關系問題的一種非常基礎又有效可行的方法，由于它思路清晰、關系明確，多數(shù)學生習慣運用方程來解題，而這種思想在解決生活實際問題中也有著廣泛的應用。

例3：某電信公司有甲、乙兩種手機收費業(yè)務。甲種業(yè)務規(guī)定月租費10元，每通話1min收費0.3元；乙種業(yè)務不收月租費，但每通話1min收費0.4元。你認為何時選擇甲種業(yè)務更合算？何時選擇乙種業(yè)務更合算？

例4：某公司40名員工到一景點集體參觀，景點門票價格為30元/人。該景點規(guī)定滿40人可以購買團體票，票價打八折。這天恰逢婦女節(jié)，該景點做活動，女士票價打五折，但不能同時享受兩種優(yōu)惠，請你幫他們選擇購票方案。

在解決此類生活實際問題時，通常利用函數(shù)的思想方法，根據(jù)題意分別列出兩種情況下的函數(shù)關系式，再利用不等式的知識對兩個函數(shù)關系式進行比較，最終聯(lián)系實際得出答案。在教學過程中，應引導學生獨立找出題中的數(shù)量關系，并列出函數(shù)關系式，培養(yǎng)學生利用函數(shù)與方程的思想方法解決相關實際問題。

五、類比聯(lián)想思想方法

波利亞曾說過，“類比是一個偉大的引路人”。在研究某些數(shù)學問題時，通常根據(jù)知識間的相似點提出假設和猜想，從而把已知的知識類比推廣到類似的新問題中，促使發(fā)現(xiàn)新結(jié)論。可以說類比思想是一種猜想、推理，從一個已知的領域去探索另一個領域。類比的思想體現(xiàn)出“以舊引新”的原則，在教學過程中，提供學生思維發(fā)生的背景材料，回憶和利用舊知，引導學生利用已有知識去探索新知識。

在學生剛剛接觸分式，進行分式的加減法時可能存在一些困難。那么，可以類比分數(shù)的加減法，先進行通分，通分為同分母的分式時再進行運算。此時，不僅運用了類比較為熟悉的分數(shù)的思想方法，同時也運用了將異分母加減法轉(zhuǎn)化為同分母加減法的轉(zhuǎn)化的思想方法。而在研究分式的分母為何值才有意義時，也可以類比分數(shù)的情況，當分數(shù)分母不為0時，分數(shù)才有意義，同理分式的分母也不能為0。

在學習一次函數(shù)的時候，求函數(shù)解析式是利用待定系數(shù)法；研究函數(shù)圖像是通過“列表、描點、用光滑曲線連接”的方法畫出的。那么在學習反比例函數(shù)與二次函數(shù)時，完全可以類比一次函數(shù)來研究。

六、整體思想方法

整體思想就是根據(jù)題目與所求直接的聯(lián)系，通過整體處理來解決問題，從整體出發(fā)，再局部研究，最后再回到整體。解題過程中要具備整體觀念，很多數(shù)學思想都與其有著緊密的聯(lián)系。在考慮數(shù)學問題時，不著眼于它的局部特征，而是將著眼點放在問題的整體結(jié)構上，通過對其全面深刻的觀察，把彼此獨立但實質(zhì)上又相互緊密聯(lián)系著的量作為整體來處理，整體的思想在處理數(shù)學問題上應用廣泛。

例：甲、乙兩人相距100 km，兩人同時出發(fā)，相向而行，甲每小時走6 km，乙每小時走4 km；甲帶的一只狗，同甲一起出發(fā)，每小時走10 km，碰到乙時它往甲方向走，碰到甲時它又往乙方向走，如此連續(xù)往返，到甲、乙兩人相遇時，這只狗一共走了多少千米？

本題是有關整體思想方法的一道經(jīng)典例題，在讀題后學生往往沒有頭緒，不知小狗每次往返時甲、乙兩人相距多遠，如果能從整體入手，本題就極易理解了。首先將甲、乙二人看做為一個整體，那么兩人的總速度就為10 km/h，以此速度作為整體速度，那么這個速度走過100 km的路程所需的時間為10 h。而在此期間小狗一直在跑沒有停歇，那么小狗走的路程就能很輕易地利用小狗的速度和總時間得出100 km。

數(shù)學思想方法在數(shù)學體系中占據(jù)著重要地位，蘊含于數(shù)學基礎知識當中。在教材例題中，蘊含了化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、類比等多種數(shù)學思想方法。因此，在教學過程中，要挖掘教材中的思想方法，作為教師首先要更新觀念，提高對滲透數(shù)學思想方法的重要性的認識，提高對數(shù)學思想方法教學的自覺性。教師要重視和加強對學生數(shù)學思想方法的滲透與培養(yǎng)，通過解題與反思活動歸納、總結(jié)解題方法，切實把握好上述幾個典型的數(shù)學思想方法。注重滲透過程，使學生更加深刻地領會解題過程中隱含的思想方法以及由此形成的數(shù)學知識體系。同時，使學生學會舉一反三，感悟數(shù)學思想方法在解題過程中的重要作用。

[1]寧春芳.初中數(shù)學思想方法例舉[J].山西教育，2004，(2).

[2]錢佩玲.數(shù)學思想方法與中學數(shù)學[M].北京：北京師范大學出版社，2000.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

PromotingStudents’MathematicalThinkingMethodBasedonJuniorHighSchoolTextbooks

SHEN Yi-ping

(School of education and physical education, Bohai University, Jinzhou 121000, China)

Under the new curriculum idea, grasping mathematical thinking method is the essential condition to enhance the students’s mathematics literacy. In recent years, the proposition of high school/college entrance examination gradually tends to the application of mathematical thinking methods. It requires teachers to enhance the teaching consciousness of mathematical thinking, infiltrate the content of mathematical thought in the course of teaching,strengthen mathematical way of thinking in solving examples and gradually internalize mathematical thinking method.

mathematical thinking method; mathematical literacy; infiltrate

10.3969/j.issn.1008-6714.2017.10.038

G633.6

A

1008-6714(2017)10-0084-03

2017-06-07

申依平(1994—)，女，遼寧錦州人，碩士研究生，從事學科教學(數(shù)學)研究。

〔責任編輯：李海波〕