關于高中數學新舊教材“集合概念”編寫方式的比較分析

重慶市渝中區教師進修學院 (400015) 王躍輝

關于高中數學新舊教材“集合概念”編寫方式的比較分析

重慶市渝中區教師進修學院 (400015) 王躍輝

集合論的語言是數學通用的標準化語言，集合的理論已成為現代數學的基礎理論．因此，不論是《全日制普通高級中學數學教科書》(以下簡稱舊教材)，還是《普通高中課程標準實驗教科書》(以下簡稱新教材)，都把它作為高中數學學習的第一個內容來安排．但是，新舊教材在處理“集合”概念這一內容時，由于其描述方式和編寫方式的不同，導致教師的教學理念和學生的學習理解也會發生變化．為幫助教師更好地分析、理解教材和創造性地使用教材，在課堂教學中更好地體現新課程理念，達成課程預期目標，本文將對其進行比較分析，進而給出在新課程背景下“集合”概念教學的一種設計流程圖，供大家教學時參考．

1．集合知識編排的處理分析

眾所周知，由于集合論具有高度的抽象性和概括性，因而學生很難對其理解、掌握和應用．為了解決這些問題，現行的中小學數學教材把集合論的知識分成三個階段，讓學生逐步理解和掌握．

在小學階段，教材主要采用滲透集合思想的方式，用集合的圖示法讓學生直觀理解和體會集合思想方法的作用．如，小學在講數的加法時就用了集合的并集思想，在講數的減法時就用了集合的差集思想，而在講兩數的最小公倍數和最大公約數時則用了集合的交集思想．在初中階段，教材進一步向學生介紹一些具體的集合，并用集合來定義數學概念，但不涉及集合的意義，只要求學生對集合有比較具體的認識即可．如，在初中代數中向學生介紹了“自然數的集合”、“有理數的集合”、“不等式解的集合”等，在平面幾何中講圓的概念和線段的垂直平分線的概念時，都用集合來定義．到了高中階段，教材才讓學生系統地學習集合論的初步知識．這種螺旋式上升的處理方式既考慮了各個階段學生的年齡特點和心理特征，又考慮了學生的認知水平和能力，對于學生理解和掌握集合起到了很好的作用．

2．集合概念描述的比較分析

集合是一個原始概念，不能用其它數學概念來加以嚴格定義，只能用自然語言給予描述和解釋．由于人們理解的角度不同，因而就有不同的描述或解釋方式，新舊教材也正好反映了這一事實．其中，舊教材把集合表述為“某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集．集合中的每一個對象叫做這個集合的元素．”而新教材則把集合表述為“我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集．”這兩種表述，哪一種更能反映集合的本質屬性，更有利于學生對集合概念的理解和掌握呢？試做如下比較分析：

從形式上看：一是兩種方式中集合與元素的描述順序相反．舊教材需要學生先把“對象”轉化為“元素”才能理解“集合”的概念，給學生造成理解障礙，而新教材卻不需要學生去進行這種“轉化”；二是舊教材的表述直觀，易被學生接受，而新教材的表述過于簡單，比較抽象，不如舊教材的表述直觀；三是新教材采用了“…叫做…”的表述方式，這是在對數學概念下定義，“描述”和“解釋”的味不如舊教材．

從內容上看：一是舊教材用“集”來說明什么是“集”，其中前一個“集”是動詞，后一個“集”是名詞．這種多義詞在一個數學概念描述中同時出現，容易引起歧義，也有循環定義之嫌，不利于學生理解其概念；二是新教材的表述中，也存在兩個問題：首先是量詞“一些”用法不準確，從字面上理解“一些”應該是不止一個且有限，而集合中的元素個數可以只有一個或有限個(兩個以上)，甚至是有無限個，集合中也還可以不含任何元素；其次是定義中的“一些元素”沒有要求“具有某種共同屬性”，不能很好地反映集合的本質屬性，容易使學生對“集合”概念造成錯誤的認識．

為此，建議教材編寫者在對教材修訂時采用這樣一些描述方式： “一般地，我們把研究對象統稱為元素，把某些確定的元素合在一起就成為一個集合”、“ 一般地，我們把研究對象統稱為元素，把滿足某種條件的元素合在一起就成為一個集合”、“一般地，我們把研究對象統稱為元素，把具有某種屬性的元素并在一起就成為一個集合”，……．

3．教材編寫方式的比較分析

3．1 開章引言的比較分析

新教材在開章引言中簡明扼要地對集合的本質、地位和作用做了一些具體說明，讓學生了解集合論是數學研究的一個基本工具，使學生明白將要學習的集合知識對數學的后續學習的重要性．

舊教材在開章引言中以問題“學校舉辦了一次運動會，某班有8名同學參賽；又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參賽，兩次運動會這個班共有多少名同學參賽？”著手，讓學生通過問題的解決了解將要學習的新知識是與生活有關的，它可以幫助我們解決生活中類似的問題．這個問題情境的設計，較好體現了高中數學新課標對教材編寫的建議:“教材應注意創設情境,從具體實例出發,展現數學知識發生,發展的過程,使學生能夠從中發現問題,提出問題,經歷數學的發現和創造過程,了解知識的來龍去脈.”不僅讓學生一進入高中數學學習就明白高中數學知識是有用的，從而激發學生學習的求知欲，提高學生數學學習的自覺性，而且也在小學數學與中學數學之間建立了一定的聯系，使小學數學與中學數學的銜接自然、流暢．

由上可知，新教材重理論體系，給學生傳遞的信息是為了學好后繼知識而學數學．舊教材盡管僅以“集合的初步知識是高中數學學習的重要基礎”一帶而過，沒有對其進行具體闡述，但是所給問題情境卻把新知識與生活聯系了起來，體現了數學與生活的關系，發展了學生的應用意識，凸顯了數學向生活世界回歸．因此，在開章引言的處理方式上舊教材比新教材要好．

3．2 正文編寫的比較分析

舊教材首先指出：“在初中數學中，我們已經接觸過‘集合’一詞．”然后列舉了初中數學代數和幾何中的一些具體集合，最后給出集合概念的描述．

新教材則是首先指出：“在小學和初中，我們已經接觸過一些集合．”然后列舉了初中數學代數和幾何中的一些具體集合，同時還從數學的角度、生活的角度、生產的角度和科技的角度等列舉了8個集合的例子，然后給出集合概念的描述．

下面就這兩種不同的處理方式做如下分析：

第一，兩種教材都注重初高中數學知識的銜接，新教材還注意新知識與小學數學的聯系，但兩種教材的導言都存在表述不夠嚴謹的情況．一方面，從前面對中小學數學教材中集合內容的處理方式分析可知，在小學只是向學生滲透了集合的思想方法，學生在運用集合思想方法的過程中并沒有“接觸過一些集合”；另一方面，學生在初中數學中不僅知道了一些具體的集合，而且還知道了一些用集合定義的數學概念，不僅僅只是“接觸過‘集合’一詞”．

第二，兩種教材都關注學生的已有知識經驗，尤其是新教材還關注學生的生活經驗．因此，它們都要求教師的教學要從學生的已有經驗出發，通過對已有的一些具體集合實例的分析與研究，去揭示集合的本質屬性．

第三，兩種教材都采用特殊與一般的方法來編寫，注重對數學思想方法的滲透．它要求教師的教學要從具體實例中抽象概括出集合的概念，向學生滲透特殊與一般的數學思想方法，讓學生經歷概念的抽象概括過程．

由上可知，舊教材從例子到集合概念是一個從數學到數學的過程，它關注的是學科本身．盡管它對學生的數學能力培養有一定的幫助，但缺少數學與生活、與社會、與相關學科和與科技領域等的聯系．陶行之先生說：“沒有生活做中心的教育是死教育．沒有生活做中心的學校是死學校．沒有生活做中心的書本是死書本．”然而，新教材在這方面卻做了很好的彌補．這兩種不同的編寫方式也正反映了兩種不同的教材觀．

4．教學設計流程建議

根據以上分析，我們給出如下圖所示的教學設計流程圖，供大家教學時參考．

第一步，創設問題情境：教師根據學生的生活經驗創設一個能采用集合的圖示法解決的問題，以此引出本節課的課題．

第二步，列舉集合實例：包括日常生活、相關學科、科技領域等方面的例子．

第三步，研究集合中的對象：主要讓學生通過對所列集合實例的研究，揭示集合的本質屬性，讓學生明確“集合”與組成集合的“元素”具體是什么對象無關緊要，但同一個集合中的元素都具有共同的屬性或滿足相同的條件，為概念的形成做準備．

第四步，描述集合概念：要求學生采用特殊與一般的方法給出集合的描述性定義．