問題引領(lǐng) 自主建構(gòu)*
——聽“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像”課有感

江蘇省丹陽市第五中學(xué) (212300) 李 萍 王圣光

問題引領(lǐng) 自主建構(gòu)*
——聽“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像”課有感

江蘇省丹陽市第五中學(xué) (212300) 李 萍 王圣光

筆者有幸參加了“2015年江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課觀摩與評比”活動，觀摩了6節(jié)風(fēng)格迥異且精彩紛呈的“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像”，感受頗深，下面結(jié)合這6節(jié)課，筆者談一些粗淺的看法：

1.讓抽象成為一種意識

精彩片段一

課例A課例B (投影)展示鹽城市某公園摩天輪運(yùn)動的動畫.師:這是鹽城市某公園的摩天輪在周而復(fù)始的轉(zhuǎn)動,你能否用數(shù)學(xué)的眼光觀察它呢?(簡潔明了,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界)生1:可以把它看作是一個點(diǎn)的運(yùn)動,它的軌跡是一個圓.師:回答的很好,為了研究問題方便,我們將這個圓放在平面直角坐標(biāo)系xOy中,使圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(如圖所示),設(shè)P0為圓O上一定點(diǎn),∠P0Ox=φ,動點(diǎn)P從P0點(diǎn)開始沿圓O逆時針轉(zhuǎn)動,角速度為ω,則在第t秒時,以x軸的非負(fù)半軸為角的始邊,射線OP為終邊的角是多少?生2:ωt+φ.師:很好!若設(shè)圓O的半徑為A,此時動點(diǎn)P的縱坐標(biāo)又是多少呢?生3:y=Asin(ωt+φ).…… (投影)利用畫圖軟件展示彈簧振子的運(yùn)動隨時間的變化形成的曲線.師:這種運(yùn)動就是我們在物理中學(xué)習(xí)的簡諧運(yùn)動,位移s和時間t的關(guān)系為s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),其中:A為振幅;T=2πω為周期;f=1T為頻率;ωt+φ為相位;φ為初相.在物理和工程技術(shù)的許多實(shí)際問題中,經(jīng)常會遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù),我們該如何研究它呢?……

評析:(1)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中要求教學(xué)要"結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義".上述兩個課例都是通過創(chuàng)設(shè)問題情境建立函數(shù)模型，從直觀上感受y=Asin(ωx+φ)的實(shí)際意義，激發(fā)學(xué)生的求知欲.課例A是教師通過問題串的引領(lǐng)，層層遞進(jìn)巧妙的抽象出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)；課例B是直接從物理學(xué)知識將所得函數(shù)從具體實(shí)例中抽象出來，兩者都注意到了培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題"數(shù)學(xué)化"的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界的意識，培養(yǎng)學(xué)生的抽象意識.

(2)課例A所設(shè)計的問題串需要學(xué)生主動參與、主動思考才能獲得函數(shù)模型，體現(xiàn)了學(xué)生的主體參與地位，符合建構(gòu)主義教學(xué)理論；課例B是直接從物理學(xué)知識將所得函數(shù)從具體實(shí)例中抽象出來，忽略了學(xué)生的思維過程，不利于學(xué)生思維能力的提升，事實(shí)上，課后筆者詢問本班學(xué)生，他們物理上還沒有講到簡諧運(yùn)動部分.

(3)課例B抽象出函數(shù)s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)后，直接給出了名詞“振幅”“周期”“頻率”“相位”“初相”的解釋，當(dāng)然教材中也是這樣設(shè)計的，但這可能是不合時宜的，因?yàn)樗麄兾锢砩线€沒有講到簡諧運(yùn)動部分，僅僅通過一個具體實(shí)例還不能使學(xué)生對s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)這一周期現(xiàn)象從心理上認(rèn)可，筆者認(rèn)為當(dāng)學(xué)生對函數(shù)s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)有了進(jìn)一步的認(rèn)識后再介紹這些名詞效果可能會更好，可以做到既忠于教材，又不拘泥于教材.

2.讓探究成為一種習(xí)慣

精彩片段二

師：我們抽象出了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，接下來我們該如何研究它呢？(引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界)

生4：研究它的性質(zhì).

師：如何研究它的性質(zhì)？

生5：畫圖像.

師追問：怎么畫它的圖像？

生6：五點(diǎn)作圖法.

生7：可以通過計算機(jī)作圖.

師：很好！通過高科技手段作圖.

師繼續(xù)問：還有哪位同學(xué)要補(bǔ)充？

(教室靜，學(xué)生在思考，此時無聲勝有聲！)

教師適時提示：我們在研究指數(shù)函數(shù)時是怎樣研究函數(shù)y=2x與函數(shù)y=2x-2,y=2x+2的關(guān)系的(蘇教版必修1第66頁例3)？

生8：哦，圖像變換！

師：大家提供了三種作圖的方法，哪一種比較合適呢？

生9：可以像原來(研究函數(shù)y=2x與函數(shù)y=2x-2,y=2x+2的關(guān)系)那樣，通過描點(diǎn)作圖，來研究圖像變換，再通過計算機(jī)作圖驗(yàn)證.

師：用原來的方法研究遇到的新問題，這也是我們研究問題常用的方法，既然如此，這個函數(shù)可以通過哪個函數(shù)變換得到？

生齊答：y=sinx.

師：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)有三個參數(shù)A,ω,φ，我們先研究哪個呢？

生10：y=sin(x-φ)與y=sinx的關(guān)系.

師：很好！將復(fù)雜的問題簡單化 ，下面大家開始分小組探究吧.

(大約3分鐘后，教師讓學(xué)生實(shí)物投影研究成果并加以解釋.)

……

精彩片段三：

師：剛才這位同學(xué)用五點(diǎn)作圖法作出函數(shù)圖像，得出了函數(shù)y=sin(x-1)的圖像是由函數(shù)y=sinx的圖像向右平移1個單位長度而得到的，然后又歸納出函數(shù)y=sin(x-φ)的圖像是由函數(shù)y=sinx的圖像向右(φ>0)或向左(φ<0)平移|φ|個單位長度而得到的，由具體的例子歸納出一般性的結(jié)論，由特殊到一般，非常棒！但是，這位同學(xué)著重強(qiáng)調(diào)了這五個點(diǎn)的變化情況，其它的點(diǎn)是不是也是這種變化呢？哪位同學(xué)可以補(bǔ)充說明？

生11：多找?guī)讉€點(diǎn)驗(yàn)證.

師追問：多找?guī)讉€點(diǎn)就可以說明圖像上的所有點(diǎn)都是這樣變化的嗎？我們以前遇到過類似的問題嗎？

師：(生思考大約1分鐘，師提示)比如函數(shù)的單調(diào)性的定義中的“任意的兩個值”我們是怎樣處理的？

生12：找代表！

師：你能不能證明給大家看呢？

生12：可以，設(shè)點(diǎn)P(t,sint)是函數(shù)y=sinx的圖像上的任意一點(diǎn)，向右平移1個單位長度后得到點(diǎn)P′(t+1,sint)，經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)P′在函數(shù)y=sin(x-1)的圖像上，所以是向右平移1個單位.

師：通過點(diǎn)P(t,sint)的任意性證明了我們的猜想，你能不能描述的再規(guī)范點(diǎn)呢？(引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界)

生12：函數(shù)y=sin(x-1)的圖像是由函數(shù)y=sinx的圖像上的所有的點(diǎn)向右平移1個單位長度而得到的.

師：非常棒！

……

評析:(1)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，…，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”這部分教學(xué)采用了教師引導(dǎo)，學(xué)生合作探究的形式，讓學(xué)生體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的歷程，培養(yǎng)了學(xué)生的合作交流的意識、探究意識和創(chuàng)造意識.

(2)探究內(nèi)容是建立在學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)y=sinx的概念、圖像和性質(zhì)以及函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖像和函數(shù)圖像的平移變換(特別是學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時掌握了函數(shù)y=2x與函數(shù)y=2x-2,y=2x+2的關(guān)系)的基礎(chǔ)上，教師采用了逐步設(shè)疑、誘導(dǎo)、解疑，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，由學(xué)生主動建構(gòu)研究問題的方法，用合作探究的方式去解決問題.這恰是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論所主張的“學(xué)習(xí)不是由教師直接傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己主動建構(gòu)知識的過程，這種建構(gòu)無法由他人來替代”的體現(xiàn).

美中不足的是，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用圖像變換的知識研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)與y=sinx的關(guān)系后，雖然學(xué)生說出了先研究函數(shù)y=sin(x-φ)與y=sinx的關(guān)系，但是學(xué)生真的清楚為什么先研究這兩者的關(guān)系嗎？學(xué)生是不是預(yù)習(xí)時從書上看到的呢？

筆者認(rèn)為，教師此時應(yīng)追問為什么要先研究這兩者之間的關(guān)系，學(xué)生如果回答不出來，教師再適時加以引導(dǎo)：我們以前研究過含多參數(shù)的函數(shù)嗎？(學(xué)生應(yīng)該能聯(lián)想到二次函數(shù))當(dāng)時我們采用了什么方法來研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與y=x2的關(guān)系？

經(jīng)過這樣的引導(dǎo)，學(xué)生更容易領(lǐng)悟到多參數(shù)問題需要采用“分而治之，各個擊破”的方法研究.

(3)在探究過程中，師生共同經(jīng)歷了“觀察——猜想——驗(yàn)證——?dú)w納——總結(jié)”這一數(shù)學(xué)過程，教師讓學(xué)生體驗(yàn)了研究問題的過程，學(xué)生學(xué)到了研究問題的一般方法：復(fù)雜——簡單——復(fù)雜，一般——特殊——一般.

(4)當(dāng)學(xué)生遇到困難時，教師并沒有直接告知答案，而是謹(jǐn)慎的啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生的思考，“我們以前遇到過這類問題嗎？函數(shù)的單調(diào)性的定義中的“任意的兩個值”我們是怎樣處理的？”教師充分借助學(xué)生已有的發(fā)展水平，立足“最近發(fā)展區(qū)”，通過謹(jǐn)慎的提示，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，促進(jìn)學(xué)生積極的思考，在問題串的引領(lǐng)下實(shí)現(xiàn)問題的發(fā)展，培養(yǎng)了學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題的能力，提升了學(xué)生的思維品質(zhì).

(5)本探究過程經(jīng)歷了下面四個階段：

①理解問題：從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)后，我們該如何研究它呢？它的性質(zhì)如何呢？我們該通過什么方法研究它的性質(zhì)呢？它的圖像是怎樣的呢？我們怎么畫出它的圖像呢？這一系列的問題呈現(xiàn)在我們面前，我們應(yīng)該先研究哪個呢？師生共同發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像是這些問題的基礎(chǔ)，進(jìn)而決定本節(jié)課研究的重點(diǎn)是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像.

②擬定計劃：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)受A,ω,φ三個參數(shù)的影響是作圖的難點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：我們以前研究過含多參數(shù)的函數(shù)嗎？當(dāng)時我們采用了什么方法來研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與y=x2的關(guān)系？最終確立了采用“分而治之，各個擊破”的方法作圖，擬定了作圖計劃，突破了難點(diǎn).

③執(zhí)行方案：怎么分別研究y=sin(x+φ),y=Asinx,y=sinωx呢？作圖過程讓學(xué)生經(jīng)歷了“觀察——猜想——驗(yàn)證——?dú)w納——總結(jié)”的數(shù)學(xué)活動，歸納出一般的結(jié)論.

④回顧反思：由五點(diǎn)作圖法得出的結(jié)論正確嗎？由計算機(jī)作圖給我們的直觀感受是對的嗎？能否有更深入的思考？圖像的變換歸根結(jié)底是點(diǎn)的變換，通過圖像上任意一點(diǎn)的平移去理解圖像的平移，加深了學(xué)生的理性思考，從而實(shí)現(xiàn)了從“形”到“數(shù)”的突破，使學(xué)生達(dá)到心理上的認(rèn)可，也培養(yǎng)了學(xué)生的質(zhì)疑精神.

這四個階段也是波利亞在《怎樣解題》一書中提到的解題的四個階段.這四個階段具有普適性，我們可以把它應(yīng)用到各種各樣的問題中，代數(shù)的、幾何的；數(shù)學(xué)的、非數(shù)學(xué)的；理論的、實(shí)際的等等，為學(xué)生今后解決問題提供了行之有效的思維模式.

3.讓回歸成為一種理念

3.1 回歸問題本質(zhì)

通過五點(diǎn)作圖法或者用幾何畫板作出的函數(shù)圖像可以直觀的看出函數(shù)y=sin(x-1)的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生，回歸到圖像的本質(zhì)：圖像的變換歸根結(jié)底是點(diǎn)的變換.通過圖像上任意一點(diǎn)的平移去理解圖像的平移，加強(qiáng)了學(xué)生的理性思考能力，使“回歸問題的本質(zhì)”這一理念給學(xué)生留下更深刻的印象.

通過探究，師生先從“形”的角度對兩個函數(shù)圖像的關(guān)系有直觀的認(rèn)識，又從“數(shù)”的角度理性的詮釋了兩函數(shù)圖像之間的關(guān)系，如果此時教師能夠乘勝追擊，將結(jié)論拓展到一般情形，即函數(shù)y=f(x-a)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像有什么關(guān)系？這樣，可以實(shí)現(xiàn)從“形”到“數(shù)”再到“形”的轉(zhuǎn)化.就像我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，能讓學(xué)生感悟到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從而回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)——數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與幾何圖形的科學(xué).

3.2 回歸問題情境

回歸到引入課題時的問題情境，首先，讓學(xué)生了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在現(xiàn)實(shí)生活和物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，如：彈簧振子、單擺、潮汐、波的傳播、交流電……這些現(xiàn)象都與簡諧運(yùn)動有關(guān)，可以利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的知識來分析和理解；其次，介紹簡諧運(yùn)動，給出“振幅”“周期”“頻率”“相位”“初相”等概念，讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活”的理念.

結(jié)束語

本節(jié)課采用“教師問題引領(lǐng)，學(xué)生自主建構(gòu)”的課堂模式，在教師問題串的引領(lǐng)下，學(xué)生自主地感受問題、發(fā)現(xiàn)問題、探究問題，為學(xué)生提供自由表達(dá)、探究、討論的機(jī)會，學(xué)生通過個人研究、小組討論等多種活動，實(shí)現(xiàn)知識的建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生知識、技能、情感的全面發(fā)展.

貫穿于本節(jié)課的主線有兩條：一條明線，一條暗線.明線是指知識的呈現(xiàn)，本節(jié)課從內(nèi)容上向?qū)W生呈現(xiàn)了三種變換：相位變換、周期變換和振幅變換.暗線是指在學(xué)生自主建構(gòu)知識的同時，教師潛移默化的將研究問題的一般方法：復(fù)雜——簡單——復(fù)雜，一般——特殊——一般蘊(yùn)含在其中，將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想滲透給學(xué)生. 正可謂：“授人以魚，不如授之以漁，授人以魚只救一時之急，授人以漁則可解一生之需.”這為學(xué)生的終身發(fā)展奠定了基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)常常在人們意想不到的地方存在著奇妙的聯(lián)系，經(jīng)過科學(xué)認(rèn)真的思考，就有可能揭示其規(guī)律，有所發(fā)現(xiàn).若教師能將這種方法論傳遞給學(xué)生，并推而廣之，必將在培養(yǎng)學(xué)生的理性思維、獨(dú)立發(fā)現(xiàn)客觀世界的規(guī)律方面發(fā)揮更大的作用.

[1]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]渠東劍. 基于整體把握教材結(jié)構(gòu)的教學(xué)——以函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬,2015(7):18-20.

[3]波利亞. 怎樣解題[M].閻育蘇譯.北京:科學(xué)出版社,1982.

*本文系江蘇省鎮(zhèn)江市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃青年專項(xiàng)課題“在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性的研究”的部分成果 ，課題主持人：王圣光.