兩道奧數題的簡潔解法

湖南省湘西州民族中學 (416000) 劉文生

兩道奧數題的簡潔解法

湖南省湘西州民族中學 (416000) 劉文生

本文給出2015年國際奧林匹克第5題與第6題的簡潔解法，供大家參考.

第5題 設R是全體實數的集合，求所有的函數f:R→R，滿足對任意實數x,y，都有f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)(1)

解：當x=y=0時，由(1)得f(f(0))=0.據此，當x=0,y=f(0)時，f(x+y)=f(f(0))=0，此時，(1)式成為f(0)+f(0)=f(0)f(0).

由此得f(0)=0或f(0)=2,當f(0)=0時，令y=0，由(1)可知，對任意實數x，有f(x+f(x))=x+f(x)，顯而易見，f(x)=x.當f(0)=2時，f(2)=f(f(0))=0，令y=0，由(1)可知,對任意實數x，有f(x+f(x))+2=x+f(x).

顯而易見x+f(x)=2，即f(x)=2-x.由上可知，所求函數為f(x)=x與f(x)=2-x.

第6題 整數序列a1,a2,……滿足下列條件：

(1)對每個整數j≥1，有1≤aj≤2015;

(2)對任意整數1≤k

證明：由(1)對每個整數j≥1，有1≤aj≤2015可知，存在正整數N,使得aN=2015.由(2)可知l>k時，al≥ak(由k+ak≠l+al，即al-ak≠k-l<0,所以al-ak≥0,al≥ak).

由上可知，題設中的10072可以改為任意的非負數.