例析二次函數零點式在解題中的妙用

浙江省湖州二中 (313000) 胡志杰

例析二次函數零點式在解題中的妙用

浙江省湖州二中 (313000) 胡志杰

二次函數內容是高中數學教學的重點之一，也是歷年高考必考考點之一.而對于二次函數的認識，許多人僅僅停留在一般式y=ax2+bx+c(a≠0)與頂點式y=a(x-h)2+k(a≠0)上，卻忽略了它的另一種重要的零點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).在解決函數問題時，解題方法的選擇尤為重要，恰當的方法可助考生節時省力，秒殺考題，并常讓人有“柳暗花明又一村”的感慨.

一、妙解函數題

例1 (2016湖州市高中數學競賽第17題)已知二次函數f(x)=x2+bx+c(b,c∈R).若方程f(x)=0在[0,1]上有兩個實數根，求b+c的取值范圍.

分析：考生反映該題解答費時，多數考生采用的方法是線性規劃，確實有點“煩”.若能觀察到f(1)中含有b+c，再配合零點式，即可妙解此題.設f(x)的兩個零點分別為x1,x2，則f(x)=(x-x1)(x-x2)，不妨設x1∈[0,1],x2∈[0,1].因為f(1)=(1-x1)(1-x2)，且1-x1∈[0,1],1-x2∈[0,1]，所以f(1)=1+b+c∈[0,1]，所以b+c∈

[-1,0].

例2 (2016年稽陽聯考第17題)已知關于x的方程ax2+bx+c=0(a>0,b,c∈R)有實數根且均在區間(0,2)內.若c≥1,25a+10b+4c≥4，求a的最小值.

二、妙解不等式

(1)若f(x)在x=1和x=3處取得極值,試求b、c的值；

(2)若f(x)在x∈(-∞,x1),(x2,+∞)上單調遞增且在x∈(x1,x2)上單調遞減,又滿足x2-x1>1,求證：b2>2(b+2c)b；

(3)在(2)的條件下，若t

分析：(1)(2)略，(3)以三次函數作背景，通過導函數對應的方程轉化為一元二次方程根與系數關系，化系數為根表示，利用根所滿足條件使問題得證.

f′(x)=x2+(b-1)x+c，在(2)的條件下設x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x，所以(t2+bt+c)-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1，∵x2>1+x1>1+t，∴1+t-x2<0，∵00，即t2+bt+c>x1.

三、妙解解析幾何

例5 (2012年重慶卷)這橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為F1、F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1、B2，且ΔABC的面積為4.

(1)求該橢圓的離心率和標準方程；

(2)過B1做直線l交橢圓于P、Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程.

分析：本題傳統思路是設直線方程后與橢圓方程聯立，并通過韋達定理得到x1+x2、x1x2，代入PB2⊥QB2條件后進行求解.然讀者若進行驗算即可發現，其化簡過程極其繁瑣，在考試限時環境下難以完成，若采用二次函數零點式可大大降低化簡難度.

(2)易得B1(-2,0)，B2(2,0).

當l⊥x軸時，顯然不成立；當l不垂直于x軸時，設l=k(x+2)，P(x1,y1),Q(x2,y2),由PB2⊥QB2，得(x1-2)(x2-2)+y1y2=0?(x1-2)(x2-2)+k2x1x2=0①,

事實上，在解析幾何中，只要有PA⊥PB的條件翻譯后(其中P為已知點，A、B為直線與曲線的交點)，就可以用二次函數零點式簡化過程.

本文筆者所提到的方法，并不是追求高難度的解題技巧，而是著意于解題工具的選擇，著意于數學問題的理解，揭示數學本質，看出題目的結果.在實際操作中，讀者需多種方法雙管齊下，方可所向披靡.

[1]葉興炎，二次函數零點式：平凡亦不凡[J].中學數學教學，2015,1(39).

[2]高考數學研究組，浙江高考數學2014一路走來——浙江省高考數學解析[M].浙江：浙江大學出版社，2016.