賞析“新定義型”數列

浙江省金華市第六中學 (321000) 胡奇寶

賞析“新定義型”數列

浙江省金華市第六中學 (321000) 胡奇寶

近年來，全國各地高考試題或各地模擬試題中出現了一種“新定義型”數列，這種數列問題情境新穎，閱讀量明了簡短，讓答題者眼前一亮的同時猶如一股清新之風迎面吹來，令人神清氣爽.在領略了題目的真意之后，更體會到了命題人的匠心獨具和創新精神．

“新定義型”數列給出一種不同于常規的新概念、新性質、新運算、新符號，旨在考查學生對數學基礎知識、基本方法、基本技能的掌握情況,而且考查了學生的創新思維能力.正是由于這種總攬各種知識方法、能力的特點使得“新定義型”數列，如同一朵清新的小花成為全國各地考題的新寵．現采擷幾朵與同行交流欣賞，不妥之處請批評斧正．

一、無窮互補數列

題1 對于無窮數列{an}與{bn}，記A={x|x=an,n∈N*,B={x|x=bn,n∈N*},若同時滿足條件：①{an}，{bn}均單調遞增；②A∩B=?且A∪B=N*,則稱{an}與{bn}是無窮互補數列．

(1)若an=2n-1,bn=4n-2,判斷{an}與{bn}是否為無窮互補數列，并說明理由；

(2)若an=2n且{an}與{bn}是無窮互補數列，求數列{bn}的前16項的和；

(3)若{an}與{bn}是無窮互補數列，{an}為等差數列且a16=36,求{an}與{bn}的通項公式．

解析：(1)因為4?A,4?B,所以4?A∪B,從而{an}與{bn}不是無窮互補數列．

(3)設{an}的公差為d,d∈N*,則a16=a1+15d=36．

評注：要證明一個結論不正確，只要舉出一個反例即可，而要證明結論正確，必須經過嚴格的推理論證．

二、H數列

題2 設數列{an}的前n項和為Sn，若對任意正整數n，總存在正整數m，使得Sn=am，則稱數列{an}是“H數列”.

(1)若數列{an}的前n項和Sn=2n(n∈N*),證明: 數列{an}是“H數列”;

(2)設數列{an}是等差數列,其首項an=1，公差d<0.若{an}是“H數列”,求d的值；

(3)證明：對任意的等差數列{an}，總存在兩個“H數列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)成立.

評注：本題簡潔明了，計算并不復雜，著力考查學生探究能力、推理論證能力.把一個等差數列“分解”成兩個“H數列”，就構造適合條件的數學對象而言，本身就蘊涵著創造，“分解”答案不唯一，這正是本題的魅力所在.

三、T數列

(1)若an=-n2+9n,(n∈N*)，證明：數列{an}是T數列；

綜上，數列{an}是T數列．

評注：本題背景新穎，設問流暢，層次感強．命題者設計了關聯程度高的三個問題，使本題有較強的區分度、效度和信度．第一小問是新定義數列的簡單應用；第二小問是給出一個具體數列，滿足T數列的條件，求出參數M的取值范圍；第三小問則要求解題者能夠靈活使用作差法，熟練運用分類討論的數學思想方法，有一定的難度．

四、p-擺動數列

題4 定義數列{xn}，如果存在常數p，使對任意正整數n，總有(xn+1-p)(xn-p)<0成立，那么我們稱數列{xn}為“p-擺動數列”．

(2)設數列{cn}為“p-擺動數列”，c1>p,求證：對任意正整數m,n∈N*，總有c2n

(3)設數列{dn}的前n項和為Sn，且Sn=(-1)n·n,試問：數列{dn}是否為“p-擺動數列”，若是，求出p的取值范圍；若不是，說明理由.

解析：(1)假設數列{an}是“p-擺動數列”，即存在常數p，總有2n-1

(2)由數列{cn}為“p-擺動數列”，c1>p,即存在常數p，使對任意正整數n，總有(cn+1-p)(cn-p)<0成立.即有(cn+2-p)(cn+1-p)<0成立.則(cn+2-p)(cn-p)>0，所以c1>p?c3>p?…?c2n+1>p,同理(c2-p)(c1-p)<0?c2

(3)當n=1時，d1=-1,當n≥2,n∈N*時，dn=Sn-Sn-1=(-1)n(2n-1).綜上，dn=(-1)n(2n-1),即存在p=0，使對任意正整數n，總有dndn+1=(-1)2n+1(2n-1)(2n+1)<0成立，所以數列{dn}是“p-擺動數列”；

當n為奇數時dn=-2n+1遞減，所以dn≤d1=-1,只要p>-1即可，當n為偶數時dn=2n-1遞增，dn≥d2=3,只要p<3即可.

綜上-1

評注：從學習數列的角度看，強調數列是特殊的函數，就是說研究數列可以借鑒函數的方法來研究項(通項)與項數間的關系和項與項間的(遞推)關系．本題既考查了兩個特殊數列(等差、等比)及研究問題的方法，又考查了研究數列的核心問題(通項、遞推)．以課本擺動數列的定義為線索，改變題目原有的呈現形式，來實現對教材中問題的適當延伸或拓展．

五、ω域收斂數列

所以，當-n2+5>0?n≤2時，|bn+1|>|bn|;同理可得，-n2+5<0?n≥3時，|bn+1|<|bn|.即數列{|bn|}在n=1,2,3時，遞增；n≥4時，遞減；即|b3|是數列{|bn|}的最小值．

評注：本題以“ω域收斂數列”為載體，融合了數列單調性﹑分類討論等知識與思想方法，著重考察了學生閱讀、分析、理解能力，是一道不可多得的新定義型試題.

后記：以上“新定義型”數列題考查了學生閱讀和理解能力，同時考查了學生對新知識、新事物接受能力和加以簡單運用的能力，考查了學生探究精神．要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進行遷移，即讀懂和理解新定義，獲取有用的新信息，然后運用這些有效的信息進一步推理，綜合運用數學知識解決問題的能力和探索能力(多想少算甚至不算)．因此，“新定義型”數列在高考中常有體現，是一種用知識歸類、套路總結、強化訓練等傳統教學方法卻難以解決高考中不斷出現的新穎試題．