2016年北京理科第19題的再探究

北京市第十二中學 (100071) 劉 剛 趙 毅

2016年北京理科第19題的再探究

北京市第十二中學 (100071) 劉 剛 趙 毅

1.試題回放

2016北京理科第19題是：

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N．求證：|AN|·|BM|為定值．

文[1]用了三種解法得出了該題(Ⅱ)問的答案，并推廣得到了下面的定理：

實際上，定理中A,B兩個點為一組特殊共軛直徑的頂點，如果A,B為任意一組共軛直徑的頂點，也會有相應的結論．

2.再探究

圖1

證明:(1)當AD，BC有一直徑所在直線斜率為0時，同上述定理，即|AN|·|BM|=2ab，所以結論成立；

因為|b2mx0+a2ny0-a2b2|·|nx0-my0+ab|=

=2|OA|·|OB|．當x0=m時，經檢驗結論也成立．綜上|AN|·|BM|=2|OA|·|OB|．

[1]夏迎雪，于興江．實踐剖析 突破定值問題——2016北京理科第19題的多解及探究[J]．中學數學研究(江西)，2016,9．