一道模擬調研填空題的多視角求解

江蘇省常州市田家炳高級中學 (213000) 徐 穎

一道模擬調研填空題的多視角求解

江蘇省常州市田家炳高級中學 (213000) 徐 穎

美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題.當遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這僅僅只是解出來，并沒有真正意義上弄懂它，只有對數學思想方法理解透徹，會舉一反三時，才能提出新看法、巧解法.近年數學高考十分重視對于數學思想方法的考查，尤其突出對能力的考查，其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法.我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題、解決問題.高中數學思想方法有很多，這里重點說說換元法.

換元法又稱為“變量代換法、輔助元素法”.換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等價代換，目的是變換對象，將問題轉化在新對象的知識背景下去研究， 把分散的條件聯系起來，把隱含的條件顯露出來，把條件和結論聯系起來，把非標準問題標準化，復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化[1].本文將以南通等市的2016屆高三調研卷上的一道填空題為例，淺談幾種換元法的妙用.

1.試題呈現

2.解法探究

2.1 目標換元法

處理最值時，通常將目標函數看作一個未知變元，通過它與已知條件建立等式或不等式.

注意，當u=4時，8u2+(4-6t)u+t2=t2-24t+144=(t-12)2≥0,故只需要

評注：本解法實際上經過了2次換元，第1次從目標函數入手，通過消元，建立t,x的新關系；第2次換元是降次，關于x的四次方程難以解決，于是考慮換元成熟悉的二次，但在此過程中，需要再次注意新元的范圍，后面是一個二次方程有解問題，易錯.開頭的目標換元應該是學生比較容易想到的，在線性規劃這塊用得較多.雖然入手容易，但是后面較難解決.所以很多學生半途而廢.

2.2 “1”的妙用

分析：注意到所求的表達式是二次齊次式，而題意條件給出也是齊次式，還是常數1，于是考慮用“1的代換”.

2.3 比值換元[2]

如果已知條件為比例式子或者可以看作比例，那么用比值代入可使其簡化.本題給出的條件是二元齊次式，不妨引入參數k，考慮用正比例函數將兩個變量的依存關系表示出來，從而使二元變量的最值問題轉化成一元變量的最值.

2.4 三角換元

2.5 和差換元

若x,y∈R,則可設x=a+b,y=a-b,特別地，若x+y=2a,則可設x=a+t,y=a-t,(t∈R)，這樣的換元我們稱之為和差換元.

2.6 極坐標換元

3x2-2xy=3(ρcosθ)2-2ρcosθ·ρsinθ

=ρ2(3cos2θ-2cosθ·sinθ)

評注：轉換視角，置于不同的坐標系，有創意！這個解法精妙之處在于題干和所求均為齊二次式，否則處理難度便會加大.極坐標變換是理科生學習的內容，所以這個解法對于文科生的學習能力要求較高.

2.7 局部換元

3.解題反思

至此，筆者給出了一道調研模擬題的7種換元解法.在分析問題時，需要關注條件及所求結論的特點和相互聯系，從不同視角尋找問題的突破口. 我們使用換元法解題時要注意以下兩點：(1)選擇合適的變量進行換元，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則；(2)換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，要注意挖掘隱含的限制條件，還要根據題設條件來進一步驗證. 換元引參思想內涵豐富，如果學生能掌握上述這些方法，以后遇到類似的二元變量最值問題就可以順利解決了.

[1]陳躍. 淺談換元法在求最值問題中的應用[J]. 數學學習與研究，2015(19)：119.

[2]傅建紅.從一道高考題看二元條件最值問題的求解策略[J].數學教育研究.2011(5)，55-56.